Exercícios: Conceito de função

Num jogo eletrónico de estratégia, a posição dos recursos é indicada por meio de coordenadas num plano cartesiano. Observa o mapa e escreve as coordenadas dos três baús do tesouro que aparecem representados:

Escreve as coordenadas de cada baú na forma $(x, y)$.

Para alugar uma trotinete elétrica, uma empresa cobra $1,50$ € pelo desbloqueio inicial e $0,20$ € por cada minuto de utilização. Queremos analisar a relação entre o tempo de utilização e o custo total do aluguer.

Identifique as variáveis desta relação:

• Variável independente ($x$): ________

• Variável dependente ($y$): ________

Uma das regras de ouro para saber se um gráfico representa uma função é verificar que, para cada valor da variável independente $x$, existe um único valor da variável dependente $y$. Indica qual dos seguintes gráficos NÃO é uma função e justifica brevemente a tua resposta.

Complete a seguinte tabela de valores sabendo que a função associa a cada número natural o seu triplo menos uma unidade. Ou seja, a expressão algébrica é $y = 3x - 1$.

Variável independente ($x$)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Variável dependente ($y$)	$2$

Indique se as seguintes situações representam uma função contínua ou uma função discreta:

1. a) O número de pessoas que entram num cinema de acordo com o filme exibido.
2. b) A altura de um balão de ar quente à medida que passam os minutos desde a sua descolagem.
3. c) O preço de um saco de laranjas segundo o seu peso em quilogramas.
4. d) O número de seguidores no Instagram de um influenciador dia após dia.

Observe o seguinte diagrama de correspondência (Diagrama de Venn) que relaciona um grupo de amigos com a sua cor favorita de t-shirt. Esta relação representa uma função? Explique porquê.

A Beatriz está a verificar a bateria do seu telemóvel durante a manhã. Ao acordar às $08:00$, tinha $100\%$. A cada hora que passa, a bateria diminui $8\%$.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona as horas decorridas ($x$) com a percentagem de bateria restante ($y$).
2. b) Que percentagem de bateria terá a Beatriz às $12:00$ da manhã (após $4$ horas de uso)?

Dada a função $f(x) = x^2 - 3$, calcule o valor da variável dependente para os seguintes valores de $x$:

1. a) Se $x = 0 \rightarrow y = $
2. b) Se $x = 2 \rightarrow y = $
3. c) Se $x = 5 \rightarrow y = $
4. d) Se $x = 10 \rightarrow y = $

Observa atentamente os três gráficos seguintes representados no plano cartesiano. Utiliza o critério da reta vertical (imagina retas verticais que percorrem cada gráfico e conta em quantos pontos o cortam) para identificar qual ou quais deles representam uma função e justifica detalhadamente a tua resposta em cada caso.

Num campeonato de jogos eletrónicos, quer-se estabelecer uma relação entre os jogadores e as personagens que eles escolhem. Analisa as duas situações seguintes e determina qual delas define uma função:

• Situação 1: A cada jogador é atribuído o nome do único personagem que utilizou durante todo o torneio.

• Situação 2: A cada personagem são atribuídos os nomes de todos os jogadores que o escolheram em alguma partida.

Desenha um diagrama sagital (diagrama de Venn) para a Situação 1 usando estes dados: Jogadores $\{Ainhoa, Marc, Leo\}$ e Personagens $\{Guerrero, Maga\}$. A Ainhoa e o Marc escolheram o Guerreiro, e o Leo escolheu a Maga.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um trotinete elétrico tem uma bateria que se descarrega de forma constante. Ao sair de casa, a bateria está a $100\%$. Por cada quilómetro percorrido, a bateria diminui $5\%$.

1. a) Identifique a variável independente e a variável dependente, indicando em que unidade cada uma é medida.
2. b) Escreva a expressão algébrica (fórmula) da função que relaciona os quilómetros percorridos ($x$) com a percentagem de bateria restante ($y$).
3. c) É possível que o valor de $x$ seja $25$? Justifique se esse valor pertence ao domínio da função neste contexto real.

O gráfico a seguir mostra a distância a que se encontra um drone de entregas em relação à sua base logística durante um trajeto de ida e volta de 10 minutos.

A partir do gráfico, indique:

1. a) O domínio e o contradomínio da função.
2. b) Durante quanto tempo esteve o drone parado a entregar a encomenda? A que distância da base se encontrava nesse momento?
3. c) Em que intervalo de tempo esteve o drone a regressar à base?

Completa a seguinte tabela de valores para a função $y = x^2 - 3$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$

Depois de a completares, responde:

1. a) Existem valores de $x$ diferentes que tenham a mesma imagem ($y$)? Isso impede que seja uma função?
2. b) Representa os pontos obtidos num referencial cartesiano. Que forma parece ter o gráfico?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estamos a encher um depósito de água com forma cilíndrica através de uma torneira que despeja um caudal constante de $4$ litros por minuto. No início, o depósito está vazio e tem uma capacidade total de $20$ litros.

1. a) Indica se a função que relaciona o tempo decorrido com o volume de água é contínua ou discreta. Explica porquê.

1. b) Qual é o domínio desta função tendo em conta que a torneira se fecha quando o depósito fica cheio?

1. c) Desenha um esboço do gráfico que represente esta situação, com o tempo $t$ (em minutos) no eixo horizontal e o volume $V$ (em litros) no eixo vertical.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Dada a função definida pelo seguinte gráfico que representa o custo de uma subscrição mensal de uma plataforma de música em função dos meses contratados:

1. a) É correto unir os pontos com uma linha contínua? Justifique se a variável independente é discreta ou contínua.
2. b) Se o ponto $(1, 10)$ pertence à função, o que significa esse dado no contexto do problema?
3. c) Determine a imagem de $x=3$ observando a tendência dos pontos.

Indique quais das seguintes relações não são funções e explique o motivo com base na definição de função:

1. A cada pessoa da sua turma atribuímos a sua data de nascimento.

2. A cada número natural atribuímos os seus divisores.

3. A cada número real atribuímos a sua raiz quadrada positiva.

4. A cada mãe atribuímos o nome dos seus filhos.

5. A cada produto de uma loja atribuímos o seu preço em euros.

Analise detalhadamente a representação gráfica a seguir, que mostra a relação entre duas grandezas. Determine, justificando a sua resposta com base na definição de função, se este gráfico representa uma função ou uma relação não funcional. Indique também qual seria o valor (ou os valores) da variável dependente $y$ quando a variável independente $x$ for igual a $2$.

Uma empresa de entregas com drones cobra uma tarifa de base de $5\ €$ pelo serviço. Além disso, o custo por distância divide-se em troços: os primeiros $2\ km$ são gratuitos, mas, a partir daí, cada quilómetro ou fração de quilómetro adicional custa $2\ €$ (ou seja, se percorrer $2,1\ km$ cobra-se como se fossem $3\ km$).

1. a) Explique porque é que esta situação representa uma função descontínua.
2. b) Identifique a variável independente e a dependente.
3. c) Represente graficamente o custo do serviço para distâncias entre $0$ e $5\ km$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Define-se uma relação entre dois conjuntos de números da seguinte maneira: "A cada número inteiro $x$ corresponde a sua raiz quadrada".

1. a) Esta relação é uma função se o conjunto inicial (domínio) forem todos os números inteiros $\mathbb{Z}$? Justifica a tua resposta analisando o que acontece com os números negativos.
2. b) E se restringirmos o domínio aos números $\{0, 1, 4, 9\}$? Seria uma função se cada número pudesse ter dois valores associados (positivo e negativo)? Justifica a tua resposta com base na unicidade da imagem.

Um atleta treina num caminho reto. O gráfico seguinte mostra a distância ao ponto de partida em função do tempo.

1. a) Explique o que está a acontecer entre o minuto $4$ e o $6$.
2. b) A que velocidade máxima correu o atleta e em que intervalo isso aconteceu?
3. c) Explique o que está a acontecer entre $t=6$ e $t=8$.
4. d) Podemos afirmar que é uma função contínua? Porquê?

Dada a seguinte tabela de valores recolhida durante uma experiência de física, suspeita-se que um dos dados esteja incorreto e viole a condição de função.

Tempo (s)	$1$	$2$	$3$	$2$	$5$
Posição (m)	$10$	$20$	$35$	$25$	$60$

1. a) Identifique qual é o dado que impede que esta tabela represente uma função. Justifique a sua escolha.
2. b) Se eliminarmos o dado incorreto, a variável independente seria discreta ou contínua?
3. c) Escreva uma possível equação $y = f(x)$ que relacione a posição com o tempo se a velocidade fosse constante e igual a $12\ m/s$.

Considere a função que atribui a cada número natural de dois algarismos a soma dos seus algarismos.

Por exemplo: $f(14) = 1 + 4 = 5$.

1. a) Qual é o domínio desta função?
2. b) Qual é o contradomínio da função? (Tem em conta o menor e o maior número possíveis).
3. c) É uma função crescente? Justifica a resposta comparando, por exemplo, $f(19)$ e $f(20)$.

Desenhe em eixos coordenados o gráfico de uma função que cumpra simultaneamente as quatro condições seguintes:

1. O seu domínio seja o intervalo $[-4, 6]$.

2. Tenha um ponto de descontinuidade (um salto) em $x = 2$.

3. Seja decrescente no intervalo $[-4, 0]$ e crescente no intervalo $[3, 6]$.

4. Tenha um máximo relativo no ponto $(-4, 5)$ e um mínimo absoluto em $(3, 1)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.