Exercícios: Parâmetros estatísticos

Para realizar um estudo sobre os hábitos de consumo dos adolescentes numa rede social, foram analisados os perfis de $50$ estudantes de uma escola. Classifique as seguintes variáveis estatísticas obtidas no estudo como qualitativas ou quantitativas (indicando se são discretas ou contínuas):

• a) Marca do telemóvel utilizado.

• b) Número de "gostos" recebidos na última publicação.

• c) Tempo total (em minutos) de utilização da aplicação durante o dia.

• d) Temática principal dos vídeos a que assiste (desporto, humor, música, etc.).

Um grupo de amigos registou o número de mensagens de WhatsApp não lidas no final do dia. Os dados obtidos são:

Calcule a moda desta distribuição e explique brevemente o que esse valor representa no contexto do exercício.

A tabela seguinte mostra a quantidade de livros que os alunos de uma turma do $2º$ ano leram durante o primeiro período:

Calcule a média aritmética do número de livros lidos por aluno.

Sete alunos cronometraram quanto tempo demoram (em segundos) a resolver um cubo de Rubik. Os tempos registados são:

Calcule a mediana desses tempos. Lembre-se de que deve ordenar previamente os dados.

Num inquérito sobre o sabor de gelado preferido no bar da escola, foram obtidos os resultados apresentados no gráfico seguinte:

A partir do gráfico de barras, identifica qual é a moda e calcula a amplitude (ou alcance) das frequências dos sabores.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi medida a altura (em centímetros) dos seis jogadores titulares de uma equipa de basquetebol escolar:

Calcule a mediana das alturas. Como é um número par de dados, lembre-se de como deve proceder com os dois valores centrais.

Um jovem poupa semanalmente diferentes quantias de dinheiro. Durante as últimas $5$ semanas, as suas poupanças foram:

• a) Calcule a média das suas poupanças.

• b) Calcule a mediana.

• c) Qual dos dois parâmetros achas que representa melhor a poupança "normal" desse jovem? Justifica a tua resposta mencionando o efeito do valor $54€$.

Durante uma semana de primavera, a temperatura mínima registada numa cidade foi de $14\ ^\circ\text{C}$ (segunda-feira) e a máxima de $22\ ^\circ\text{C}$ (sábado). Calcula a amplitude térmica ou amplitude das temperaturas nesse período.

As temperaturas máximas registadas durante uma semana de abril em Faro foram: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ e $21$ °C. Calcule a amplitude das temperaturas dessa semana.

As idades dos membros de um clube de robótica são: $12$, $13$, $12$, $14$, $13$, $12$ e $15$ anos. Calcule a média, a mediana e a amplitude das idades.

As notas dos últimos $5$ testes de Inglês da Salma são: $6$, $7$, $8$, $5$ e $9$.

a) Calcule a média das notas.

b) Calcule o desvio de cada nota em relação à média (em valor absoluto) e o desvio médio.

Em duas turmas do $2.º$ ano, foram registados os minutos que os alunos demoram a chegar à escola. No $2.º$ A, os tempos vão de $5$ a $40$ minutos e, no $2.º$ B, vão de $15$ a $25$ minutos.

a) Calcule a amplitude dos tempos de cada turma.

b) Em que turma os tempos são mais parecidos entre si? Porquê?

O Lucas anotou os golos marcados pela sua equipa de futsal nos últimos $6$ jogos da liga escolar: $1$, $5$, $0$, $4$, $2$, $6$.

Para analisar o rendimento da equipa, o Lucas afirma no seu caderno:

«Como há $6$ dados, os dois valores do meio são o $0$ e o $4$. Portanto, a mediana é $(0 + 4) / 2 = 2$ golos. Além disso, a amplitude é $6 - 1 = 5$ golos porque o $0$ não conta como golo marcado».

a) Encontra e explica de forma fundamentada os dois erros concetuais que o Lucas cometeu.

b) Corrige o seu trabalho calculando de forma correta a média aritmética, a mediana e a amplitude de golos da equipa.

Escreve um conjunto de $5$ números inteiros (que representam o número de livros lidos durante o último ano letivo por $5$ alunos do $2.º$ ano) que cumpra simultaneamente todas estas condições:

1. A moda é $3$.

2. A mediana é $4$.

3. A média aritmética é exatamente $5$.

4. A amplitude dos dados é $6$.

Explica detalhadamente o raciocínio que seguiste para deduzir cada um dos cinco valores e justifica se existe uma única combinação possível de números ou se poderia haver várias soluções distintas.

Um grupo de amigos registou o número de horas semanais que dedica a jogar videojogos online. Os dados obtidos são os seguintes:

$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$

Calcule as medidas de tendência central: a média aritmética ($\bar{x}$), a mediana ($Me$) e a moda ($Mo$).

Uma aplicação de saúde registou os passos diários (em milhares) de uma adolescente durante as últimas duas semanas:

$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$

Represente estes dados numa tabela de frequências e calcule:

1. a) A amplitude (ou alcance) da distribuição.
2. b) O desvio médio ($DM$) em relação à média aritmética.

Num treino de basquetebol, foi registado o número de cestos de três pontos convertidos por cada jogador em 25 tentativas. Os resultados são apresentados no gráfico seguinte:

A partir do gráfico de barras:

1. a) Elabore a tabela de frequências absolutas.
2. b) Calcule a média, a mediana e a moda dos cestos de três pontos convertidos.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi realizado um estudo sobre a duração da bateria (em horas) de dois modelos diferentes de telemóveis, $A$ e $B$, realizando 10 testes com cada um.

Modelo $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$

Modelo $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$

1. a) Calcule a média de ambos os modelos. O que observas?
2. b) Calcule a amplitude e o desvio médio de cada modelo.
3. c) Se tivesses de comprar um com base na fiabilidade da duração, qual escolherias e porquê?

A seguir é apresentado um diagrama de caixa de bigodes (box-plot) que representa as notas obtidas pelos alunos de uma turma num teste de recuperação:

Observa o gráfico e identifica os seguintes parâmetros de posição:

1. a) Valor mínimo e valor máximo.
2. b) Primeiro quartil ($Q_1$), mediana ($Me$) e terceiro quartil ($Q_3$).
3. c) Que percentagem de alunos obteve uma nota superior a $8$?

A Aisha fez 4 provas de Matemática neste período e as suas notas foram: $6,5$; $8,2$; $7,4$ e $9,1$.

1. a) Qual é a nota média que ela tem atualmente?
2. b) Se ainda falta uma última prova, que nota deve a Aisha obter para que a sua média final seja exatamente $8,0$?

Num estudo sobre a cor favorita dos alunos do 8.º ano, foram obtidos os seguintes resultados:

1. a) Que tipo de variável estatística está a ser estudada?
2. b) Calcule, se possível, a média, a mediana e a moda. Caso algum parâmetro não possa ser calculado, explique fundamentadamente porquê.

Calcule a média aritmética e a moda da seguinte distribuição de dados agrupados em classes, que correspondem ao peso (em kg) dos elementos de uma equipa de judo:

Os golos marcados por uma equipa de futsal nos seus últimos $5$ jogos foram: $2$, $5$, $1$, $4$ e $3$.

a) Calcule a média de golos por jogo.

b) Calcule a variância e o desvio padrão, arredondando às centésimas.

Dois jogadores de basquetebol marcaram nos seus últimos $6$ jogos:

• Jogador A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ pontos

• Jogador B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ pontos

a) Verifique que ambos os jogadores têm a mesma média de pontos.

b) Calcule a amplitude das pontuações de cada um.

c) O treinador precisa de um jogador de desempenho regular para o próximo jogo. Qual escolherias? Porquê?

Duas atletas treinam os $100$ metros rasos e registam os seus tempos com o relógio inteligente. Os seus últimos $5$ tempos, em segundos, são:

• Mei: $13,2$; $13,0$; $13,1$; $13,2$; $13,0$

• Bea: $12,6$; $13,8$; $12,9$; $13,4$; $12,8$

a) Calcule a média e a amplitude dos tempos de cada atleta.

b) Calcule o desvio padrão de cada uma, arredondando às centésimas.

c) O treinador deve escolher uma das duas para a final e procura regularidade. Quem escolherias? Justifica a resposta.

As notas de $11$ alunos num teste foram: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ e $10$.

a) Ordene as notas e calcule a mediana.

b) Calcule o primeiro e o terceiro quartis.

c) Entre quais valores se concentram, aproximadamente, os $50\%$ centrais das notas?

Os diagramas de pontos mostram os pontos marcados por duas jogadoras nos seus últimos $6$ jogos.

a) Calcule a média de pontos de cada jogadora.

b) Calcule a amplitude de cada uma.

c) Tendo em conta os gráficos e os cálculos, qual das duas é mais regular? Explique o que isso significa.

Para estudar a dispersão das suas notas ($5$, $6$, $7$ e $8$), um aluno subtrai a média a cada dado e obtém: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ e $1,5$. Como a soma dessas diferenças é $0$, afirma: «O desvio padrão é $0$, portanto as minhas notas não se dispersam nada».

a) Explique o erro que ele cometeu no seu raciocínio.

b) Calcule corretamente o desvio padrão das quatro notas, arredondando às centésimas.

Duas jogadoras de basquetebol de uma equipa de cadetes, a Leonor e a Marta, marcaram os seguintes pontos nos seus últimos $5$ jogos:

• Leonor: $14$, $15$, $16$, $17$, $18$

• Marta: $8$, $12$, $16$, $20$, $24$

a) Verifica rapidamente que ambas as jogadoras têm exatamente a mesma média aritmética de pontos.

b) Sem calcular ainda o desvio médio ($DM$), observa a distribuição dos dados em torno da média e estima de forma fundamentada qual das duas jogadoras terá um $DM$ maior. Aproximadamente quanto achas que valerá o $DM$ de cada uma?

c) Calcula de forma exata a amplitude e o desvio médio ($DM$) de ambas as jogadoras.

d) Compara os teus resultados com a tua estimativa prévia e explica qual das duas jogadoras é mais regular. Por que razão no desporto a média por si só não basta para julgar a regularidade de um desportista?

A partir de dados meteorológicos registados pelo IPMA numa semana de primavera, obtiveram-se as seguintes temperaturas máximas diárias (em $^\circ\text{C}$) em duas cidades portuguesas:

• Aveiro: $15$, $17$, $16$, $18$, $14$

• Évora: $12$, $29$, $15$, $30$, $24$

a) Calcula para cada uma das duas cidades a média aritmética, a mediana e a amplitude das temperaturas máximas.

b) Calcula o desvio médio ($DM$) das temperaturas de ambas as localidades.

c) Interpreta os parâmetros obtidos: se uma pessoa tiver de preparar uma mala para viajar nessa semana e apenas for informada da temperatura média, em qual das duas cidades é mais provável que passe frio ou calor imprevisto? Justifica a tua resposta indicando que parâmetro estatístico de dispersão descreve melhor esta situação.

Um conhecido streamer está a analisar as visualizações dos seus últimos 5 vídeos. A média de visualizações dos primeiros 4 vídeos é de $12\,500$ pessoas. Se ele quer que a média total dos 5 vídeos suba para $15\,000$ visualizações para atrair um novo patrocinador, quantas visualizações deve conseguir, no mínimo, no seu quinto vídeo? Explique o processo raciocinando se é possível que a mediana de visualizações seja maior do que a média neste caso.

Numa competição de E-sports, duas equipas, o "Team Alpha" e o "Team Beta", obtiveram os seguintes tempos de resposta (em milissegundos) num teste de reflexos. Os dados são apresentados nos seguintes diagramas de caixa de bigodes (Box-plot):

Com base nos gráficos:

1. a) Qual equipa tem um tempo de resposta mediano mais baixo?
2. b) Qual das duas equipas é mais "regular" ou consistente nos seus reflexos? Justifique a tua resposta usando a amplitude interquartil.
3. c) Se, para vencer a competição, se valoriza nunca ultrapassar os $200$ ms, qual equipa tem melhores expectativas?

Um grupo de 10 amigos tem uma média de idade de exatamente $14$ anos. Ao juntar-se ao grupo o irmão mais velho de um deles, a média aumenta para $15$ anos.

1. a) Calcule a idade do irmão mais velho.
2. b) Se depois se juntar uma rapariga de $10$ anos, qual será a nova média do grupo de 12 pessoas?
3. c) É possível que, após a entrada da rapariga, a mediana do grupo continue a ser $14$? Dê um exemplo das idades dos 10 amigos originais que cumpra essa condição.

Foi realizado um inquérito sobre o tempo diário (em minutos) que os adolescentes de uma escola passam a utilizar as redes sociais. Os dados foram agrupados na seguinte tabela:

Sabendo que o tempo médio de utilização é de $57$ minutos:

1. a) Calcula o valor de $x$ (frequência absoluta do intervalo $[60, 90)$).
2. b) Determina a moda (intervalo modal) e a mediana (intervalo mediano) da distribuição.
3. c) Que percentagem de alunos dedica $90$ minutos ou mais às redes sociais?

Duas jogadoras de basquetebol, Leonor e Maria, marcaram as seguintes quantidades de pontos nos seus últimos 6 jogos:

• Leonor: $18, 22, 20, 19, 21, 20$

• Maria: $10, 35, 5, 40, 12, 18$

1. a) Calcule a média aritmética de pontos de cada jogadora.
2. b) Calcule a amplitude e o desvio médio de ambas.
3. c) Se o treinador procura uma jogadora fiável que garanta uma quantidade constante de pontos, mesmo que não seja muito alta, quem deveria escolher? Justifique a resposta comparando a dispersão de cada uma.

O seguinte histograma mostra a distribuição das classificações obtidas numa prova de recuperação por 40 alunos. No entanto, o eixo das frequências foi parcialmente apagado.

Sabendo que o total de alunos é $40$ e que as alturas das barras são proporcionais às frequências:

1. a) Determine a frequência absoluta de cada intervalo.
2. b) Calcule a classificação média estimada utilizando as marcas de classe.
3. c) Se, para ser aprovado, é preciso ter $5$ e supondo que as classificações se distribuem de forma uniforme dentro de cada intervalo, qual é a percentagem estimada de alunos que reprovou na prova?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considere um conjunto de 5 números inteiros positivos. Sabe-se que:

• A média é $10$.

• A mediana é $12$.

• A moda é $15$ e é única.

• A amplitude é $12$.

Determine os 5 números que formam esse conjunto. Explique os passos lógicos que seguiu para os deduzir.

Numa empresa de desenvolvimento de aplicações, os salários dos 10 funcionários são os seguintes: oito funcionários ganham $1\,500\ €$ por mês, o subdiretor ganha $4\,000\ €$ e o diretor ganha $7\,000\ €$.

1. a) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários.
2. b) O diretor afirma: "O salário médio na nossa empresa é de $2\,300\ €$, somos muito generosos". Um funcionário responde: "A maioria de nós ganha apenas $1\,500\ €$". Explique, usando os parâmetros calculados, por que razão ambos dizem a verdade, mas passam impressões tão diferentes.
3. c) Qual dos três parâmetros estatísticos representa melhor a realidade do que ganha um trabalhador típico desta empresa? Justifique a sua escolha.

O Tomás compara duas aplicações de transporte para ir à escola. Nas últimas $8$ viagens, os minutos de espera foram:

• App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$

• App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$

a) Calcule a média de espera de cada aplicação.

b) Calcule o desvio padrão de cada uma, arredondando às centésimas.

c) Se o Tomás dispõe de $10$ minutos exatos todas as manhãs, qual aplicação recomendarias? Justifica a resposta usando a média e a dispersão.

Os gráficos mostram os pontos marcados por duas equipas de basquetebol nos seus últimos $6$ jogos.

a) Calcule a média de pontos de cada equipa.

b) Calcule a amplitude e o desvio padrão de cada equipa, arredondando às centésimas.

c) Um comentador afirma: «As duas equipas têm o mesmo desempenho, porque têm a mesma média». Concordas? Justifica a tua resposta usando as medidas de dispersão.

As alturas de $5$ amigos são: $160$, $165$, $170$, $168$ e $162$ cm.

a) Calcule a média e a amplitude das alturas.

b) Um sexto amigo junta-se ao grupo e a média não muda. Quanto mede o novo amigo?

c) Escreva duas alturas possíveis para o novo amigo que fariam aumentar a amplitude, e calcule a nova amplitude em cada caso.

O número de livros lidos neste trimestre pelos $20$ alunos de uma turma é dado por esta tabela:

a) Calcule a média de livros lidos.

b) Calcule a variância e o desvio-padrão, arredondando às centésimas.

Julga se estas afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando exemplos quando conveniente:

a) Se dois conjuntos de dados têm a mesma média, têm a mesma dispersão.

b) O desvio-padrão não pode ser negativo.

c) Se todos os dados de um conjunto são iguais, o seu desvio-padrão é $0$.

d) Se adicionarmos a um conjunto um dado igual à sua média, a amplitude não muda.

A tabela mostra as temperaturas médias mensais (em °C) do último ano em duas cidades do litoral:

a) Calcule a média anual de temperatura de cada cidade.

b) Calcule a amplitude de temperaturas de cada uma.

c) Uma família quer mudar-se para uma cidade «sem temperaturas extremas». Qual recomendarias? Justifica a resposta com os dados calculados.

Numa pequena empresa de desenvolvimento de software em Portugal trabalham $8$ pessoas. Os seus salários líquidos mensais (em euros) são os seguintes:

O último salário corresponde à diretora-geral e fundadora da empresa. A direção quer contratar um novo programador e redigir uma oferta indicando o «salário representativo» da equipa.

a) Calcula a média aritmética, a mediana e a moda do salário dos trabalhadores.

b) A direção propõe publicar na oferta a média aritmética, enquanto o representante sindical exige publicar a mediana. Compara ambos os métodos e justifica de forma crítica qual dos dois reflete com maior fidelidade o salário típico da maioria dos trabalhadores.

c) Se a diretora decidir aumentar o seu salário no próximo mês para $8\,500\text{ \euro}$, mantendo-se os restantes salários intactos, fundamenta sem fazer cálculos qual parâmetro (entre a média e a mediana) mudará e qual permanecerá inalterado. Que propriedade fundamental da mediana demonstra esta situação?

Num ensaio clínico realizado num hospital português mediram-se os tempos de resposta (em milissegundos) a um estímulo num grupo de $5$ doentes, obtendo-se os seguintes registos:

a) Calcula a média aritmética $\bar{x}$, a amplitude e o desvio médio ($DM$) deste grupo inicial de doentes.

b) Vai ser integrado um sexto doente no ensaio. Que valor exato deve registar o seu tempo para que a média aritmética do grupo se mantenha intacta em $220\text{ ms}$? Justifica como o deduzes.

c) Se integrarmos esse sexto doente com o valor obtido na alínea b), fundamenta se o novo desvio médio aumentará, diminuirá ou se manterá igual em relação ao inicial antes de fazeres o cálculo. De seguida, calcula o novo $DM$ para confirmares a tua previsão.

d) Supõe agora que, partindo dos $5$ doentes originais, queremos adicionar um sexto doente de modo a que a amplitude dos tempos aumente exatamente para $35\text{ ms}$. Deduz os dois valores possíveis que o tempo deste sexto doente poderia ter para que isto aconteça.

Desafio do tema. Como variou a temperatura máxima na tua região durante as últimas duas semanas? Transforma-te em analista climático para elaborar um relatório meteorológico real.

1. Recolha de dados: Acede ao site do IPMA (ou histórico meteorológico oficial) e anota a temperatura máxima diária ($T$) da tua localidade nos últimos $14$ dias. Define com precisão a população, a amostra e o tipo de variável estatística.

2. Organização: Constrói numa folha de cálculo (ou GeoGebra) uma tabela de frequências completa: frequências absolutas, relativas, percentagens e frequências acumuladas.

3. Tratamento estatístico: Cria o gráfico mais representativo (gráfico de barras ou poligonal) e calcula os parâmetros de localização central e de dispersão: média ($\bar{x}$), mediana ($Me$), moda ($Mo$) e amplitude. Escreve as casas decimais com vírgula (por exemplo, $18,5$ °C).

4. Relatório final: Redige um breve relatório fundamentado (meia página) onde analises se a média é representativa face a valores extremos e proponhas uma medida prática de poupança energética para as famílias em função dos dados obtidos.

Avaliar-se-á:

• Rigor na definição de conceitos e exatidão na tabela de frequências.

• Cálculo correto dos parâmetros estatísticos ($\bar{x}$, $Me$, $Mo$, amplitude) e pertinência do gráfico.

• Capacidade crítica para interpretar os resultados e justificar a proposta final.