Exercícios: O espaço

No mundo do design de videojogos, os objetos definem-se pelas suas dimensões. Indica quantas dimensões ($0$, $1$, $2$ ou $3$) têm os seguintes elementos que encontramos num quarto:

1. a) O cabo de uns auscultadores esticado.

1. b) O ecrã plano de um monitor (sem contar a sua espessura).

1. c) Uma caixa onde guardas os jogos da consola.

1. d) Um ponto de luz no teto.

Observe as arestas deste cubo e determine a posição relativa (paralelas, secantes ou que se cruzam) dos seguintes pares de retas que contêm as arestas:

1. a) A reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ em relação à que passa por $C$ e $D$.
2. b) A reta que passa por $A$ e $B$ em relação à que passa por $B$ e $C$.
3. c) A reta que passa por $A$ e $B$ em relação à que passa por $G$ e $H$.

Imagine que as paredes, o chão e o teto da sua sala de aula são planos. Indique a posição relativa de:

1. a) O plano do chão e o plano do teto.
2. b) O plano da parede do quadro e o plano da parede da janela (que está ao seu lado).
3. c) Uma reta formada pelo canto entre duas paredes e o plano do chão.

Sabemos que por dois pontos do espaço passa uma única reta.

1. a) Quantas retas podem passar por um único ponto do espaço?
2. b) Quantos planos podem conter uma única reta?
3. c) Quantos pontos não alinhados são necessários no mínimo para definir um único plano?

No espaço existem retas que não são paralelas, mas que nunca se intersectam. Essas retas são chamadas retas enviesadas. Observa o desenho da rampa de skate e diz qual é a posição relativa de:

1. a) A borda superior da rampa ($r$) e a linha da base no chão ($s$).
2. b) A borda vertical do corrimão ($t$) e a reta $s$.

Desenhe no caderno (ou descreva) a situação de uma reta e um plano nos seguintes casos:

1. a) A reta é paralela ao plano (pense numa lâmpada fluorescente no teto e no chão).
2. b) A reta está contida no plano (pense numa linha pintada no chão).
3. c) A reta é secante ao plano (pense num lápis que atravessa uma folha de papel).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Muitos corpos geométricos geram-se ao fazer rodar uma figura plana em torno de um eixo. Estes chamam-se corpos de revolução. No desenho vês três objetos com o seu eixo de rotação. Identifica qual figura (retângulo, triângulo retângulo ou semicírculo) gerou cada um deles ao rodar em torno desse eixo:

1. a) Uma lata de refrigerante cilíndrica.
2. b) Um cone de trânsito.
3. c) Uma bola de petanca.

Os corpos geométricos cujas faces são todas polígonos chamam-se poliedros. Em qualquer poliedro simples, verifica-se uma relação famosa chamada Fórmula de Euler: $Faces + Vértices = Arestas + 2$.

Verifique se esta fórmula é satisfeita para um cubo, sabendo que tem $6$ faces, $8$ vértices e $12$ arestas. Escreva a operação matemática.

A Beatriz está a observar a estrutura de uma estante metálica na sua sala de aula e afirma o seguinte: «A barra vertical dianteira esquerda e a barra horizontal traseira da prateleira superior não se tocam em lado nenhum; portanto, têm de ser obrigatoriamente retas paralelas, exatamente igual ao que acontece com as linhas que desenho no meu caderno». Identifica e explica o erro de raciocínio cometido pela Beatriz, indica a posição relativa real que essas duas barras têm no espaço tridimensional e esclarece por que razão a sua dedução teria sido correta numa folha de papel bidimensional.

Um pavilhão polidesportivo tem uma cobertura com a forma de um prisma hexagonal regular, cujas bases superior e inferior são hexágonos e cujas faces laterais são retângulos.

1. a) Antes de contares arestas ou aplicares qualquer fórmula, estima, de forma fundamentada e a olho nu, se este sólido terá mais arestas do que a soma das suas faces e vértices, ou se acontecerá o contrário.
2. b) Conta de forma ordenada o número de faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$) do prisma e verifica se a tua estimativa inicial estava correta através da fórmula de Euler ($C + V = A + 2$).
3. c) Justifica por que razão o número total de arestas obtido é razoável, tendo em conta quantas arestas contribui cada base e quantas arestas laterais unem ambas as bases.

Considera um cubo ou hexaedro regular com base inferior $ABCD$ e base superior $EFGH$, onde as arestas verticais são $AE$, $BF$, $CG$ e $DH$. Identifica as posições relativas das arestas indicadas:

1. a) A aresta $AB$ em relação à aresta $EF$.
2. b) A aresta $AD$ em relação à aresta $CG$.
3. c) A aresta $GH$ em relação à aresta $AB$.

No projeto de uma tenda publicitária com forma de prisma triangular reto, interessa-nos analisar a relação entre os seus planos. Se considerarmos o plano $\pi$ que contém a base inferior do prisma:

1. a) Indique quais as faces do prisma que geram planos secantes (concorrentes) ao plano $\pi$.
2. b) Indique quais as arestas do prisma que são paralelas ao plano $\pi$.
3. c) Qual é a figura geométrica que se forma na interseção de uma face lateral com o plano da base?

Um arquiteto está a projetar um monumento vanguardista que é um poliedro convexo. Para verificar a sua estrutura, precisa de comprovar o Teorema de Euler. O monumento tem $8$ faces hexagonais e $6$ faces quadradas.

1. a) Calcule o número total de arestas ($A$) do poliedro.
2. b) Utilizando o Teorema de Euler, determine o número de vértices ($V$) que o monumento terá.

Imagina que tens uma peça metálica plana com a forma de um trapézio retângulo, como a mostrada na figura. Se rodarmos esta figura $360^{\circ}$ em torno do lado que mede $8$ cm (o eixo vertical):

1. a) Que sólido de revolução é gerado?
2. b) Desenha, de forma esquemática, o sólido resultante, indicando os seus elementos básicos (raios e altura).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa divisão de paredes perpendiculares, consideramos um dos cantos do teto como a origem de pontos. Se traçarmos uma linha imaginária que atravesse a divisão a partir desse canto até ao canto oposto do chão (diagonal da divisão):

1. a) Qual é a posição relativa dessa linha em relação ao plano do chão?
2. b) Essa linha interseta a reta que resulta da união de duas paredes laterais? Justifica a tua resposta.
3. c) Quantos pontos em comum tem a diagonal com o plano de uma das paredes?

É feito um corte num cilindro reto de raio $r = 4$ cm e altura $h = 10$ cm por meio de um plano. Descreva qual figura plana é obtida se:

1. a) O plano for paralelo às bases do cilindro.
2. b) O plano for perpendicular às bases e passar pelo centro das mesmas.
3. c) O plano for oblíquo às bases e não chegar a cortá-las.

Dada uma pirâmide quadrangular regular, designamos as suas arestas da base por $b_1, b_2, b_3, b_4$ e as suas arestas laterais por $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a resposta:

1. a) Qualquer par de arestas laterais são retas concorrentes.
2. b) Uma aresta da base e a aresta lateral que sai de uma das suas extremidades são retas concorrentes.
3. c) Duas arestas da base opostas são paralelas entre si.

Observe a planificação deste corpo geométrico. Sem realizar cálculos, responda:

1. a) Qual é o poliedro que se obtém ao dobrá-lo? Classifica-o de forma completa.
2. b) Quantos ângulos diedros terá o corpo depois de montado?
3. c) Qual é a ordem de cada um dos seus vértices (quantas faces concorrem neles)?

No centro de controlo aéreo da NAV Portugal em Lisboa é supervisionada a trajetória de duas aeronaves que sobrevoam uma zona plana, cujo solo consideramos como um plano horizontal $\pi$. As trajetórias de ambos os aviões são retilíneas:

• O voo A voa estabilizado a uma altitude constante de $9\,500\text{ m}$ seguindo um rumo fixo para norte.

• O voo B realiza uma manobra de subida contínua desde os $3\,000\text{ m}$ até aos $11\,000\text{ m}$ com rumo para este, atravessando esse mesmo setor geográfico.

1. a) Modela a trajetória do voo A como uma reta $r$. Qual é a posição relativa da reta $r$ em relação ao plano do solo $\pi$? Justifica a tua resposta.
2. b) Ao projetar as duas rotas no ecrã plano do radar (duas dimensões), os traços cruzam-se num ponto comum no ecrã. No entanto, na vertical desse ponto o voo B passa a $7\,000\text{ m}$ de altitude, pelo que os aviões nunca chegam a colidir no ar. Modela ambas as rotas como duas retas $r$ e $s$ no espaço e determina a sua posição relativa real, justificando se existe ou não algum plano comum que possa conter ambas em simultâneo.

Uma oficina de design artesanal recebe a encomenda de fabricar um poliedro fechado para um candeeiro. O cliente exige que a estrutura tenha exatamente $15$ arestas ($A = 15$) e que seja um poliedro clássico (um prisma reto ou uma pirâmide regular).

1. a) Aplicando a fórmula de Euler ($C + V = A + 2$), estabelece a igualdade numérica e determina quanto deve valer exatamente a soma do número de faces e vértices ($C + V$).
2. b) Se a estrutura fosse uma pirâmide cuja base tem $n$ lados, deduz quantas arestas teria no total em função de $n$. A partir dessa dedução, explica por que razão é matematicamente impossível construir uma pirâmide que cumpra a exigência de ter exatamente $15$ arestas.
3. c) Faz a mesma dedução para um prisma cuja base tem $n$ lados. Determina que tipo de prisma cumpre as condições, indicando quantas faces e quantos vértices terá finalmente o candeeiro.

Imagina que estás a projetar uma estrutura para um parque de aventuras. Há um cubo gigante cujos vértices estão nomeados como $A, B, C, D$ (base inferior) e $E, F, G, H$ (base superior, de modo que $E$ está acima de $A$, $F$ acima de $B$, etc.).

Se traçarmos uma reta que passa pelos pontos médios das arestas $AE$ e $CG$, e outra reta que une os vértices $B$ e $H$:

1. a) Indica qual é a posição relativa destas duas retas no espaço. Justifica se são concorrentes, paralelas ou enviesadas.
2. b) Se traçarmos um plano que passe pelos pontos $B$, $D$ e $H$, que tipo de secção (figura plana) se forma ao cortar o cubo?
3. c) Quantas arestas do cubo são secantes ao plano definido pela face $ADHE$?

Um arqueólogo encontrou uma peça de cristal com forma de octaedro regular perfeito. Para a proteger, decide construir uma caixa de madeira com forma de cubo que se ajuste exatamente aos vértices do octaedro.

1. a) Se cada aresta do octaedro mede $10 \text{ cm}$, calcule o número de faces, vértices e arestas da figura e verifique se o Teorema de Euler é satisfeito.
2. b) Explique fundamentadamente que relação existe entre os centros das faces do cubo de madeira e os vértices do octaedro.
3. c) Se cortarmos o octaedro por um plano paralelo a uma das suas faces que passe exatamente pelo centro do corpo, qual é o polígono que obtemos na secção?

Numa aula de tecnologia, os alunos estão a construir uma maqueta de um edifício moderno. A peça central é um prisma hexagonal regular reto. Para dar um toque artístico, querem realizar cortes planos com uma serra elétrica.

1. a) Se o plano de corte passa por três vértices não consecutivos da base superior, descreva a forma da secção obtida.
2. b) É possível realizar um corte de tal maneira que a secção resultante seja um retângulo? E um quadrado? Descreva como deveria ser o plano em cada caso.
3. c) Se o prisma tem $12$ arestas da base e $6$ arestas laterais, quantas diagonais espaciais (que não passem pelas faces) tem este poliedro?

Um fabricante de caixas de oferta quer criar um modelo especial "dual". Primeiro fabrica um tetraedro regular de aresta $L$. Depois, une os pontos médios de todas as arestas do tetraedro entre si.

1. a) Que poliedro se forma no interior ao unir esses pontos médios?
2. b) Calcula o número de faces, vértices e arestas do novo poliedro resultante.
3. c) Se o tetraedro original satisfaz o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$), demonstra se o poliedro interior também o satisfaz.

Um decorador de interiores quer colocar um cabo de luzes LED que cruze uma sala retangular de $6 \text{ m}$ de comprimento, $4 \text{ m}$ de largura e $3 \text{ m}$ de altura. O cabo deve ir de um canto do chão ($A$) até ao canto oposto do teto ($G$).

1. a) Calcule o comprimento mínimo do cabo se este deve ir esticado pelo interior da sala (a diagonal espacial do paralelepípedo retângulo).
2. b) Se o decorador decidir passar o cabo pelas paredes (sem atravessar o ar), qual seria a distância mais curta entre esses mesmos dois pontos? (Sugestão: pensa na planificação da sala).
3. c) Indique quantas arestas da sala são paralelas à reta que contém a aresta da altura onde se encontra o ponto $A$.

Considera um cubo de queijo de $4 \text{ cm}$ de aresta. Queremos cortá-lo com uma faca muito fina de modo que a secção seja um hexágono regular.

1. a) Descreve com precisão por que pontos das arestas do cubo deve passar o plano para obter o referido hexágono.
2. b) Quantas diagonais de face tem o cubo no total? E quantas diagonais espaciais (interiores)?
3. c) Se chamarmos $P$ ao plano que contém o hexágono, existe alguma aresta do cubo que seja paralela a esse plano ou são todas secantes? Justifica a tua resposta.

Uma empresa de logística utiliza contentores com forma de prisma trapezoidal reto (a base é um trapézio isósceles).

1. a) Determine o número de ângulos diedros retos que este sólido possui.
2. b) Se prolongarmos as duas faces laterais não paralelas, explique o que aconteceria: intersetar-se-iam numa reta? Seriam paralelas? Que sólido geométrico se formaria se cortássemos essa nova estrutura com um plano paralelo à base?
3. c) Verifique se um prisma trapezoidal com bases de $5$ lados (se fosse um prisma pentagonal irregular) satisfaz sempre o Teorema de Euler.

Estamos a estudar as posições relativas no espaço dentro de um poliedro complexo: um dodecaedro regular (12 faces pentagonais).

1. a) Escolhe uma face qualquer como plano $\pi$. Quantas faces do dodecaedro são paralelas a $\pi$?
2. b) Quantas arestas do dodecaedro são paralelas a uma aresta dada?
3. c) Se em cada vértice do dodecaedro se unem 3 faces, e cada face tem 5 vértices, justifica por meio de cálculo o número total de vértices do corpo (tendo em conta que cada vértice é partilhado).

Numa sala de exposições com a forma de um cubo de vértices inferiores $A, B, C, D$ (chão) e vértices superiores $E, F, G, H$ (teto, situados diretamente sobre $A, B, C$ e $D$ respetivamente), instalam-se dois cabos tensores retilíneos:

• Cabo 1: une o vértice $A$ ao vértice oposto superior $G$ (diagonal principal do cubo).

• Cabo 2: une o ponto médio da aresta vertical $BF$ ao ponto médio da aresta vertical $DH$.

Para averiguar se ambos os cabos se tocam no centro da sala ou se cruzam a alturas diferentes, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método do Sérgio: Procurar se existe um plano diagonal que contenha os quatro pontos extremos ($A, G$, e os pontos médios de $BF$ e $DH$). Se esse plano existir e as retas não forem paralelas, então intersetam-se.

• Método da Irene: Determinar a posição do ponto médio do Cabo 1 e do Cabo 2 relativamente ao chão e às paredes, verificando se ambos os segmentos partilham exatamente o mesmo ponto central nas três dimensões do espaço.

1. a) Compara ambos os métodos: explica qual dos dois te parece mais claro e direto para justificar o resultado sem cometer erros de perceção visual.
2. b) Aplica o método que consideraste melhor para concluir fundamentadamente se os dois cabos são concorrentes (intersetam-se num ponto) ou se são enviesados no espaço.

As Torres KIO de Lisboa são conhecidas por serem edifícios com a forma de prisma cujas faces laterais estão inclinadas em relação ao chão horizontal (plano $\pi$). Considera uma das fachadas inclinadas da torre, à qual chamamos plano $\alpha$.

1. a) Determina a posição relativa entre o plano da fachada $\alpha$ e o plano do chão $\pi$. Se prolongássemos ambos os planos indefinidamente no espaço, qual seria a figura geométrica resultante da sua interseção?
2. b) Numa maquete poliédrica da torre que parte de um prisma quadrangular fechado ($6$ faces, $8$ vértices e $12$ arestas), um maquetista decide truncar (cortar) um dos cantos superiores através de um corte plano que passa perto de um vértice sem tocar em nenhum dos outros sete vértices originais, eliminando esse canto e criando no seu lugar uma nova face plana triangular.

Calcula de forma fundamentada o número de faces ($C'$), vértices ($V'$) e arestas ($A'$) que a maquete terá após a realização deste corte.

1. c) Verifica se o novo sólido modificado continua a cumprir a fórmula de Euler ($C' + V' = A' + 2$) e justifica matematicamente por que razão cortar um canto desta forma não altera o equilíbrio da fórmula.