Exercícios: Operações com frações

Num lanche com amigos, foram compradas várias pizzas do mesmo tamanho, todas cortadas em 8 fatias iguais.

• João comeu $\frac{3}{8}$ de uma pizza.

• Inês comeu $\frac{2}{8}$ de uma pizza.

Calcule que fração de pizza os dois comeram juntos e quantas fatias restam se apenas uma pizza tivesse sido aberta.

Para um projeto de Educação Visual, um grupo de alunos tem uma caixa com $60$ marcadores. Se gastaram $\frac{2}{5}$ dos marcadores para fazer um mural, quantos marcadores utilizaram no total?

Calcule as seguintes somas e subtrações de frações com o mesmo denominador, simplificando o resultado quando possível:

1. a) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

1. b) $\frac{11}{15} - \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9}$

Uma jovem influencer dedica a sua tarde a organizar os seus vídeos. Gasta $\frac{1}{4}$ do tempo a gravar, $\frac{1}{3}$ a editar e o restante do tempo usa-o para responder a comentários. Calcule que fração do tempo total ela dedica a gravar e a editar (lembre-se de procurar um denominador comum).

Efetue as seguintes multiplicações de frações e simplifique os resultados até chegar à fração irredutível:

1. a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

1. b) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$

1. c) $5 \cdot \frac{3}{10}$

Na cozinha de uma cafetaria querem repartir $3$ litros de sumo de laranja em copos de $\frac{1}{4}$ de litro cada um. Quantos copos poderão encher completamente? Ilustra o teu raciocínio dividindo cada litro em partes. Na figura tens os $3$ litros em três garrafas de $1$ L; podes copiá-la para o teu caderno e dividir cada garrafa.

Resolve estas divisões utilizando o produto cruzado:

1. a) $\frac{4}{5} : \frac{2}{3}$

1. b) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{7} : 3$

Uma bateria de tablet indica que lhe resta $\frac{7}{10}$ de carga. Se depois de ver alguns vídeos consumiu $\frac{2}{5}$ da carga total, que fração de bateria ainda lhe resta? (Ajuda: transforma $\frac{2}{5}$ numa fração com denominador $10$).

Numa festa de aniversário sobraram dois tabuleiros com fatias de tortilha de batata do mesmo tamanho: num fica $\frac{1}{2}$ de tortilha e no outro fica $\frac{1}{4}$. O João quer calcular quanta tortilha sobra no total e escreve no seu caderno:

1. a) Sem fazeres operações por escrito, explica por que razão o resultado do João é impossível na realidade (pensa se ao juntares comida é lógico obteres menos de metade da tortilha que já tinhas no primeiro tabuleiro).
2. b) Explica qual foi o erro matemático do João ao operar com as frações.
3. c) Resolve a soma corretamente reduzindo ao denominador comum e expressa o resultado em forma de fração irredutível.

Para preparar uma bebida isotónica no laboratório da escola, deitas num jarro de $2$ litros de capacidade primeiro $\frac{4}{5}$ de litro de água mineral e, de seguida, adicionas $\frac{7}{10}$ de litro de sumo de laranja.

1. a) Estima: Antes de calculares com exatidão, pensa se o jarro chegará a transbordar (isto é, se a soma ultrapassará os $2$ litros) e se o volume final será maior, menor ou igual a $1$ litro e meio ($\frac{3}{2}$ de litro). Justifica a tua estimativa comparando mentalmente cada fração com a unidade ou com a metade.
2. b) Calcula: Encontra a quantidade exata de líquido no jarro somando as frações com o mínimo múltiplo comum. Expressa o resultado como fração irredutível.
3. c) Verifica: Converte a tua fração num número decimal e verifica se confirma a tua estimativa da alínea a).

Para preparar um refresco tropical, um grupo de amigos mistura $\frac{3}{4}$ de litro de sumo de ananás, $\frac{1}{3}$ de litro de sumo de laranja e $\frac{5}{6}$ de litro de água com gás. Se depois de misturar tudo, bebem $\frac{2}{5}$ de litro antes de colocar no frigorífico, que quantidade de refresco resta no total? Expresse o resultado simplificado em litros.

Uma plataforma de streaming divide o seu catálogo de séries em três partes: $\frac{2}{5}$ são de ação, $\frac{1}{3}$ são de comédia e as restantes são documentários. Se um utilizador já viu $\frac{3}{4}$ de todas as séries de ação disponíveis, que fração do total do catálogo representam as séries de ação que ele ainda não viu?

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, respeitando a hierarquia das operações e simplificando o resultado final até obter a fração irredutível:

Um jardineiro gastou $\frac{2}{9}$ das economias que tinha para ferramentas comprando um corta-relva e $\frac{3}{10}$ do orçamento inicial numa tesoura de poda. Se ainda lhe restam $172$ € no seu orçamento, quanto dinheiro tinha ele no início?

(Dica: Calcula primeiro que fração do total ele gastou, somando ambas as quantidades).

Aplique as propriedades das potências e raízes para simplificar a seguinte expressão numérica:

Na oficina de tecnologia, estão a ser cortadas ripas de madeira. Temos uma ripa de $\frac{15}{2}$ metros de comprimento e queremos dividi-la em pedaços iguais que meçam $\frac{3}{4}$ de metro cada um. Quantos pedaços completos obteremos? Sobrará madeira?

Determine o valor da incógnita $x$ na seguinte igualdade de operações com frações:

Um drone levanta voo do solo e sobe até uma altura de $12$ metros. Depois, devido a uma rajada de vento, desce $\frac{14}{3}$ de metro. Se depois volta a subir uma altura igual a $\frac{2}{5}$ da posição em que se encontrava após a descida, a que altura do solo se encontra o drone finalmente?

Na aula de Matemática propõe-se resolver a seguinte operação combinada:

Duas colegas de turma defendem estratégias diferentes:

• A Sofia multiplica primeiro em linha os numeradores e os denominadores dos parênteses e, depois, aplica a divisão multiplicando em cruz os números grandes para simplificar apenas no fim de tudo.

• A Beatriz transforma a divisão numa multiplicação pelo inverso, decompõe os números em fatores primos para simplificar fatores comuns em cima e em baixo antes de multiplicar, e calcula no fim.

1. a) Resolve a operação seguindo passo a passo o procedimento da Sofia.
2. b) Resolve a operação seguindo o procedimento da Beatriz, indicando claramente como simplificas antes de operar.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual dos dois resulta mais eficaz e reduz o risco de cometer erros de cálculo com números grandes? Justifica a tua resposta.

Queremos resolver um desafio de lógica com frações: encontra duas frações unitárias distintas (isto é, da forma $\frac{1}{a}$ e $\frac{1}{b}$, com numeradores iguais a $1$ e denominadores naturais diferentes) que cumpram estas duas condições em simultâneo:

1. O seu produto seja exatamente $\frac{1}{12}$.

2. A sua diferença (a maior menos a menor) seja exatamente $\frac{1}{12}$.

1. a) Deduz fundamentadamente que números devem ser $a$ e $b$ analisando os divisores do denominador comum.
2. b) Realiza as operações e verifica que ambas as frações cumprem em simultâneo a condição do produto e da subtração.
3. c) Justifica por que razão seria impossível que a soma de duas frações positivas desse como resultado uma fração menor do que qualquer uma das duas frações iniciais.

A editora de uma revista juvenil está a analisar a procedência dos seus leitores. Sabe que $\frac{2}{5}$ do total vivem em Espanha. Do restante dos seus leitores, $\frac{3}{8}$ vivem em países da América Latina. Se ainda restam $1\,500$ leitores que vivem no resto do mundo, quantos leitores tem a revista no total?

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, simplificando o resultado até obter a fração irredutível:

Num laboratório de química, um recipiente $A$ contém $\frac{3}{4}$ de litro de álcool, e um recipiente $B$ contém $\frac{2}{3}$ de litro de água. Transfere-se metade do conteúdo do recipiente $A$ para o recipiente $B$. Que fração de litro de mistura há agora no recipiente $B$? Se depois se derramar $\frac{1}{5}$ da mistura total de $B$, quantos litros restam nesse recipiente?

Um arquiteto está a projetar uma casa sustentável. O jardim ocupa as $\frac{2}{7}$ partes do terreno total. A casa ocupa as $\frac{3}{5}$ partes da superfície restante. Se a garagem e a piscina ocupam os $120$ $m^2$ finais, qual é a superfície total do terreno?

Determine o valor da seguinte expressão com potências e raízes de números racionais. Lembra-te de aplicar a hierarquia das operações e simplificar ao máximo:

Três amigos, Alba, Bruno e Carla, compram uma pizza gigante para jantar. A Alba come $\frac{1}{4}$ da pizza. O Bruno come $\frac{1}{3}$ do que sobra. A Carla come $\frac{2}{5}$ do que sobra depois de a Alba e o Bruno comerem.

1. a) Que fração da pizza sobrou?

1. b) Se a pizza pesava $1,2$ kg, quantos gramas comeu cada um?

Um ciclista percorre uma etapa de $120$ km em três troços. Na primeira hora, percorre $\frac{2}{5}$ do trajeto. Na segunda hora, devido ao cansaço, a sua velocidade diminui e percorre apenas $\frac{1}{3}$ da distância que faltava cobrir. Quantos quilómetros lhe restam para percorrer na terceira hora? Que fração do total representa esse último troço?

Calcule o valor da incógnita $x$ na seguinte igualdade de operações com frações:

De acordo com os dados de gestão de uma confederação hidrográfica em Portugal, uma albufeira começa o outono com uma certa reserva de água armazenada. Durante o mês de outubro registam-se os seguintes movimentos:

• Liberta-se $\frac{3}{8}$ da água inicial para rega agrícola e caudal ecológico do rio.

• Da água que resta na albufeira após a rega, evapora-se $\frac{1}{5}$ devido às altas temperaturas tardias.

• No final do mês, um temporal de chuva fornece um volume de água equivalente a $\frac{1}{4}$ da água que existia inicialmente no início do mês.

Após estas alterações, a albufeira armazena exatamente $150\text{ hm}^3$ (hectómetros cúbicos) de água.

1. a) Escreve uma única expressão combinada com frações que represente a fração da água inicial que restava imediatamente antes de o temporal de chuva começar.
2. b) Determina que fração do volume inicial existe na albufeira no final de outubro.
3. c) Calcula quantos hectómetros cúbicos de água continha a albufeira no início do mês.
4. d) Justifica se ao longo do mês a albufeira ganhou ou perdeu água em relação ao seu nível inicial, comparando a fração obtida com a unidade.

Um comboio de alta velocidade da CP sai de Lisboa rumo ao Porto com todos os seus lugares ocupados e faz apenas duas paragens intermédias durante o trajeto:

• Na primeira paragem (Coimbra), sai exatamente $\frac{1}{4}$ dos passageiros e não entra nenhum.

• Na segunda paragem (Aveiro), sai uma fração desconhecida $\frac{a}{b}$ das pessoas que viajavam nesse momento no comboio e também não entra ninguém.

• O comboio chega ao seu destino final no Porto com $120$ passageiros, o que representa exatamente $\frac{2}{5}$ do total de passageiros que iniciaram a viagem em Lisboa.

1. a) Deduz quantos passageiros havia no total no comboio ao sair de Lisboa.
2. b) Calcula quantas pessoas viajavam no comboio logo após sair da paragem de Coimbra.
3. c) Que fração da lotação inicial de Lisboa representaram os passageiros que saíram em Aveiro?
4. d) Determina o valor da fração desconhecida $\frac{a}{b}$, isto é, que fração dos passageiros que estavam nesse momento no comboio saiu em Aveiro. Expressa o resultado como fração irredutível e justifica cada passo.

Desafio do tema. Como é que a tua casa gere os recursos? Transforma-te em auditor ambiental analisando o consumo de água da tua casa e contrastando-o com dados oficiais.

1. Recolha de dados: Consulta no site do INE o consumo médio de água em Portugal (aprox. $133$ litros por pessoa e por dia) ou anota a leitura do contador da tua casa durante dois dias consecutivos para calcular o gasto diário real.

2. Frações e racionais: Estima e classifica a distribuição da água por atividades (duche, autoclismo, cozinha, limpeza). Expressa cada utilização como uma fração do total e simplifica-a até obteres a sua fração irredutível, justificando a sua pertença ao conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$). Obtém ainda duas frações equivalentes para cada caso amplificando os valores.

3. Cálculo com decimais: Numa folha de cálculo, sabendo que o preço médio do $m^3$ ($1000$ litros) é de $1,97$ €, opera com decimais para calcular o custo diário de cada utilização e a fatura estimada de um mês ($30$ dias).

4. Proposta fundamentada: Redige um relatório breve propondo um plano para reduzir $2/15$ do consumo e calcula com decimais a poupança mensal em euros.

Será valorizado:

• A obtenção rigorosa de frações irredutíveis e equivalentes a partir de dados reais.

• A correção nas operações combinadas com números decimais.

• A organização clara dos dados na folha de cálculo e a viabilidade da proposta.