Exercícios: Frações. Frações equivalentes.

Observe a seguinte figura e determine que fração representa a parte sombreada. Em seguida, escreva uma fração equivalente que tenha como denominador o número $16$.

Calcule o valor do número que falta para que o seguinte par de frações sejam equivalentes:

Verifique se as seguintes frações são equivalentes utilizando o método dos produtos cruzados:

Mostre os cálculos realizados.

O Lucas partiu uma tablete de chocolate em $12$ quadrados iguais e comeu $4$. A sua amiga Sofia tem uma tablete igual, mas partida em apenas $3$ pedaços grandes. Quantos pedaços deveria comer a Sofia para ter comido a mesma quantidade de chocolate que o Lucas? Expressa-o usando frações equivalentes.

Na figura, os quadrados coloridos são os que o Lucas comeu. A tablete da Sofia está sem colorir.

Obtenha três frações equivalentes a $\frac{2}{7}$ por amplificação. Para isso, multiplique o numerador e o denominador por $2$, por $3$ e por $10$.

Simplifique a seguinte fração até obter a sua fração irredutível:

Indica por que número dividiste o numerador e o denominador em cada passo.

Observe a posição do ponto $P$ na reta numérica. Que fração representa? Escreva uma fração equivalente a ela cujo denominador seja $10$.

Numa equipa de basquetebol, $6$ dos $15$ jogadores são canhotos.

1. a) Escreve a fração de jogadores canhotos.
2. b) Qual das seguintes frações é equivalente à anterior?

• $\frac{1}{3}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{3}{10}$

O Tomás está à procura de uma fração equivalente a $\frac{2}{5}$ cujo denominador seja $15$. No seu caderno, escreveu o seguinte: «Para passar do denominador $5$ para o $15$, tenho de somar $10$. Portanto, ao numerador também somo $10$, de modo que a fração equivalente é $\frac{12}{15}$». Explica fundamentadamente por que motivo o procedimento do Tomás é errado, apoiando-te no conceito de amplificação. Em seguida, corrige o seu erro, calcula a fração equivalente correta e demonstra formalmente que equivale a $\frac{2}{5}$ utilizando a regra dos produtos cruzados.

Num inquérito sobre mobilidade sustentável realizado numa escola, $18$ dos $40$ alunos de uma turma de 1.º de ESO afirmam que vão para a escola a pé ou de bicicleta.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo exato, estima de forma fundamentada se essa proporção representa mais de metade, menos de metade ou exatamente metade da turma, tomando como referência a fração $\frac{1}{2}$.
2. b) Simplifica a fração $\frac{18}{40}$ até chegares à sua fração irredutível e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.
3. c) Se em todo o ano de 1.º de ESO existirem $200$ estudantes e se mantivesse exatamente a mesma proporção, quantos alunos iriam a pé ou de bicicleta? Verifica que a nova fração obtida é equivalente à irredutível aplicando os produtos cruzados.

Dois amigos, Martim e Leonor, estão a comparar quanto avançaram na leitura de um mesmo livro. O Martim diz que leu $\frac{3}{4}$ do total, enquanto a Leonor afirma ter completado $\frac{9}{12}$ das páginas. Utilize a representação gráfica para verificar se ambos leram a mesma proporção do livro e justifique a sua resposta por meio do produto cruzado.

Calcule o valor da incógnita $x$ para que os seguintes pares de frações sejam equivalentes:

1. a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$

1. b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$

1. c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$

Num videojogo, a barra de energia de uma personagem está dividida originalmente em $8$ segmentos iguais. Se a personagem tem atualmente $\frac{6}{8}$ da sua energia, quantos segmentos estariam cheios se decidíssemos dividir a mesma barra em $24$ partes mais pequenas? Escreve a fração equivalente correspondente.

Na figura, a barra de cima é a original (com $6$ segmentos cheios em $8$) e a de baixo é a mesma barra dividida em $24$ partes iguais, ainda sem colorir.

Obtenha a fração irredutível das seguintes expressões utilizando o método da divisão sucessiva ou calculando o Máximo Divisor Comum ($M.C.D.$):

1. a) $\dfrac{120}{180}$

1. b) $\dfrac{45}{105}$

1. c) $\dfrac{256}{512}$

Da seguinte lista de frações, agrupe aquelas que sejam equivalentes entre si:

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$

Para preparar um batido de frutas, uma receita indica que são necessários $\frac{2}{5}$ de litro de leite. Se dispões apenas de um medidor graduado em mililitros ($1$ litro = $1000$ ml), que fração com denominador $1000$ seria equivalente a $\frac{2}{5}$? Quantos mililitros de leite deves colocar exatamente?

Complete as seguintes cadeias de frações equivalentes:

1. a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{\square} = \dfrac{\square}{15} = \dfrac{20}{\square}$

1. b) $\dfrac{60}{48} = \dfrac{30}{\square} = \dfrac{\square}{12} = \dfrac{5}{\square}$

Assinala quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando a tua resposta no caderno:

1. a) Se multiplicarmos o numerador de uma fração por $2$ e o denominador por $2$, obtemos uma fração equivalente.

1. b) Ao somar $3$ ao numerador e $3$ ao denominador da fração $\frac{1}{2}$, obtemos outra fração equivalente.

1. c) A fração $\frac{17}{13}$ é irredutível porque tanto o numerador como o denominador são números primos.

A partir dos dados publicados pela AEMET sobre a primavera em duas comarcas agrícolas espanholas, sabe-se que na comarca A choveu $36$ dias de um total de $90$ dias observados, enquanto na comarca B choveu $24$ dias durante um período de $60$ dias registados.

1. a) Escreve a fração de dias chuvosos relativamente ao total de dias em cada uma das duas comarcas.
2. b) Sem calcular os números decimais associados, demonstra através da regra dos produtos cruzados se a frequência relativa de dias de chuva foi exatamente equivalente em ambas as zonas.
3. c) Calcula a fração irredutível partilhada por ambas as comarcas através da divisão do numerador e do denominador pelo seu M.D.C. e explica que significado prático têm o numerador e o denominador dessa fração irredutível para um agricultor da zona.

Dois alunos têm de averiguar se as frações $\frac{72}{108}$ e $\frac{60}{90}$ representam exatamente a mesma quantidade, mas não chegam a acordo sobre como verificá-lo:

• A Beatriz propõe verificá-lo diretamente através dos produtos cruzados ($72 \cdot 90$ e $108 \cdot 60$).

• O Tomás prefere simplificar cada fração dividindo os seus termos pelo Máximo Divisor Comum (M.D.C.) para as comparar na sua forma irredutível.

1. a) Aplica o procedimento da Beatriz e determina se são equivalentes.
2. b) Aplica o procedimento do Tomás calculando o M.D.C. de cada fração e determinando as suas frações irredutíveis.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual dos dois métodos consideras mais seguro e vantajoso se tiveres de realizar os cálculos à mão e sem calculadora? Justifica a tua resposta analisando o que acontece com a grandeza das operações em cada caso.

Num atelier de design gráfico, estão a ser comparados dois formatos de imagem. O primeiro formato ocupa $\frac{5}{8}$ da memória de um cartão, e o segundo ocupa $\frac{7}{12}$. Para um novo projeto, é necessário encontrar uma fração equivalente a cada uma delas que tenha como denominador o mínimo múltiplo comum de ambos os denominadores. Depois de as encontrares, procura um número natural $x$ tal que a fração $\frac{x}{48}$ se encontre exatamente entre as duas frações originais.

Três amigos, Maria, Marcos e Sofia, compraram um terreno retangular para cultivar uma horta urbana. A Maria fica com $\frac{2}{5}$ do terreno, o Marcos com $\frac{4}{15}$ e a Sofia com o restante.

1. a) Calcule a fração simplificada que corresponde à Sofia.
2. b) Encontre uma fração equivalente à parte da Sofia cujo numerador seja o dobro do numerador da parte do Marcos.
3. c) Se o terreno total mede $300$ metros quadrados, é verdade que a parte do Marcos é equivalente a ter $20$ pedaços de $\frac{4}{1}$ metros quadrados cada um? Justifique a sua resposta.

Determina o valor da incógnita $n$ em cada uma das seguintes igualdades para que as frações sejam equivalentes, sabendo que $n$ deve ser um número inteiro positivo:

1. a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$

1. b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$

1. c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{21}$

Um arquiteto divide uma grande janela retangular em $8$ secções iguais (distribuídas em duas linhas de quatro). Três destas secções estão sombreadas e representam a parte que terá vidro fumado. Determina:

1. a) Que fração irredutível do total representa a zona sombreada?
2. b) Procura uma fração equivalente à anterior cujo denominador seja igual ao denominador da fração irredutível obtida na alínea anterior multiplicado por $3$.

Dispomos de uma fração misteriosa. Sabemos que ela é equivalente a $\frac{45}{105}$. Além disso, valem as seguintes dicas:

1. O seu numerador é um número de dois algarismos que é múltiplo de $6$.

2. Se somarmos o seu numerador e o seu denominador, o resultado é um número menor que $100$.

Quais frações satisfazem todas as dicas? Encontra todas e indica os passos realizados.

Numa competição de robótica, o robô da Inês completou $\frac{18}{24}$ do circuito, enquanto o do Afonso completou $\frac{25}{30}$.

1. a) Simplifique ambas as frações até chegar à sua fração irredutível para saber qual robô está à frente.
2. b) A Inês afirma que, se o seu robô percorrer um troço a mais equivalente a $\frac{1}{12}$ do total, as frações de ambos os robôs passarão a ser equivalentes. Esta afirmação é verdadeira? Demonstre matematicamente.

Pretende-se construir uma cadeia de frações equivalentes começando por $\frac{12}{16}$.

1. a) Escreva a fração irredutível da cadeia.
2. b) Encontre o termo que falta na seguinte igualdade: $\frac{12}{16} = \frac{x}{x+5}$. (Dica: utilize a propriedade de que nas frações equivalentes os produtos cruzados são iguais).
3. c) Se multiplicarmos o numerador da fração irredutível por um número primo $p$ e o denominador pelo número primo seguinte, a nova fração obtida poderia ser equivalente à original? Justifique a sua resposta com um exemplo.

Uma empresa de sumos utiliza dois recipientes diferentes. O recipiente A está cheio até $\frac{3}{4}$ da sua capacidade e o recipiente B até $\frac{12}{16}$ da sua.

1. a) Demonstra graficamente e através de produtos cruzados se as frações de enchimento são equivalentes.

1. b) Se o recipiente A tem uma capacidade de $2$ litros e o recipiente B tem uma capacidade de $1,5$ litros, contêm a mesma quantidade de sumo em litros? Continuam a representar a mesma proporção em relação aos seus próprios recipientes? Explica a diferença entre "fração equivalente" e "quantidade absoluta".

Descobre uma fração desconhecida a partir das seguintes pistas sobre os seus termos (ambos são números naturais):

1. A fração não está simplificada; o seu denominador supera o numerador em $24$ unidades.

2. A soma do seu numerador e do seu denominador é igual a $96$.

3. Ao simplificá-la até à sua forma irredutível, a soma dos novos termos é igual a $8$.

1. a) Modela as relações anteriores para deduzires o valor do numerador e do denominador da fração original sem simplificar.
2. b) Obtém a sua fração irredutível dividindo os seus termos pelo M.D.C. e verifica que cumpre a terceira condição.
3. c) Determina qual foi o fator exato pelo qual se multiplicaram os termos da fração irredutível para gerar a fração inicial e justifica, a partir da redução ao mesmo denominador, por que motivo ambas as frações representam rigorosamente a mesma parte da unidade.

Numa auditoria de qualidade sobre o serviço suburbano da CP, analisam-se os atrasos em duas linhas durante um trimestre:

• Na linha C-1 foram inspecionadas $140$ composições, das quais $119$ chegaram pontuais ao seu destino.

• Na linha C-2 foram inspecionadas $260$ composições, das quais $221$ chegaram com pontualidade.

1. a) Demonstra através da igualdade de produtos cruzados se ambas as linhas tiveram idêntico nível de pontualidade.
2. b) Reduz a proporção de pontualidade à sua fração irredutível utilizando o M.D.C. e interpreta o que representam ambos os números para uma pessoa que viaje habitualmente nesses comboios.
3. c) Tendo em vista o próximo trimestre, numa terceira linha (C-3) prevê-se realizar um total de $450$ comboios.

1. Justifica de forma matemática por que motivo é impossível que a linha C-3 registe exatamente a mesma proporção irredutível de pontualidade que as linhas C-1 e C-2 se todos os comboios tiverem de ser considerados unidades inteiras.

2. Se fossem auditados $500$ comboios em vez de $450$, quantos comboios atrasados, no máximo, poderiam ser permitidos para igualar a proporção de pontualidade das linhas anteriores? Justifica o teu raciocínio através da amplificação de frações.