Exercícios: Regra de Laplace

Calcule a probabilidade de cada acontecimento, indicando os casos favoráveis e os casos possíveis:

1. a) Sair face europeia ao lançar uma moeda.
2. b) Sair um $3$ ao lançar um dado.
3. c) Sair face nacional ao lançar uma moeda.

Lançamos um dado de $6$ faces. Vamos calcular a probabilidade de «sair um número maior que $4$» passo a passo:

1. a) Quantos resultados possíveis tem a experiência? Escreva-os.
2. b) Quais são os resultados favoráveis ao acontecimento «maior que $4$»?
3. c) Aplique a regra de Laplace e escreva a probabilidade na forma de fração.

Num saco há $4$ bolas vermelhas e $6$ bolas azuis, todas iguais. Tiramos uma bola ao acaso.

1. a) Quantas bolas há no total?
2. b) Qual é a probabilidade de tirar uma bola vermelha?
3. c) E de tirar uma bola azul?
4. d) Verifique que as duas probabilidades anteriores somam $1$.

Numa caixa há $10$ cromos: $4$ são de jogadores e $6$ de emblemas. Se tirarmos um cromo ao acaso:

1. a) Qual é a probabilidade de que seja de um jogador?
2. b) Qual é a probabilidade de que seja de um emblema?
3. c) Que tipo de cromo é mais provável tirar? Porquê?

Numa turma de 1.º de ESO organiza-se um sorteio com uma urna que contém $5$ rifas verdes, $7$ rifas azuis e $8$ rifas brancas, todas do mesmo tamanho e textura.

Hugo quer calcular a probabilidade de extrair uma rifa verde ao acaso e escreve no quadro:

$$P(\text{verde}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Ao ser questionado pela professora, Hugo justifica o seu cálculo assim: «Há $5$ casos favoráveis, que são as rifas verdes, e $15$ casos possíveis, que são as $7$ azuis e as $8$ brancas que não são verdes».

1. a) Explica qual é o erro que o Hugo comete ao identificar os «casos possíveis» e por que razão o seu raciocínio não respeita a regra de Laplace.
2. b) Corrige a sua resolução: determina o número correto de casos possíveis e calcula a probabilidade real de extrair uma rifa verde. Exprime o resultado como fração irredutível e como número decimal.
3. c) Se perguntarmos pela probabilidade de extrair ao acaso uma rifa de cor vermelha dessa mesma urna, qual é o seu valor numérico? Como se designa este tipo de acontecimento?

Para comemorar o Dia do Livro, na biblioteca da escola colocaram-se dentro de um saco $40$ marcadores de livros idênticos numerados de $1$ a $40$. Quem extrair ao acaso um marcador com um número que seja múltiplo de $6$, ganha um livro juvenil.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo exato, faz uma estimativa: achas que a probabilidade de ganhar o livro será maior, menor ou igual a $0,2$ (ou seja, $20\%$)? Justifica a tua intuição pensando de quantos em quantos números inteiros aparece um múltiplo de $6$.
2. b) Escreve a lista completa de todos os casos favoráveis (os múltiplos de $6$ entre $1$ e $40$) e calcula através da regra de Laplace a probabilidade exata de ganhar o livro. Exprime o resultado como fração irredutível e sob a forma de número decimal arredondado às centésimas.
3. c) Compara o teu resultado exato com a estimativa que fizeste na alínea a). Foi acertada a tua previsão? Explica a que se deve o facto de a probabilidade real não coincidir exatamente com a divisão de $1$ por $6$ ao trabalhar apenas até ao número $40$.

Da bolsa da figura, que contém $10$ bolas de três cores, retira-se uma bola ao acaso.

1. a) Calcule a probabilidade de sair bola vermelha, azul e verde.
2. b) Qual é a probabilidade de a bola não ser vermelha?
3. c) Qual é a probabilidade de sair uma bola amarela? Como se chama esse tipo de acontecimento?

Da urna da figura, que contém $10$ fichas numeradas do $1$ ao $10$, retira-se uma ficha ao acaso.

Calcule a probabilidade destes acontecimentos:

1. a) Sair um número par.
2. b) Sair um múltiplo de $3$.
3. c) Sair um número maior que $7$.
4. d) Sair um número com um único algarismo.

A roleta da figura tem $8$ setores iguais numerados do $1$ ao $8$. É rodada uma vez.

Calcule a probabilidade destes acontecimentos:

1. a) Sair o número $5$.
2. b) Sair um número par.
3. c) Sair um número maior que $5$.
4. d) Não sair o $8$.

De um baralho espanhol de $40$ cartas ($10$ de cada naipe: ouros, copas, espadas e paus) retira-se uma carta ao acaso. Recorda-te de que em cada naipe há $7$ cartas numeradas do $1$ ao $7$ e $3$ figuras (valete, cavalo e rei).

Calcule a probabilidade destes acontecimentos, dando a fração irredutível:

1. a) Sair um ouro.
2. b) Sair um ás.
3. c) Sair uma figura.
4. d) Sair uma carta que não seja de copas.

Para uma oficina de matemática recreativa, tens uma caixa vazia e fichas idênticas ao tato de três cores: verdes, vermelhas e pretas. No total deves colocar exatamente $24$ fichas na caixa. O teu objetivo é definir o conteúdo da caixa para que se verifiquem simultaneamente estas duas condições:

1. A probabilidade de extrair uma ficha verde ao acaso deve ser exatamente $\frac{1}{3}$.

2. A probabilidade de a ficha extraída ao acaso não ser preta deve ser $\frac{3}{4}$.

1. a) Deduz quantas fichas verdes, vermelhas e pretas deves introduzir na caixa para cumprir ambas as condições. Explica passo a passo como obténs cada quantidade.
2. b) Com a caixa já configurada, calcula a probabilidade de extrair uma ficha de cor vermelha. Exprime o resultado como fração irredutível.
3. c) Sem tirar nenhuma das $24$ fichas iniciais, quantas fichas pretas terias de acrescentar à caixa para que a probabilidade de extrair uma ficha preta passe a ser exatamente $\frac{1}{2}$? Justifica a tua resposta estabelecendo a relação entre os novos casos favoráveis e os novos casos possíveis.

Segundo o registo histórico da Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) para uma localidade do norte de Espanha durante o mês de novembro (que tem $30$ dias no total), os dias distribuíram-se do seguinte modo:

• Houve $12$ dias com chuva.

• Houve $10$ dias cobertos por nuvens, mas sem registo de precipitação.

• O resto dos dias do mês foram completamente limpos.

Uma empresa de turismo ativo deve escolher ao acaso uma data desse mês para realizar um percurso piloto de caminhada.

1. a) Calcula a probabilidade de o dia escolhido ao acaso ter sido um dia limpo. Exprime o resultado como fração irredutível e em percentagem arredondada às décimas.
2. b) Qual é a probabilidade de na data escolhida não ter chovido? Mostra como obter este valor através de dois caminhos diferentes: somando os casos favoráveis diretos e calculando-o através do acontecimento contrário.
3. c) O coordenador da empresa afirma: «Ao escolher um dia de novembro ao acaso, temos mais de $65\%$ de probabilidade de que não chova». Determina, fundamentadamente, se o coordenador tem razão ou se está enganado, a partir dos teus cálculos.

Num saco há $12$ bolas entre vermelhas e azuis. Sabemos que a probabilidade de retirar uma bola vermelha ao acaso é $\frac{1}{3}$.

1. a) Quantas bolas vermelhas há no saco? E azuis?
2. b) Quantas bolas azuis seria necessário adicionar ao saco para que a probabilidade de retirar uma vermelha passasse a ser $\frac{1}{4}$?
3. c) Sem adicionar nem retirar bolas do caso inicial, o que é mais provável: retirar uma bola vermelha ou não retirá-la? Calcule ambas as probabilidades.

Na feira há uma roleta com $4$ cores, mas os seus setores não são iguais, como se vê na figura.

Um aluno afirma: «Como há $4$ cores, a probabilidade de cada uma é $\frac{1}{4}$».

1. a) Explique por que razão o raciocínio dele é incorreto. Que condição deve ser cumprida para se poder aplicar a regra de Laplace?
2. b) Estime, observando os setores, a probabilidade de cada cor, expressando-a na forma de fração.
3. c) Verifique se as quatro probabilidades apresentadas somam $1$.

Temos dois sacos. No saco A há $3$ bolas vermelhas e $5$ azuis; no saco B há $5$ vermelhas e $7$ azuis. Queremos retirar uma bola vermelha.

1. a) Calcule a probabilidade de retirar uma bola vermelha em cada saco.
2. b) Em que saco é mais provável retirar uma bola vermelha? Basta observar qual o saco que tem mais bolas vermelhas? Justifique a sua resposta.
3. c) Quantas bolas vermelhas seria necessário adicionar ao saco A (sem retirar nenhuma) para que a probabilidade de retirar uma vermelha fosse $\frac{1}{2}$?

Um dado de $12$ faces (dodecaedro) tem as suas faces numeradas de $1$ a $12$. Lançamos o dado uma vez.

1. a) Calcule a probabilidade de sair um múltiplo de $4$.
2. b) Calcule a probabilidade de sair um número maior que $8$.
3. c) Exprima as duas probabilidades anteriores como fração irredutível, como número decimal e como percentagem.
4. d) Qual é a probabilidade de não sair um múltiplo de $4$? Quanto somam as probabilidades de «sair múltiplo de $4$» e de «não sair»?

Lançam-se ao ar duas moedas equilibradas de $1$ euro. Queremos calcular a probabilidade do acontecimento $A$: «obter pelo menos uma face comum». Três estudantes de 1.º de ESO propõem métodos distintos para o resolver:

• Método da Alba: «Os resultados possíveis consoante o número de faces que podem sair são três: $0$ faces, $1$ face ou $2$ faces. Como procuramos pelo menos uma face, os casos favoráveis são dois ($1$ face ou $2$ faces). Pela regra de Laplace, $P(A) = \frac{2}{3}$».

• Método do Bruno: «Escrevo o espaço amostral detalhando cada moeda: $\{CC, CX, XC, XX\}$. Há $4$ casos possíveis e todos têm a mesma probabilidade de sair. Os casos favoráveis com pelo menos uma face são $\{CC, CX, XC\}$, que são $3$. Pela regra de Laplace, $P(A) = \frac{3}{4}$».

• Método da Clara: «Calculo a probabilidade do acontecimento contrário: o oposto de 'obter pelo menos uma face' é 'não obter nenhuma face' (ou seja, obter duas coroas, $XX$). Como só há $1$ caso dos $4$ possíveis, $P(\text{nenhuma face}) = \frac{1}{4}$. Depois subtraio à certeza: $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$».

1. a) Analisa a proposta da Alba: explica com precisão por que razão a sua aplicação da regra de Laplace é errónea e que condição fundamental sobre os casos possíveis foi ignorada.
2. b) Compara os métodos do Bruno e da Clara. Se em vez de lançar $2$ moedas fossem lançadas $6$ moedas simultaneamente, qual dos dois métodos seria muito mais eficiente para calcular a probabilidade de obter pelo menos uma face? Justifica a tua resposta explicando a dificuldade que o outro método apresentaria.
3. c) Utiliza o método mais conveniente dos dois anteriores para calcular a probabilidade de obter pelo menos uma face ao lançar $3$ moedas equilibradas.

A partir de uma amostra do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre sustentabilidade e reciclagem, analisam-se $1200$ agregados familiares de uma cidade portuguesa para estudar a separação de resíduos na origem. Os dados obtidos refletem o seguinte:

• $720$ agregados separam habitualmente as embalagens de plástico (ecoponto amarelo).

• $600$ agregados separam o papel e cartão (ecoponto azul).

• $240$ agregados não separam nenhum destes dois tipos de resíduos.

O município vai selecionar um agregado ao acaso desta amostra para lhe atribuir uma distinção ambiental.

1. a) Organiza a informação numa tabela de contingência de dupla entrada (com as opções 'separa plástico / não separa plástico' em relação a 'separa papel / não separa papel') e deduz quantos agregados separam simultaneamente ambos os materiais.
2. b) Se for escolhido um agregado ao acaso, calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos exprimindo cada resultado como fração irredutível e como percentagem:

1. Que o agregado separe tanto plástico como papel.

2. Que o agregado separe pelo menos um dos dois tipos de resíduo.

3. Que o agregado separe unicamente papel e cartão, mas não plástico.

1. c) Um técnico municipal assegura: «A probabilidade de selecionar ao acaso um agregado que recicla unicamente plástico é exatamente o dobro da de selecionar um agregado que não recicla nenhum dos dois materiais». Verifica numericamente se a afirmação do técnico é verdadeira ou falsa e justifica a tua conclusão.