Exercícios: Medidas de tendência central e de dispersão

As idades dos primos de Noa são: $8$, $10$, $12$, $10$ e $10$ anos. Calcule a média das suas idades.

Os pontos marcados por uma jogadora nos seus últimos $7$ jogos são: $9$, $14$, $6$, $11$, $8$, $12$ e $10$.

1. a) Ordene os dados do menor para o maior.
2. b) Qual é a mediana?

O tamanho dos calçados dos $11$ jogadores de uma equipa de futsal é: $38$, $39$, $40$, $39$, $41$, $39$, $40$, $42$, $39$, $38$ e $39$. Qual é a moda? O que significa este dado para o responsável pelo material desportivo?

Uma aplicação de previsão do tempo registou estas temperaturas mínimas (em °C) durante uma semana de janeiro: $2$, $-1$, $0$, $-3$, $1$, $4$ e $-2$. Calcule a amplitude das temperaturas mínimas dessa semana.

O gráfico de pontos mostra os golos marcados por uma equipa nos seus últimos jogos.

1. a) Quantos jogos disputou a equipa?
2. b) Em quantos jogos não marcou nenhum golo?
3. c) Qual é a moda do número de golos? Há uma única moda?
4. d) Qual é a amplitude?

Num torneio escolar de xadrez, o Tomás obteve estes pontos nas $5$ jornadas: $3$, $5$, $4$, $5$ e $3$. Calcule a sua média de pontos por jornada.

A tabela mostra o número de livros lidos neste trimestre pelos alunos de uma turma:

1. a) Qual é a moda do número de livros lidos?
2. b) Quantos alunos há na turma?
3. c) Quantos alunos leram mais de $1$ livro?

Os tempos (em segundos) de $6$ nadadores numa prova de $25$ metros são: $31$, $28$, $35$, $29$, $33$ e $30$. Vamos calcular a sua mediana passo a passo:

1. a) Ordene os tempos do menor para o maior.
2. b) Como há um número par de dados, quais são os dois valores centrais?
3. c) A mediana é a média desses dois valores: calcule-a.

Para calcular a mediana e a amplitude do número de livros lidos durante o último ano por um grupo de $5$ amigos ($4$, $1$, $5$, $2$ e $8$), o Marcos escreveu o seguinte no seu caderno:

«O dado do centro da lista tal como no-los dão é o $5$, por isso a mediana é $Me = 5$. A amplitude é $8 - 4 = 4$, porque subtraí o último valor menos o primeiro».

1. a) Encontra os dois erros cometidos pelo Marcos e explica por palavras tuas por que razão o seu raciocínio não está correto em nenhum dos dois casos.
2. b) Corrige os cálculos do Marcos e determina os valores corretos da mediana e da amplitude.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou as seguintes temperaturas máximas (em $^\circ\text{C}$) durante uma semana do mês de abril em Bragança: $14$, $16$, $15$, $19$, $17$, $13$ e $18$.

1. a) Antes de fazeres qualquer operação numérica por escrito, observa os dados e estima entre que dois valores inteiros se deve situar a média aritmética. Achas que estará mais perto de $14\text{ }^\circ\text{C}$ ou de $17\text{ }^\circ\text{C}$? Justifica a tua estimativa.
2. b) Calcula com exatidão a média aritmética, a mediana e a amplitude das temperaturas máximas registadas.
3. c) Verifica se o valor exato da média confirma a tua estimativa inicial e argumenta se o resultado obtido é razoável tendo em conta a amplitude da semana.

Foi perguntado aos $30$ alunos de uma turma quantas vezes foram ao centro desportivo do bairro no último mês. Os resultados são:

1. a) Calcule a média aritmética do número de visitas.
2. b) Qual é a moda? O que significa neste contexto?

Uma loja online compara os preços de um mesmo ténis em $8$ portais diferentes e encontra estes valores, em euros: $42$, $38$, $45$, $39$, $50$, $36$, $41$ e $44$.

1. a) Ordene os preços do menor para o maior.
2. b) Calcule a mediana dos preços. Lembre-se de que, com um número par de dados, há dois valores centrais.
3. c) Qual é a amplitude? Interprete-a: há muita diferença de preços entre os portais?

Num campeonato escolar de pontaria com bola, cada participante lança $10$ vezes e os acertos são registados. A tabela reúne os resultados de todos os participantes:

1. a) Quantos participantes houve no total?
2. b) Qual é a moda do número de acertos?
3. c) Calcule a amplitude da distribuição.
4. d) Calcule a média de acertos por participante, arredondando às décimas.

O gráfico mostra as temperaturas máximas registadas numa cidade durante uma semana de primavera.

1. a) Calcule a média das temperaturas máximas da semana, arredondando às décimas.
2. b) Calcule a amplitude térmica da semana (diferença entre a máxima e a mínima).
3. c) Qual foi o dia da semana que mais se afastou da média? Justifique a sua resposta.

O gráfico de barras mostra as classificações do último teste de matemática de uma turma.

1. a) Quantos alunos fizeram o teste?
2. b) Qual é a moda das classificações?
3. c) Calcule a mediana das classificações.
4. d) Calcule a média aritmética, arredondando às centésimas. A turma tem positiva «na média»?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa disciplina, a nota do período é calculada assim: a média dos três trabalhos vale $40\%$ da nota final e o teste vale $60\%$. Os trabalhos do João foram $7$, $8$ e $6$, e no teste ele tirou $7,5$.

1. a) Calcule a média dos três trabalhos.
2. b) Calcule a nota final do período do João aplicando as percentagens.
3. c) Ele seria aprovado se o teste valesse $50\%$ e os trabalhos os outros $50\%$? Verifique.

As idades dos $6$ membros de um grupo de amigos são: $11$, $12$, $11$, $13$, $12$ e $12$ anos.

1. a) Calcule a média e a mediana das idades.
2. b) O irmão mais velho de um deles, que tem $24$ anos, começa a sair com o grupo. Calcule a nova média e a nova mediana.
3. c) Qual das duas medidas mudou mais? Qual descreve melhor a «idade típica» do grupo após a mudança? Justifique a sua resposta.

Foi perguntado a $40$ alunos qual o seu tipo de filme favorito e os resultados foram: aventura, $12$ votos; comédia, $12$ votos; animação, $9$ votos; ficção científica, $5$ votos; documentário, $2$ votos.

1. a) Qual é a moda desta variável?
2. b) Faz sentido calcular a média ou a mediana desses dados? Explica porquê.
3. c) Quando uma variável tem dois valores com a mesma frequência máxima, diz-se que é bimodal. É este o caso? Justifica a tua resposta.

Num torneio escolar de basquetebol em Coimbra, a equipa da tua escola disputou $5$ jogos. Conhecem-se os seguintes parâmetros estatísticos sobre as suas pontuações:

• A média aritmética de pontos é exatamente $46$.

• A moda é $52$ pontos (e é o único valor que se repete).

• A mediana é de $46$ pontos.

• A amplitude das pontuações é de $14$ pontos.

1. a) Deduz os pontos exatos que a equipa conseguiu em cada um dos $5$ encontros e escreve-os ordenados do menor para o maior. Explica passo a passo como deduziste cada valor a partir das pistas estatísticas.
2. b) Se num sexto jogo a equipa marcar $58$ pontos, o que acontecerá à amplitude e à média da época? Justifica se irão aumentar, diminuir ou manter-se iguais sem necessidade de calcular os seus novos valores numéricos.

A área de ambiente de um município realizou um inquérito a $20$ famílias de um bairro sobre o número de vezes que vão ao ecoponto verde de vidro ao longo de um mês. As respostas foram:

$1$, $4$, $2$, $3$, $2$, $1$, $5$, $2$, $3$, $4$, $2$, $6$, $3$, $2$, $1$, $2$, $4$, $3$, $2$ e $8$.

1. a) Elabora uma tabela de frequências absolutas para organizar os dados e calcula a moda, a mediana e a amplitude das visitas.
2. b) Utilizando a tabela de frequências, calcula a média aritmética de visitas ao ecoponto verde por família e interpreta o significado do resultado.
3. c) No boletim municipal, uma vereadora publicou: «A maioria das famílias do bairro vai $8$ vezes por mês reciclar vidro, pelo que o ecoponto enche rapidamente». Utiliza as medidas de tendência central calculadas para argumentar por que razão a afirmação da vereadora é errónea e que conceito estatístico ela confundiu com a realidade.

As horas diárias de ecrã de $9$ alunos de uma turma são: $2$, $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$ e $12$.

1. a) Calcule a média e a mediana desses dados.
2. b) Um dos dados é muito maior do que os outros. Qual das duas medidas anteriores é mais afetada por ele? Justifique a sua resposta.
3. c) Se o dado de $12$ horas fosse um erro do inquérito e, na verdade, fossem $2$ horas, recalcule a média e a mediana e explique o que mudou.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta ou apresentando um contraexemplo:

1. a) Num inquérito sobre a cor favorita de uma turma, não é possível calcular nem a média nem a mediana.
2. b) Se somarmos $2$ a todos os dados de uma distribuição, a média aumenta $2$, mas a amplitude não muda.
3. c) A moda é sempre o maior valor da distribuição.
4. d) Para calcular a mediana, tanto faz se os dados estão desordenados.

A Martina tem as seguintes notas nas quatro primeiras avaliações de matemática: $5,5$; $6$; $7$ e $6,5$. Falta apenas uma avaliação para terminar o período e ela quer que a sua média seja exatamente $6,5$.

1. a) Que nota precisa ela de tirar na última avaliação?
2. b) E se ela se contentasse com uma média de $6$?
3. c) Seria possível alcançar uma média de $7$? Justifica a tua resposta.

Numa liga de basquetebol do bairro, a tabela mostra os pontos marcados por uma equipa nos jogos disputados, mas uma frequência foi apagada:

Sabendo que a média de pontos por jogo é exatamente $1,4$:

1. a) Escreve a equação que permite determinar $x$ e resolve-a.
2. b) Quantos jogos disputou a equipa no total?
3. c) Com os dados completos, qual é a moda da distribuição?

Para calcular a média do número de irmãos da sua turma, a Beatriz tem esta tabela:

A Beatriz faz a seguinte conta: $(0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5$ e afirma: «a média é de $1,5$ irmãos».

1. a) Explique qual o erro que a Beatriz cometeu.
2. b) Calcule a média corretamente.
3. c) A Beatriz também afirma que «a mediana é $1,5$ porque está entre $1$ e $2$». Ela tem razão? Calcule a mediana ordenando os $30$ dados e verifique.

Duas equipas de andebol marcaram estes pontos nos seus últimos $5$ jogos:

• Equipa Alfa: $60$, $62$, $58$, $61$, $59$.

• Equipa Beta: $45$, $80$, $52$, $70$, $53$.

1. a) Calcule a média de pontos de cada equipa.
2. b) Calcule a amplitude de cada equipa.
3. c) Se fosse o treinador adversário, qual equipa pareceria mais regular? E mais imprevisível? Justifique as suas respostas usando as medidas calculadas.

Na corrida solidária da escola, os $12$ corredores da equipa do 7.º ano levaram estes tempos (em minutos) para completar o percurso de $5$ km: $24$, $26$, $25$, $31$, $28$, $26$, $30$, $27$, $25$, $26$, $29$ e $33$.

1. a) Calcule a média, a mediana, a moda e a amplitude dos tempos.
2. b) O treinador diz que um tempo é «bom» se estiver abaixo da média da equipa. Quantos corredores conseguiram um tempo «bom»?
3. c) No ano que vem, o corredor mais lento promete melhorar a sua marca em $5$ minutos. Se conseguir e os outros repetirem o tempo, como mudam a média e a mediana? Calcule.

As idades dos $5$ membros de um clube de leitura são: $10$, $14$, $15$, $21$ e $23$ anos.

1. a) Calcule a média e a mediana atuais.
2. b) Um novo membro inscreve-se e a mediana passa a ser $16$ anos. Qual é a idade do novo membro?
3. c) Em vez disso, se o clube quisesse que a média aumentasse exatamente $1$ ano com a entrada de uma sexta pessoa, que idade deveria ela ter?

Uma empresa tecnológica emergente em Braga conta com um quadro de $8$ pessoas cujos salários mensais brutos são: cinco programadores juniores que recebem $1250\text{ \euro}$ cada um, dois programadores seniores que recebem $1750\text{ \euro}$ cada um e o diretor executivo, que recebe $6250\text{ \euro}$. Para publicar uma oferta de emprego, o departamento de Recursos Humanos debate como comunicar o salário típico e pondera duas opções:

• Método A: Informar o salário médio (média aritmética).

• Método B: Informar o salário mediano (mediana).

1. a) Calcula o salário médio, o salário mediano e a amplitude salarial da empresa.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois representa de forma mais justa e realista o salário de um trabalhador comum nessa empresa. Explica que efeito distorcedor produz o salário do diretor sobre a média aritmética.
3. c) Imagina que a empresa decide prescindir da média e da mediana e publicar unicamente que «a amplitude salarial é de $5000\text{ \euro}$». Esta informação seria suficiente para que um candidato saiba quanto vai receber aproximadamente? Justifica o que a amplitude acrescenta e por que razão não substitui as medidas de tendência central.

A Federação Portuguesa de Atletismo deve selecionar uma representante para uma competição internacional na prova de $100\text{ m}$ barreiras. Analisam-se os tempos cronometrados (em segundos) de duas atletas, Sofia e Elena, nas suas últimas $6$ corridas:

• Tempos da Sofia: $13,1$; $13,2$; $13,3$; $13,3$; $13,4$ e $13,5$.

• Tempos da Elena: $12,6$; $12,8$; $13,1$; $13,5$; $13,8$ e $14,0$.

1. a) Calcula a média aritmética, a mediana e a amplitude dos tempos de cada uma das duas atletas.
2. b) Se um analista desportivo reparasse exclusivamente na média e na mediana, conseguiria notar alguma diferença entre o rendimento global da Sofia e o da Elena? Explica que informação decisiva a amplitude traz nesta situação sobre o perfil de cada corredora.
3. c) A equipa técnica precisa de escolher uma atleta para uma prova por equipas onde se exige uma marca regular e sem surpresas de desclassificação ou atraso, e outra atleta para uma prova individual onde só se aspira a medalha se se conseguir baixar dos $13\text{ s}$. Justifica, utilizando os parâmetros estatísticos calculados, que atleta enviarias para cada prova.
4. d) Se numa sétima corrida a Sofia tropeçar numa barreira e fizer um tempo atípico de $16,8\text{ s}$, justifica qual das suas medidas estatísticas (a média ou a mediana) sofrerá uma maior variação e qual se manterá mais protegida, sem necessidade de recalcular os valores.

Desafio do tema. Como influenciam os ecrãs no nosso ambiente? Vais liderar uma investigação estatística real para analisar este hábito na tua comunidade.

1. Recolha de dados: Pergunta a $15$ pessoas (familiares ou colegas) quantas horas diárias dedicam ao telemóvel (admite decimais, ex. $1,5$ h ou $2,0$ h) ou recolhe as temperaturas máximas dos últimos $15$ dias no site do IPMA. Identifica claramente a população, a amostra, o indivíduo e o tipo de variável.

2. Tabulação e cálculo: Introduz os dados numa folha de cálculo (Excel, Calc ou Google Sheets). Elabora a tabela de frequências (absolutas, relativas e percentagens). Calcula as medidas de localização do centro (média $\bar{x}$, mediana e moda) e de dispersão (amplitude).

3. Representação: Constrói o gráfico estatístico mais adequado (gráfico de barras ou de linhas) tendo cuidado com títulos, escalas e legendas.

4. Relatório final: Redige um breve relatório com a tua proposta: analisa se os dados são homogéneos ou dispersos e apresenta uma conclusão fundamentada sobre o uso saudável do tempo livre.

Será valorizado:

• Identificação correta dos conceitos-chave e elaboração precisa da tabela de frequências.

• Cálculo exato das medidas de localização do centro e de dispersão através de folha de cálculo.

• Clareza e rigor na representação gráfica digital.

• Justificação crítica das conclusões a partir dos parâmetros obtidos.