Transformaciones geométricas

En un teatro, el escenario circular puede girar alrededor de su centro $O(0, 0)$, y uno de los focos está instalado en el punto $A(3, 1)$. Durante una coreografía se aplican dos movimientos seguidos: primero un giro de centro $O$ y ángulo $90^\circ$ en sentido antihorario y, a continuación, una simetría axial respecto a la recta $y = x$. En la figura se muestran el foco $A$ y la recta $y = x$.

1. a) Calcula las coordenadas de la posición del foco tras el giro ($A'$) y de su posición final tras la simetría ($A''$).
2. b) La composición de un giro con una simetría axial, ¿es una isometría directa o inversa? Razona tu respuesta.
3. c) ¿Es conmutativa esta composición? Compruébalo calculando la posición final del foco si se aplicara primero la simetría y después el giro.

Considera un cuadrado de vértices $V_1(0, 2)$, $V_2(2, 2)$, $V_3(2, 0)$ y $V_4(0, 0)$. Se le aplica una transformación que consiste en una simetría central respecto al punto $(1, 1)$ seguida de una rotación de $180^\circ$ con centro en el mismo punto $(1, 1)$.

1. a) Determina la posición de los vértices tras la primera transformación.
2. b) Determina la posición de los vértices tras la segunda transformación.
3. c) ¿Cuál es el movimiento resultante de componer dos simetrías centrales de distinto centro $C_1$ y $C_2$? Investiga este caso probando con $C_1(1, 1)$ y $C_2(3, 1)$ sobre el vértice $V_4$. ¿Qué vector de traslación obtienes?

Se aplica a un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 2)$ y $C(2, 4)$ una traslación de vector $\vec{u}(4, -1)$ seguida de un giro de centro $O(0, 0)$ y ángulo $90^\circ$ en sentido antihorario.

1. a) Obtén las coordenadas de los vértices del triángulo final $A''B''C''$.
2. b) ¿Es la composición de movimientos conmutativa en este caso? Compruébalo calculando la posición del vértice $A$ si se aplicara primero el giro y después la traslación.
3. c) Describe una recta que sea invariante (que se transforme en sí misma) bajo la traslación de vector $\vec{u}$.

En un estudio de diseño gráfico, se está creando un logotipo basado en la composición de simetrías. Considera dos rectas paralelas $r$ y $s$. La recta $r$ tiene por ecuación $x = 2$ y la recta $s$ tiene por ecuación $x = 5$. Si aplicamos primero una simetría axial respecto a $r$ y, al resultado, una simetría axial respecto a $s$ sobre un punto $P(1, 4)$:

1. a) Determina las coordenadas del punto final $P''$ tras ambas transformaciones.

1. b) Identifica razonadamente qué movimiento único equivale a esta composición de simetrías, indicando sus elementos característicos (vector, ángulo o centro, según corresponda).

1. c) ¿Sería el mismo resultado si aplicáramos primero la simetría respecto a $s$ y luego respecto a $r$? Justifica tu respuesta calculando las coordenadas en este nuevo orden.

Un caleidoscopio artesanal utiliza dos espejos que se cortan en un punto $O(0, 0)$. El primer espejo coincide con el eje de abscisas ($X$) y el segundo espejo forma un ángulo de $30^\circ$ con el primero. Un pequeño cristal de color está situado en el punto $A(4, 2)$, como indica la figura.

1. a) Si un rayo de luz se refleja primero en el eje $X$ y luego en el segundo espejo, ¿qué transformación única describe el paso del cristal original $A$ a su segunda imagen $A''$?

1. b) Calcula el ángulo de giro y el centro de dicha transformación.

1. c) Si queremos que la composición de las dos simetrías resulte en un giro de $180^\circ$ (simetría central), ¿qué ángulo deberían formar los dos espejos entre sí?

En un videojuego, un personaje se encuentra en el punto $M(-2, 3)$. El programador necesita que el personaje realice una "simetría con deslizamiento". Para ello, debe aplicar una simetría axial respecto a la recta $y = 1$ y, a continuación, una traslación de vector $\vec{v}(5, 0)$.

1. a) Halla las coordenadas finales del personaje tras el movimiento.
2. b) Explica por qué este movimiento no deja ningún punto invariante en el plano.
3. c) Si la traslación fuera de vector $\vec{w}(0, 5)$ en lugar de $\vec{v}(5, 0)$, ¿seguiría siendo una simetría con deslizamiento? Razona tu respuesta basándote en la relación entre el vector y el eje de simetría.

Un mosaico geométrico está formado por piezas que se obtienen mediante la composición de giros. Una pieza básica tiene un centro de giro en el punto $C(2, 2)$. Se le aplica un giro de $120^\circ$ y, luego, otro giro de $240^\circ$ con el mismo centro $C$.

1. a) ¿Cuál es la posición final de un punto $P(4, 2)$ luego de ambos giros?
2. b) Generaliza el resultado: ¿A qué transformación equivale la composición de dos giros con el mismo centro y ángulos $\alpha$ y $\beta$?
3. c) Si aplicamos dos giros de $90^\circ$ pero con centros distintos, $C_1(0, 0)$ y $C_2(4, 0)$, ¿el resultado es otro giro o una traslación? Justifica tu respuesta analizando el ángulo total.

Dos pueblos, $A$ y $B$, están situados al mismo lado de una carretera rectilínea $r$. Un técnico de telecomunicaciones debe instalar una antena en un punto $P$ de la carretera de modo que la suma de las distancias desde los pueblos a la antena ($AP + PB$) sea mínima.

1. a) Describe cómo utilizar la simetría axial para encontrar la ubicación exacta del punto $P$.

1. b) Si en un sistema de coordenadas los pueblos están en $A(2, 5)$ y $B(10, 3)$, y la carretera es el eje $X$ (como en la figura), calcula las coordenadas del punto $P$.

1. c) Demuestra, basándote en las propiedades de la simetría, que para cualquier otro punto $Q$ de la carretera, $AQ + QB > AP + PB$.