Ejercicios: Modelo mecano-cuántico

Un haz de electrones viaja a una velocidad constante de $2.20 \times 10^{6}\,\mathrm{m\times s^{-1}}$. Datos: masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9,109 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de de Broglie asociada a cada electrón del haz.
2. b) Justifica si dicha longitud de onda es comparable con las distancias interatómicas típicas en un sólido (del orden de $10^{-10}\,\mathrm{m}$) y qué consecuencia física tiene este hecho para la difracción de partículas.

En el marco de la mecánica cuántica se sustituye el concepto de órbita del modelo de Bohr por el de orbital atómico.

1. a) Define con precisión el término «orbital atómico» indicando qué magnitud física representa el cuadrado de la función de onda ($|\psi|^2$).
2. b) Indica si conocer el orbital permite predecir con certeza la posición de un electrón antes de medirla y justifica tu respuesta citando el principio físico correspondiente.

La siguiente ilustración esquematiza una sección bidimensional de la densidad de puntos correspondiente a un orbital atómico tipo $s$, donde se destacan una región interior de alta densidad relativa (A) y una zona periférica de menor densidad (B), delimitadas por una superficie de contorno. Observa el diagrama

y responde las siguientes preguntas:

1. a) Explica el significado físico de la densidad de puntos en este diagrama y justifica por qué en el modelo cuántico no se dibuja una órbita circular o elíptica precisa.
2. b) Describe qué representa la línea de contorno exterior indicada habitualmente en los libros para este tipo de orbital y razona si los signos algebraicos ($+$ o $-$) que a veces se asignan a las funciones de onda representan carga eléctrica positiva o negativa.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera dos partículas con la misma velocidad de $15.0\,\mathrm{m\times s^{-1}}$: un neutrón libre muy lento y una mota de polvo microscópica cuya masa es de $2.00 \times 10^{-10}\,\mathrm{g}$. Datos: masa del neutrón $m_{\mathrm{n}} = 1,675 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de de Broglie asociada a cada una de las dos partículas.
2. b) Compara los valores obtenidos con dimensiones observables (como la luz visible o el espaciado atómico) y razona por qué el comportamiento ondulatorio es relevante para el neutrón pero totalmente inapreciable para la mota de polvo.

Considera la representación espacial y las propiedades mecano-cuánticas de los orbitales atómicos $2p$.

1. a) Describe la geometría tridimensional de un orbital $2p_z$, indicando el número de lóbulos, la posición de su plano nodal y el valor de la probabilidad de encontrar al electrón en dicho plano.
2. b) En las representaciones gráficas de los orbitales $2p$ suele colorearse un lóbulo con signo positivo ($+$) y el otro con signo negativo ($-$). Explica detalladamente el significado físico de estos signos, diferenciándolo de la carga eléctrica, y analiza cómo influye esta propiedad en la formación de enlaces por solapamiento en fase o en oposición de fase.