Ejercicios: Las leyes del movimiento planetario

1. a) Enuncia la tercera ley de Kepler (ley de los periodos) y escribe su expresión matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando el significado de $T$ y de $a$.
2. b) La constante vale $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central. Razona si $C$ es la misma para todos los planetas del sistema solar y si lo sería también para las lunas de Júpiter.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el periodo $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0.387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula el periodo orbital de Mercurio, en años.
2. b) Exprésalo en días terrestres ($1$ año $= 365.25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despeja el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calcula su valor, en $\text{UA}$.

Un alumno afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ es una constante universal, su valor es el mismo para la Tierra alrededor del Sol que para la Luna alrededor de la Tierra».

1. a) Razona por qué la afirmación es falsa, teniendo en cuenta que $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, siendo $M$ la masa del cuerpo central.
2. b) Indica un conjunto de cuerpos para el que sí coincidiría la constante con la de las lunas de Júpiter.

Marte orbita el Sol con un semieje mayor $a = 1.524\ \text{UA}$. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcula la duración del año marciano, en años terrestres.
2. b) Expresa el resultado en días ($1$ año $= 365.25$ días).

Venus completa su órbita alrededor del Sol en $T = 0.615$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Exprésalo en kilómetros, usando notación científica.

Un equipo de astrónomos descubre un objeto cuyo período orbital es $T = 27$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcula el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compáralo con la órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): ¿orbita el objeto más cerca o más lejos del Sol que Neptuno?

Kepler comprobó su tercera ley con los datos de varios planetas. La Tierra tiene $a = 1\ \text{UA}$ y $T = 1$ año; Júpiter tiene $a = 5.20\ \text{UA}$ y $T = 11.86$ años.

1. a) Calcula el cociente $\frac{T^2}{a^3}$ para la Tierra, en $\text{años}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcula el mismo cociente para Júpiter y comprueba que coincide con el anterior (salvo redondeos).
3. c) Explica por qué ese cociente solo es idéntico para cuerpos que orbitan alrededor del mismo cuerpo central.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un periodo orbital de $T = 4.60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expresa su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demuestra, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\times a$ entonces $T' = \sqrt{8}\times T \approx 2.83\times T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calcula su período, en años.
3. c) Razona, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.