Ejercicios: Polinomios

En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibes una cantidad de puntos desconocida $x$, pero por cada enemigo derrotado recibes el triple de puntos que por una moneda. Al finalizar el nivel, siempre te dan un bono fijo de $50$ puntos de experiencia.

Escribe la expresión algebraica que representa la puntuación total de un jugador que ha conseguido $12$ monedas y ha derrotado a $4$ enemigos.

Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios:

Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Selecciona de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $300$ pesos por cada tarde de trabajo, más un extra de $60$ pesos por cada pedido entregado a domicilio. La expresión que calcula su ganancia es $G = 300 + 60x$, donde $x$ es el número de pedidos.

Calcula el valor numérico de su ganancia (lo que cobrará en total) si una tarde logra repartir $8$ pedidos.

Analiza el siguiente polinomio y responde a las preguntas:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
2. b) ¿Cómo se llama el término que no tiene variable (el $-8$)?
3. c) ¿Cuántos términos tiene? Según el número de términos, ¿es un monomio, binomio o trinomio?
4. d) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?

Halla la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:

Dados los siguientes polinomios, realiza la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Los productos notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utiliza la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar la siguiente expresión:

$(x + 2)^2$

En una tienda de tecnología, el precio de un smartphone de gama media es $x$ pesos. Un smartphone de gama alta cuesta el doble que el de gama media más 3,000 pesos, y una tablet cuesta 1,600 pesos menos que el smartphone de gama media.

1. a) Escribe la expresión algebraica que representa el costo total de comprar dos smartphones de gama media, uno de gama alta y tres tablets.
2. b) Reduce la expresión obtenida para que sea un polinomio en su forma más sencilla.
3. c) Si el precio del smartphone básico es $x = 4\,000$ pesos, ¿cuánto dinero costará el pedido total?

Dado el siguiente polinomio:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indica razonadamente los siguientes elementos:

1. a) El grado del polinomio.
2. b) El coeficiente del término de grado 2.
3. c) El término independiente.
4. d) El valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) ¿A qué altura se encuentra la plataforma de lanzamiento? (Pista: calcula $h(0)$).
2. b) ¿A qué altura estará el cohete a los 2 segundos de ser lanzado?
3. c) ¿Estará el cohete más alto a los 3 segundos o a los 4 segundos? Justifica tu respuesta calculando los valores numéricos correspondientes.

Realiza las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \times (x^3 - 3x + 1) + 4 \times (x^2 - 2)$

Calcula el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Expresa el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.

Multiplica los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifica los términos semejantes:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \times (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \times (3x^2 - 2x + 4)$

Aplica las fórmulas de los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \times (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \times (\frac{1}{2}x - 6)$

Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utiliza esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el suelo de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el patrón anterior con una nueva capa de baldosas de distinto color. El número total de baldosas en el nivel $n$ sigue una secuencia lógica.

Observa la figura que representa los tres primeros niveles y:

1. Encuentra el polinomio $P(n)$ que expresa el número total de baldosas necesarias para construir hasta el nivel $n$.

2. Calcula cuántas baldosas tendrá un suelo de nivel $n = 12$.

Una empresa de mensajería cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un costo fijo de gestión $G$ pesos, más un precio por cada kilogramo de peso $x$, y un suplemento de "distancia premium" que equivale al cuadrado del peso del paquete dividido entre 4.

1. Escribe el polinomio $C(x)$ que representa el costo total del envío de un paquete de $x$ kilogramos.

2. Si los gastos de gestión son $G = 5$ pesos y queremos enviar un paquete de $8$ kg, ¿cuál será el costo total?

3. Si la empresa decide duplicar el costo por kilogramo y mantener el resto de parámetros, escribe el nuevo polinomio $C_2(x)$.

Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de lado $3x + 2$ y el hueco interior es un rectángulo de base $x + 4$ y altura $x - 1$.

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando las igualdades notables y la extracción de factor común:

Indica si el resultado final es un número constante o depende del valor de $x$.

Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio). Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ metros y su altura mide $5$ metros menos que la base. El municipio decide ampliar el parque aumentando la base en $3$ metros y la altura en $2$ metros.

1. Escribe el polinomio $A_1(x)$ del área del parque original.

2. Escribe el polinomio $A_2(x)$ del área del parque ampliado.

3. Halla el polinomio que representa el incremento de área $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ y simplifícalo.

Realiza la siguiente operación combinada con polinomios y reduce los términos semejantes:

Extrae factor común y utiliza las igualdades notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización).

Recuerda las igualdades notables: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ y $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$