Ejercicios: Mecanismos de transmisión

Explica la diferencia entre una máquina y un mecanismo con un ejemplo de cada uno: piensa que la máquina es el aparato completo que nos hace un trabajo (la bicicleta, la batidora) y el mecanismo es cada artilugio interno que transmite o transforma el movimiento (la cadena, los engranajes).

Dibuja o describe una palanca sencilla y señala sus tres elementos: el punto de apoyo, la fuerza que aplicamos (F) y la resistencia que hay que vencer (R). Explica con el ejemplo del balancín del parque qué ocurre cuando acercas o alejas el apoyo del centro.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Hay tres géneros de palanca según lo que está en medio: apoyo (primer género), resistencia (segundo) o fuerza (tercer). Clasifica estos objetos y justifícalo pensando dónde está cada cosa al usarlos: unas tijeras, una carretilla de jardín y unas pinzas de depilar.

La figura muestra una palanca con su apoyo, la fuerza aplicada y la carga, pero falta el nombre de una de las medidas.

Nombra todos los elementos de la palanca de la figura (incluido el que está tapado), indica de qué género es esa palanca y explica, mirando las distancias, si con esa palanca harás una fuerza mayor, menor o igual que el peso de la carga.

Una polea fija en lo alto de un mástil permite subir la bandera tirando de la cuerda hacia abajo. Explica qué cambia la polea fija (la dirección de la fuerza) y qué no cambia (la cantidad de fuerza necesaria), y razona por qué aun así resulta mucho más cómoda que subir trepando.

Una polea móvil va enganchada a la propia carga, de modo que la cuerda la sujeta por dos ramas. Explica por qué así la fuerza necesaria se reparte (cada rama «jala» la mitad) y qué precio se paga a cambio: ¿cuánta cuerda hay que jalar para subir la carga un metro?

Dos engranajes en contacto transmiten el giro de un eje a otro. Explica dos cosas que cambian al pasar de una rueda a la otra (el sentido de giro y la velocidad si tienen distinto número de dientes) y nombra dos aparatos de tu casa que lleven engranajes.

La bicicleta transmite el pedaleo con un plato, una cadena y un piñón, no con dos ruedas dentadas juntas. Explica qué ventaja tiene la cadena para llevar el giro de un eje a otro que está lejos y por qué la cadena no «patina» como patinaría una correa lisa resbaladiza.

La ley de la palanca dice que el esfuerzo se equilibra cuando $F \times d_F = R \times d_R$. En un balancín, una carga de $40\ \text{N}$ está a $1\ \text{m}$ del apoyo y tú empujas a $2\ \text{m}$ del apoyo: calcula la fuerza que debes hacer. Explica qué has ganado (fuerza) y qué has perdido (recorrido) al alejarte del apoyo.

La figura muestra dos engranajes en contacto con su número de dientes y la velocidad del primero; la del segundo está tapada.

Calcula la velocidad del engranaje pequeño usando la relación de transmisión $i = \frac{n_{salida}}{n_{entrada}} = \frac{z_{entrada}}{z_{salida}}$, indica en qué sentido gira respecto al grande y explica por qué el pequeño gira más deprisa.

Dos poleas unidas por una correa: la motriz tiene $10\ \text{cm}$ de diámetro y gira a $300\ \text{rpm}$, y la arrastrada tiene $30\ \text{cm}$. Calcula la relación de transmisión y la velocidad de la polea grande, y explica si este sistema multiplica o reduce la velocidad (y qué le pasa entonces a la fuerza en el eje de salida).

Un polipasto combina una polea fija con una móvil, de modo que la carga cuelga de dos ramas de cuerda. Si el saco pesa $200\ \text{N}$, calcula qué fuerza hay que hacer jalando del extremo libre y cuánta cuerda hay que recoger para subirlo $2\ \text{m}$. Enuncia con tus palabras el «trato» que hace cualquier polea móvil: fuerza a cambio de recorrido.

Dos ruedas de fricción transmiten el giro por contacto directo, sin dientes ni correa: una empuja a la otra rozando. Explica en qué sentido gira la rueda arrastrada, qué ocurre si las ruedas están sucias o mojadas (patina y no transmite bien) y pon un ejemplo donde ese patinar sería un problema y otro donde sea una protección útil.

El tornillo sin fin es un tornillo que engrana con una rueda dentada (corona): cada vuelta del tornillo hace avanzar a la corona un solo diente. Si la corona tiene $40$ dientes, calcula cuántas vueltas del tornillo hacen falta para una vuelta completa de la corona y explica por qué este mecanismo da una reducción enorme y, además, la corona no puede mover al tornillo (no es reversible).

En una bicicleta, el plato tiene $44$ dientes y el piñón $11$. Calcula cuántas vueltas da la rueda por cada vuelta de pedal y explica qué cambiarías (plato o piñón) para subir una cuesta empinada pedaleando más suave, aunque la rueda avance menos por pedalada.

Elige el mecanismo de transmisión (palanca, polea fija, polipasto, poleas con correa, engranajes, piñón-cadena o tornillo sin fin) para cada necesidad y justifícalo: (a) subir un piano a un primer piso por la fachada, (b) llevar el giro del motor a las cuchillas de una batidora bajando mucho la velocidad, (c) cambiar solo la dirección de una fuerza para izar una vela y (d) transmitir el pedaleo a la rueda trasera.

Dos operarios deben levantar una losa de piedra de $600\ \text{N}$ usando una barra de acero de $2\ \text{m}$ de longitud. Discuten dos opciones:

• Opción A (1.º género): situar el apoyo a $0.4\ \text{m}$ de la piedra y empujar hacia abajo en el extremo opuesto.

• Opción B (2.º género): apoyar un extremo en el suelo, colocar la piedra a $0.4\ \text{m}$ del apoyo y tirar hacia arriba desde el otro extremo.

(a) Calcula la fuerza que se debe aplicar en cada opción.

(b) Justifica cuál de las dos configuraciones requiere menos esfuerzo a partir de la comparación de sus brazos de palanca.

(c) Si una persona solo puede ejercer como máximo $100\ \text{N}$, ¿es válida la Opción A? Si no lo es, calcula a qué distancia máxima de la piedra habría que colocar el apoyo para no superar esos $100\ \text{N}$.

Necesitas diseñar el mecanismo reductor para la cinta transportadora de un almacén. El motor gira a $1,200\ \text{rpm}$ en sentido horario, pero la cinta debe girar exactamente a $200\ \text{rpm}$, también en sentido horario. En el taller dispones únicamente de engranajes de $20$, $40$ y $60$ dientes, y ejes donde puedes montar una o dos ruedas solidarias.

(a) Demuestra mediante cálculos por qué es imposible lograr esa reducción exacta utilizando un solo par de esas ruedas dentadas.

(b) Diseña un tren compuesto de dos pares de engranajes eligiendo las ruedas adecuadas para obtener exactamente los $200\ \text{rpm}$ requeridos.

(c) Determina el sentido de giro del eje de salida en tu diseño. ¿Gira en el sentido horario que exige la cinta? Si no es así, explica qué elemento mecánico tendrías que añadir para corregirlo sin modificar la velocidad final.

En el taller tenemos un taladro de columna cuya transmisión por correa plana responde al esquema de la figura:

Al taladrar una pieza gruesa de metal, la broca (acoplada al eje de la polea 2) se clava y se detiene en seco, pero el motor sigue girando a $600\ \text{rpm}$.

(a) Calcula a qué velocidad $n_2$ giraba la broca antes de atascarse.

(b) Explica qué fenómeno físico ocurre entre la polea y la correa durante el atasco y razona por qué este efecto protege al motor frente a sobrecargas.

(c) Un compañero propone sustituir las poleas por engranajes para evitar que patine. Rebate su propuesta explicando dos inconvenientes: uno relativo al riesgo para el motor en caso de bloqueo y otro relativo al sentido de giro de la broca.

Una empresa emergente busca financiación para comercializar una «caja de engranajes milagrosa». Aseguran en su catálogo que el mecanismo es capaz de triplicar la velocidad de giro en el eje de salida ($n_2 = 3 \times n_1$) y, al mismo tiempo, mantener intacta la fuerza disponible ($F_2 = F_1$), sin aumentar el consumo del motor.

(a) Basándote en el trabajo mecánico y la conservación de la energía, demuestra matemáticamente por qué esta máquina es imposible en la realidad.

(b) Si el mecanismo triplica la velocidad de giro, ¿qué le ocurre inevitablemente a la fuerza en el eje de salida en condiciones ideales sin rozamiento?

(c) Analiza la situación inversa con un polipasto que reduce la fuerza necesaria a la cuarta parte ($F = R / 4$): predice qué ocurre con la longitud de cuerda que hay que tirar y con la velocidad de elevación de la carga.

Para prensar una fruta dura se necesita aplicar sobre ella una fuerza de al menos $120\ \text{N}$. Una persona que solo puede ejercer con la mano una fuerza máxima de $24\ \text{N}$ va a utilizar un exprimidor de palanca de segundo género.

(a) Dibuja o describe el esquema del mecanismo indicando la posición relativa del punto de apoyo, la fruta (resistencia) y la mano (fuerza aplicada).

(b) Si el mango mide $25\ \text{cm}$ desde el apoyo hasta la posición de la mano, calcula a qué distancia máxima del apoyo debe situarse la fruta para poder exprimirla con esa fuerza disponible.

(c) Alguien sugiere fabricar el exprimidor como una palanca de tercer género (colocando la fruta en el extremo y la mano en el medio) «para que sea más compacto». Justifica matemáticamente por qué este diseño impediría por completo que la persona exprima la fruta.

En un taller mecánico quieren instalar un cabrestante manual para suspender motores de $1,800\ \text{N}$ mientras se reparan. El técnico duda entre dos opciones para el reductor de la manivela:

• Opción A: Un tren simple de dos ruedas dentadas rectas con $z_1 = 10$ y $z_2 = 50$.

• Opción B: Un tornillo sin fin de $1$ entrada que engrana con una corona de $50$ dientes.

(a) Calcula la relación de transmisión de cada opción y predice con cuál de las dos el mecánico tendrá que hacer menos fuerza en la manivela.

(b) Si el mecánico suelta la manivela a mitad de la elevación para coger una herramienta, predice qué sucederá con el motor suspendido en la Opción A y en la Opción B, justificando el concepto mecánico implicado.

(c) A partir de los resultados anteriores, concluye cuál es el mecanismo idóneo y razona cuál es el inconveniente o «precio a pagar» (en tiempo o número de vueltas) al elegir la opción más segura.

Diseña el sistema para subir y bajar la persiana pesada del gimnasio: elige entre polea fija, polipasto o tornillo sin fin con manivela, justifica tu elección con un cálculo sencillo (la persiana pesa $400\ \text{N}$ y una persona puede tirar con unos $100\ \text{N}$) y explica qué pasaría con tu sistema al soltar el cabo o la manivela.

Un ciclista inexperto afirma: «Para subir este puerto de montaña tan inclinado voy a poner el plato grande ($50$ dientes) y el piñón pequeño ($15$ dientes), porque al dar más vueltas la rueda por cada pedalada avanzaré más rápido y me cansaré menos».

(a) Calcula cuántas vueltas de rueda da la bicicleta por cada pedalada con el desarrollo que propone el novato y con el que le recomienda su entrenadora: plato pequeño ($30$ dientes) y piñón grande ($30$ dientes).

(b) Si las ruedas tienen un perímetro de $2.1\ \text{m}$, calcula la distancia recorrida por pedalada en ambos casos.

(c) Rebate con argumentos físicos la afirmación del ciclista: explica por qué no logrará subir más rápido ni con menos fatiga, relacionando la relación de transmisión con la fuerza que deben hacer sus piernas sobre los pedales.