Ejercicios: Propiedades de la probabilidad

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los usuarios jóvenes están suscritos al Plan de Música ($M$) y el $40\ \%$ están suscritos al Plan de Video ($V$). Se sabe además que el $25\ \%$ de los usuarios disfrutan de ambos planes simultáneamente.

Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar esté suscrito a alguno de los dos planes (música o video).

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa los eventos $A$ (estudiantes que practican básquetbol) y $B$ (estudiantes que practican natación) en un centro deportivo:

Sabiendo que los números representan la probabilidad de cada región, utiliza las propiedades de la probabilidad para calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilidad de que no practique básquetbol).

Un estudio sobre hábitos digitales revela que la probabilidad de que un adolescente use una red social de microblogging es $P(S) = 0.72$.

Calcula la probabilidad del evento contrario, es decir, la probabilidad de que un adolescente elegido al azar no utilice dicha red social.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Determina si los eventos $A$ y $B$ son no excluyentes o mutuamente excluyentes justificando tu respuesta mediante el cálculo de $P(A \cap B)$.

En una competición de e-sports, la probabilidad de que el equipo "Alfa" gane la primera partida es $P(A) = 0.6$. La probabilidad de que gane la segunda es $P(B) = 0.5$. Si la probabilidad de que gane ambas es $P(A \cap B) = 0.3$, calcula:

1. a) La probabilidad de que gane la primera partida pero no la segunda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Ilustra la situación mediante un esquema de áreas como el siguiente, en el que el cuadrado completo representa probabilidad 1 y cada región tiene un área igual a su probabilidad. Completa la probabilidad de las otras tres regiones.

Utilizando las Leyes de De Morgan, calcula la probabilidad de que no ocurra ni el evento $A$ ni el evento $B$ (es decir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabiendo que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0.84$.

En una urna hay bolas numeradas. Sean los eventos $A$ = "sacar un número par" y $B$ = "sacar un número impar menor que 5". Si conocemos que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.2$ y que los eventos son mutuamente excluyentes, calcula la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.

Dados dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se conocen los siguientes datos:

$P(\bar{A}) = 0.6$

$P(B) = 0.3$

$P(A \cap B) = 0.1$

Encuentra el valor de la probabilidad de la unión, $P(A \cup B)$. Sugerencia: calcula primero $P(A)$.

En un estudio sobre el consumo de contenido digital en una clase de 2º de Bachillerato, se sabe que la probabilidad de que un alumno use habitualmente TikTok (suceso $A$) es $0.65$, la probabilidad de que use Instagram (suceso $B$) es $0.70$ y la probabilidad de que no use ninguna de las dos redes sociales es $0.15$.

Utilizando las propiedades de la probabilidad, calcula:

1. a) La probabilidad de que un alumno, elegido al azar, utilice ambas redes sociales.
2. b) La probabilidad de que utilice solo una de las dos.
3. c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta.

Dos equipos de E-sports, "Titanes" y "Fénix", participan en un torneo. La probabilidad de que los Titanes ganen su partida es $P(T) = 0.8$ y la de que los Fénix ganen la suya es $P(F) = 0.7$. Suponiendo que los resultados de ambos equipos son independientes, calcula mediante el álgebra de eventos las siguientes probabilidades:

1. a) Que ambos equipos ganen sus respectivas partidas.
2. b) Que al menos uno de los dos gane.
3. c) Que solo gane el equipo de los Titanes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que conocemos $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y la probabilidad de la unión de sus complementos es $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.8$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) Halla $P(A \cup B)$.
3. c) Determina si los eventos $A$ y $B$ son no excluyentes o mutuamente excluyentes.
4. d) Calcula $P(A / \bar{B})$.

En un centro deportivo, el $60\%$ de los inscritos practica entrenamiento de fuerza (evento $F$) y el $45\%$ practica yoga (evento $Y$). Se sabe además que el $20\%$ de los que practican fuerza también están inscritos en yoga.

Construye una tabla de contingencia o un diagrama de Venn para responder a las siguientes preguntas:

1. a) Probabilidad de que un socio elegido al azar no practique ni fuerza ni yoga.
2. b) Si sabemos que un socio practica yoga, ¿cuál es la probabilidad de que no practique fuerza?
3. c) ¿Son los eventos "practicar fuerza" y "practicar yoga" independientes?

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que la probabilidad de que ocurra $B$ si ha ocurrido $A$ es $P(B/A) = 0.25$. Si sabemos que $P(A \cap B) = 0.15$ y que $P(B) = 0.45$:

1. a) Calcula $P(A)$.
2. b) Calcula $P(A \cup B)$.
3. c) Calcula la probabilidad de que no ocurra $A$ dado que no ha ocurrido $B$, es decir, $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Un sistema de seguridad inteligente tiene dos sensores independientes, $S_1$ y $S_2$. La probabilidad de que el sensor $S_1$ detecte una intrusión es $0.92$ y la probabilidad de que la detecte el sensor $S_2$ es $0.85$. En el caso de que ocurra una intrusión, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea detectada por ambos sensores simultáneamente.
2. b) La probabilidad de que la intrusión sea detectada (es decir, que al menos un sensor funcione).
3. c) La probabilidad de que el sensor $S_1$ falle pero el $S_2$ funcione correctamente.

Dados dos eventos $A$ y $B$, se sabe que $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.6$ y $P(A \cup B) = 0.72$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) ¿Son los eventos $A$ y $B$ independientes? Justifica la respuesta comparando $P(A \cap B)$ con el producto de sus probabilidades individuales.
3. c) Calcula $P(\bar{A} / B)$.

Una plataforma de streaming clasifica a sus usuarios en "Premium" ($P$) o "Estándar" ($S$). Se estima que el $40\%$ son Premium. Además, el $70\%$ de los usuarios Premium ven series de ciencia ficción ($C$), mientras que solo el $30\%$ de los usuarios Estándar las ven. Si se elige un usuario al azar:

1. a) Calcula la probabilidad de que vea series de ciencia ficción.
2. b) Si el usuario elegido está viendo una serie de ciencia ficción, ¿cuál es la probabilidad de que sea un usuario Premium?
3. c) ¿Son los eventos "Ser usuario Premium" y "Ver series de ciencia ficción" independientes? Justifica matemáticamente mediante propiedades de probabilidad condicional.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres eventos de un mismo experimento aleatorio tales que forman un sistema completo de eventos. Se conocen las siguientes relaciones entre sus probabilidades:

• La probabilidad de $A$ es el doble de la de $B$.

• La probabilidad de la unión de $B$ y $C$ es el triple de la probabilidad de la intersección de $A$ y $B$, si esta última no fuera nula (pero en este caso considera que $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes).

Demuestra razonadamente, utilizando los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de la probabilidad, si es posible que $P(C) = 0.4$. En caso negativo, determina el valor exacto de las probabilidades de cada evento.

En un sistema de seguridad redundante para una infraestructura de servidores, se instalan tres nodos de control ($N_1, N_2, N_3$). Se sabe que el sistema falla si al menos dos de los nodos caen simultáneamente. Las probabilidades de fallo de cada nodo son $P(N_1) = 0.05$, $P(N_2) = 0.08$ y $P(N_3) = 0.10$.

Debido a que comparten la misma red eléctrica, los fallos no son independientes. Se sabe que:

• La probabilidad de que fallen el primer y el segundo nodo es $P(N_1 \cap N_2) = 0.02$.

• La probabilidad de que fallen el segundo y el tercero es $P(N_2 \cap N_3) = 0.03$.

• La probabilidad de que fallen el primero y el tercero es $P(N_1 \cap N_3) = 0.01$.

• La probabilidad de que fallen los tres a la vez es $P(N_1 \cap N_2 \cap N_3) = 0.005$.

1. a) Dibuja un diagrama de Venn con los tres sucesos $N_1$, $N_2$ y $N_3$ dentro del espacio muestral y calcula la probabilidad de cada una de las ocho regiones (incluida la exterior a los tres círculos).

1. b) Calcula la probabilidad de que el sistema global no falle, es decir, de que fallen como máximo un nodo. Apóyate en el diagrama del apartado anterior para razonar tu respuesta.

Demuestra formalmente la siguiente generalización de las Leyes de Morgan para tres eventos utilizando exclusivamente las propiedades de las operaciones con conjuntos y los axiomas de la probabilidad:

Posteriormente, utiliza este resultado para resolver el siguiente problema: En una empresa de desarrollo de software, el $60\%$ de los empleados domina Python, el $40\%$ Java y el $30\%$ C++. Se sabe que el $20\%$ domina Python y Java, el $15\%$ Java y C++, y el $10\%$ Python y C++. Si solo el $5\%$ domina los tres lenguajes, calcula la probabilidad de que un empleado elegido al azar no conozca ninguno de estos tres lenguajes de programación.

Un ingeniero aeronáutico analiza la confiabilidad de un componente crítico. Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = \frac{1}{3}$ y $P(B) = p$.

1. Si $A$ y $B$ son independientes, expresa la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos eventos en función de $p$.

2. Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, ¿cuál es el valor máximo que puede tomar $p$?

3. Determina el valor de $p$ para que la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$ sea igual a $\frac{1}{4}$, suponiendo que $A$ y $B$ son independientes.

En una red de sensores IoT, dos sensores $S_1$ y $S_2$ detectan anomalías térmicas de forma independiente. La probabilidad de que el sensor $S_1$ detecte una anomalía es $P(S_1) = x$ y la del sensor $S_2$ es $P(S_2) = y$.

Se define un nuevo evento $Z$ como el hecho de que la anomalía sea detectada por al menos uno de los dos sensores. Si sabemos que $P(Z) = 0.8$ y que la probabilidad de que ambos sensores fallen simultáneamente es el cuádruple de la probabilidad de que ambos acierten, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de $x$ e $y$ (suponiendo $x < y$).

Considera dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0.6$ y $P(B) = 0.7$.

Basándote en los axiomas de Kolmogorov, demuestra que:

1. El valor mínimo posible para $P(A \cap B)$ es $0.3$.

2. El valor máximo posible para $P(A \cap B)$ es $0.6$.

3. Si se agrega un tercer evento $C$ tal que $P(C) = 0.8$, ¿cuál es el valor mínimo de la probabilidad de que ocurran los tres eventos a la vez, $P(A \cap B \cap C)$? Justifica tu respuesta utilizando la desigualdad de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

En un laboratorio de biotecnología se estudia la reacción de una proteína ante dos reactivos, $\alpha$ y $\beta$. La probabilidad de reacción ante $\alpha$ es $P(\alpha) = 0.4$. La probabilidad de que no reaccione ante ninguno es $P(\alpha^c \cap \beta^c) = 0.3$.

Si denotamos como $R$ al evento "la proteína reacciona ante exactamente uno de los dos reactivos", y sabemos que $P(R) = 0.5$, determina:

1. a) La probabilidad de reacción ante el reactivo $\beta$.
2. b) ¿Son los eventos de reaccionar ante $\alpha$ y ante $\beta$ independientes? Justifica tu respuesta con cálculos.
3. c) ¿Son no excluyentes?

Sea un espacio muestral $E$ y dos eventos $A, B \subset E$ con probabilidades no nulas. Se define la "diferencia simétrica" entre los eventos como $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Si sabemos que $P(A \Delta B) = 0.6$ y que $P(A \cup B) = 0.8$:

1. Calcula $P(A \cap B)$.

2. Si además se cumple que $P(A | B) = 0.4$, halla los valores individuales de $P(A)$ y $P(B)$.

3. Utilizando los valores obtenidos, verifica si se cumple la identidad $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$.

Demuestra, utilizando exclusivamente los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de las operaciones con eventos (como $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ siendo estos últimos mutuamente excluyentes), la fórmula general para la probabilidad de la unión de tres eventos cualesquiera $A$, $B$ y $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades dependen de un parámetro $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ y $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sabiendo que los eventos $A$ y $B$ no son exhaustivos (es decir, $P(A \cup B) < 1$), determina el intervalo de valores posibles para el parámetro $x$. Para $x = 1.2$, calcula $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

En un satélite espacial existen tres sensores $S_1$, $S_2$ y $S_3$. A partir de pruebas de estrés, se conocen las siguientes probabilidades de falla:

• La probabilidad de que falle exclusivamente $S_1$ es $0.10$.

• La probabilidad de que falle exclusivamente $S_2$ es $0.08$.

• La probabilidad de que fallen $S_1$ y $S_2$ simultáneamente, pero no $S_3$, es $0.05$.

• La probabilidad de que falle $S_3$ es $0.30$.

• La probabilidad de que fallen los tres a la vez es $0.02$.

Sabiendo que los eventos "falla de $S_1$" y "falla de $S_3$" son mutuamente excluyentes si $S_2$ no falla, calcula la probabilidad de que falle al menos uno de los tres sensores.

Dos jugadores, Ana y Blas, lanzan alternativamente una moneda equilibrada. Gana el primero que obtenga "Cara". Ana lanza primero. Define el espacio muestral infinito de este experimento y, utilizando la suma de una progresión geométrica, calcula la probabilidad que tiene Blas de ganar el juego (es decir, que la primera "Cara" salga en un lanzamiento par).