Ejercicios: Propiedades de las funciones derivables. Teoremas de Rolle; del valor medio y de Cauchy

Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, comprueba si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halla el valor del punto $c \in (2, 4)$ cuya existencia asegura el teorema.

Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$. Una vez hallado $k$, calcula el valor de $c$ donde la derivada se anula.

Considera la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. En la figura aparecen su gráfica y la recta secante que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la gráfica de abscisas $0$ y $2$.

1. a) Comprueba que se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio (de Lagrange) en $[0, 2]$ y calcula la pendiente de la recta secante $AB$.

1. b) Halla el valor del punto $c \in (0, 2)$ cuya existencia garantiza el teorema.

1. c) Explica gráficamente qué relación tiene la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $c$ con la recta secante $AB$.

Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en metros) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar que en algún instante entre $t=1$ y $t=4$ segundos, su velocidad instantánea fue exactamente igual a su velocidad media en ese intervalo. Calcula dicho instante.

Explica razonadamente por qué no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función $f(x) = 1 - |x-1|$ en el intervalo $[0, 2]$, a pesar de que $f(0) = f(2) = 0$. ¿Qué hipótesis falla en este caso?

Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[1, 5]$ y derivable en el abierto $(1, 5)$. Si los valores de la función en los extremos son $f(1) = 10$ y $f(5) = 30$, ¿podemos asegurar que existe algún punto $c$ en el intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $5$? Justifica tu respuesta utilizando el Teorema del Valor Medio.

Dada la función $f(x) = \sin(x)$, resuelve:

1. a) Verifica que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, \pi]$.

1. b) Halla el valor de $c$ que satisface la tesis del teorema.

1. c) Representa $c$ esquemáticamente sobre la gráfica de la función (puedes copiar la figura) o en una circunferencia goniométrica. Si usas la gráfica, marca el punto de abscisa $c$ y dibuja la recta tangente en ese punto.

Dada la función definida a trozos:

Estudia si se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[1, e+2]$ y, en caso afirmativo, halla el valor o valores de $c \in (1, e+2)$ cuya existencia asegura el teorema.

Un radar de tramo en una autopista detecta que un vehículo entra en el túnel El Sinaloense (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale de él (punto $B$) a las 14:01:30 h. La distancia entre ambos puntos de control es de 3.5 km.

Si el límite de velocidad en el túnel es de $120 \text{ km/h}$, utiliza el Teorema del Valor Medio de Lagrange para justificar si el conductor debería recibir una multa por exceso de velocidad, independientemente de que su velocidad en la entrada y en la salida fuera legal.

Considera la función polinómica $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina el valor del parámetro $k$ para que la función cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 1]$.
2. b) Para dicho valor de $k$, calcula los puntos $c$ que verifican la tesis del teorema.

Sea la función $f(x) = x \times e^{x^2-1}$.

1. a) Comprueba que $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[0, 1]$.
2. b) ¿Existe algún punto en dicho intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $1$? Justifica tu respuesta utilizando el teorema.

Aplica el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, es decir, con $a = 0$ y $b = \frac{\pi}{2}$. Encuentra el valor de $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ que satisface la igualdad:

Explica la interpretación geométrica de este resultado en términos de la curva paramétrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, con $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. En la figura aparecen esa curva, sus extremos $A = (g(a), f(a))$ y $B = (g(b), f(b))$, la recta secante $AB$ y los incrementos $g(b)-g(a)$ y $f(b)-f(a)$.

Utiliza los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación:

tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.

Halla un punto en la gráfica de la función donde la recta tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos de la curva con abscisas $x=0$ y $x=4$. ¿Qué teorema garantiza que dicho punto existe? Enuncia sus hipótesis y comprueba que se cumplen.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 3}$, ¿se puede aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$ sabiendo que $f(1) = f(5) = 0$?

Razona tu respuesta analizando la continuidad y derivabilidad de la función en dicho intervalo. En caso negativo, explica si esto contradice el teorema.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ k \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Calcula los valores de los parámetros $a, b, k \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, e]$. Una vez hallados los parámetros, determina el valor del punto $c \in (0, e)$ cuya existencia garantiza el teorema.

Demuestra, utilizando conjuntamente el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle, que la ecuación:

posee una única solución real para cualquier valor de la constante $k \in \mathbb{R}$. Explica razonadamente por qué la existencia de más de una raíz entraría en contradicción con el enunciado del Teorema de Rolle.

El sistema de registro GPS de un tren de mercancías muestra que ha pasado por el punto kilométrico 150 de una línea a las 10:00:00 h y por el punto kilométrico 162 a las 10:06:40 h. El límite de velocidad de esa línea es de $100 \text{ km/h}$.

1. a) Utilizando el Teorema del Valor Medio (Lagrange), justifica si el tren ha superado en algún momento el límite de velocidad de la línea.
2. b) Si la función que describe la posición del tren en ese tramo es $s(t) = 150 + 2t - 0.03t^2$ (donde $s$ está en km y $t$ en minutos desde que pasa por el primer punto kilométrico), halla el instante exacto en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media del trayecto.

Dadas las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = x^2 + 1$, aplica el Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Medio Generalizado) en el intervalo $[0, 2]$.

Halla el valor de $c \in (0, 2)$, correspondiente al punto $P$ de la figura, que satisface la tesis del teorema:

Considera una función $f(x)$ derivable en todo $\mathbb{R}$. Se sabe que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales, $x_1 = -2$ y $x_2 = 3$.

Demuestra que la función $f(x)$ no puede tener más de tres raíces reales distintas. ¿Es posible que la función solo tenga una raíz real? Justifica tu respuesta basándote en las interpretaciones geométricas de los teoremas de derivabilidad.

Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$:

Ayuda: Aplica el teorema a la función $f(x) = \ln(x)$ en el intervalo $[a, b]$.

Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x + m$.

1. a) Determina para qué valores del parámetro $m$ la función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo de la forma $[0, a]$ con $a > 0$.
2. b) Para $m = 0$, halla el mayor intervalo posible $[p, q]$ donde se pueda aplicar el teorema y calcula el punto $c$ cuya existencia se asegura.

Dos corredores, Alba y Bruno, inician una carrera de 100 metros vallas al mismo tiempo y llegan a la meta en un empate técnico (mismo tiempo $T$). Sus funciones de posición son $s_A(t)$ y $s_B(t)$, ambas continuas en $[0, T]$ y derivables en $(0, T)$.

Demuestra, utilizando el Teorema de Rolle sobre la función diferencia $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, que hubo al menos un instante durante la carrera en el que ambos corredores llevaban exactamente la misma velocidad instantánea.