Ejercicios: Dibujar una función paso a paso

Un repartidor de comida a domicilio cobra un sueldo base de $80$ pesos por hora trabajada. Grafica la función lineal $f(x) = 80x$, donde $x$ es el número de horas y $f(x)$ el dinero cobrado. Para graficarla, sigue estos pasos:

1. Crea una tabla de valores calculando las imágenes para $x = 0, 1, 2$ y $3$.

2. Ubica los puntos en el plano cartesiano.

3. Une los puntos con una semirrecta (tomando en cuenta que las horas no pueden ser negativas).

Representa gráficamente la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$. Sigue estos pasos de forma ordenada:

1. Identifica los puntos de corte con el eje $X$ resolviendo la ecuación $x^2 - 4 = 0$.

2. Halla el punto de corte con el eje $Y$ calculando $f(0)$.

3. Determina las coordenadas del vértice $V(x_v, y_v)$.

4. Dibuja la parábola uniendo los puntos anteriores. Puedes apoyarte en los ejes de la figura, donde cada división equivale a 1 unidad en ambos ejes.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una plataforma de streaming ofrece una tarifa plana de $240$ pesos al mes, sin importar cuántas películas veas. Representa gráficamente la función $f(x) = 240$, donde $x$ es el número de películas.

1. Justifica qué tipo de función es (lineal, cuadrática o constante).

2. Determina el valor de la función para $x = 0, x = 10$ y $x = 20$.

3. Dibuja la gráfica en unos ejes coordenados.

Dibuja paso a paso la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. Calcula los valores del primer tramo para $x = -1, x = 0$ y el valor al que se acerca cuando $x = 1$.

2. Dibuja el segundo tramo sabiendo que es una función constante para valores mayores o iguales a $1$.

3. Presta atención al punto de unión en $x = 1$ para ver si hay un salto o si la función es continua.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Vas a representar la función de valor absoluto $f(x) = |x - 3|$ (en tu cuaderno, si quieres, para apoyarte). Sigue estos pasos:

1. Representa primero la recta auxiliar $y = x - 3$ de forma discontinua.

2. Identifica el punto donde la recta corta al eje $X$ (es el punto donde cambia la dirección de la gráfica, el vértice).

3. "Refleja" la parte de la recta que queda por debajo del eje $X$ hacia la parte positiva de las $Y$.

4. Remarca el trazo final de la función $f(x)$.

Ahora responde a partir de tu representación:

1. a) ¿Cuál es la abscisa $x$ del punto en el que la recta $y = x - 3$ corta al eje $X$?

1. b) ¿Qué valor toma la recta auxiliar en $x = 0$? ¿Y qué valor toma $f(0)$ después de reflejar?

1. c) Calcula $f(5)$.

1. d) Para $x < 3$, la gráfica de $f$ coincide con la recta $y = -x + 3$. ¿Cuál es su pendiente?

Se valorará que la recta auxiliar, el punto de corte, la reflexión y el trazo final sean coherentes entre sí, y que los valores que des en los apartados coincidan con tu gráfica.

Representa la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$.

1. a) Explica por qué el valor $x = 0$ no pertenece al dominio.

1. b) Calcula las imágenes para $x = 1, 2, 4$ y sus opuestos $x = -1, -2, -4$.

1. c) Representa en unos ejes de coordenadas los puntos obtenidos y dibuja las dos ramas de la hipérbola teniendo en cuenta que los ejes son asíntotas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dibuja la parábola $f(x) = -x^2 + 1$. Sigue estos pasos para no equivocarte:

1. Observa el signo del coeficiente de $x^2$ y decide si las ramas van hacia arriba o hacia abajo.

2. Calcula el vértice. Al no haber término en $x$, ¿cuál es su abscisa $x_v$?

3. Halla los puntos de corte con el eje $X$.

4. Dibuja la curva de forma simétrica respecto al eje $Y$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una empresa de renta de scooters eléctricos cobra $20$ pesos por desbloquear el scooter y $10$ pesos por cada minuto de uso. Representa la función $f(x) = 10x + 20$, donde $x$ son los minutos.

1. Calcula el costo para $0, 5, 10$ y $20$ minutos.

2. Identifica la ordenada al origen y explica qué significa en este contexto real.

3. Dibuja la gráfica resultante.

Un jugador de básquetbol lanza un tiro libre cuya trayectoria sigue la función $h(t) = -t^2 + 4t + 2$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ es el tiempo en segundos desde el lanzamiento. Representa gráficamente la trayectoria del balón siguiendo estos pasos:

1. Identifica el tipo de función y determina la orientación de sus ramas.

2. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola.

3. Encuentra los puntos de intersección con el eje de abscisas ($OX$) y con el eje de ordenadas ($OY$).

4. Establece el dominio real de la función teniendo en cuenta el contexto físico (el tiempo no es negativo y el balón se detiene al tocar el suelo).

5. Dibuja la gráfica utilizando los datos anteriores.

En el mercado de los tenis, la demanda de un modelo específico se rige por la función racional $q(p) = \frac{200}{p-10}$, donde $q$ es la cantidad de pares demandados y $p$ es el precio en pesos ($p > 10$). Dibuja la curva de demanda realizando el siguiente análisis:

1. Determina el dominio de definición de la función en el contexto económico.

2. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal.

3. Obtén las intersecciones con los ejes, si existen.

4. Elabora una pequeña tabla de valores para precios significativos (ej. $p=20, p=50, p=110$).

5. Representa la función indicando claramente la tendencia de la demanda a medida que sube el precio.

Una empresa de mensajería cobra a sus clientes según el peso de los paquetes. La tarifa se define por la siguiente función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 15 & \text{si } 5 \le x \le 10 \\ x + 5 & \text{si } x > 10 \end{cases}$

donde $x$ es el peso en kg y $f(x)$ el precio en pesos. Grafica la función paso a paso:

1. Identifica el tipo de función en cada uno de los tres intervalos.

2. Calcula los valores de la función en los puntos de ruptura ($x=5$ y $x=10$).

3. Determina si la función es continua en dichos puntos de ruptura calculando los límites laterales.

4. Grafica cada tramo de la función en su intervalo correspondiente.

Deseamos analizar la evolución del saldo de una cuenta joven que ha tenido movimientos bruscos. La función que describe el saldo estimado es $f(x) = |x^2 - 4x|$, donde $x$ representa los meses transcurridos. Dibuja la gráfica siguiendo este procedimiento:

1. Representa primero la función parabólica auxiliar $g(x) = x^2 - 4x$, hallando su vértice y sus cortes con el eje $OX$.

2. Identifica los intervalos donde el valor de $g(x)$ es negativo.

3. Aplica la definición de valor absoluto para «reflejar» la parte negativa de la gráfica sobre el eje $OX$.

4. Dibuja la gráfica definitiva de $f(x)$, asegurándote de que no existan valores por debajo del eje de abscisas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El número de usuarios de una nueva red social crece de forma exponencial según la función $U(t) = 2 \times 1.5^t$, donde $U$ es el número de usuarios (en miles) y $t$ es el tiempo en meses. Para representar este crecimiento, sigue estos pasos:

1. a) Identifica el valor inicial de usuarios (para $t=0$).

1. b) Determina el tipo de crecimiento (¿es creciente o decreciente?) observando la base de la potencia.

1. c) Indica la ecuación de la asíntota horizontal de la función.

1. d) Calcula los valores para $t=1$, $t=2$ y $t=3$.

1. e) Dibuja en unos ejes cartesianos (tiempo $t$ en meses en el eje horizontal y usuarios $U$ en miles en el eje vertical) los puntos obtenidos y la asíntota, y únelos con una curva suave que represente la evolución de la comunidad.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un estudio arqueológico utiliza la función $f(x) = \sqrt{x+4} - 2$ para modelar la profundidad de una excavación en metros, siendo $x$ la distancia horizontal desde el centro del yacimiento. Representa la función siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula el dominio de definición de la función.

1. b) Halla el punto de inicio de la curva (donde comienza el dominio).

1. c) Encuentra los puntos de corte con los ejes coordenados.

1. d) Determina si la función es creciente o decreciente en su dominio.

1. e) Esboza en tu cuaderno la gráfica, apoyándote en una tabla de valores, y describe la curvatura característica de las funciones raíz.

La intensidad del sonido (en una escala logarítmica simplificada) percibida por un micrófono viene dada por $S(x) = \log_2(x) + 3$, donde $x$ es la potencia de la fuente sonora. Representa la función $S(x)$ realizando lo siguiente:

1. a) Establece el dominio de la función.

1. b) Identifica la asíntota vertical.

1. c) Calcula el punto donde la intensidad es nula (punto de corte con el eje $OX$).

1. d) Obtén el valor de la función para potencias clave como $x=1$, $x=2$ y $x=4$.

1. e) Dibuja la gráfica mostrando el comportamiento logarítmico, indicando en ella la asíntota, el punto de corte con $OX$ y los puntos del apartado d).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El costo medio de fabricar una serie de playeras personalizadas está dado por la función $C(x) = \frac{80x + 2\,000}{x}$, donde $x$ es el número de playeras producidas ($x > 0$) y $C(x)$ es el costo por unidad en pesos. Grafica esta función racional siguiendo estos pasos:

1. Simplifica la expresión de la función dividiendo cada término del numerador entre el denominador.

2. Identifica la asíntota vertical y la asíntota horizontal. Explica el significado económico de la asíntota horizontal.

3. Determina si la función es creciente o decreciente.

4. Calcula el costo medio para $x=10, x=20$ y $x=50$.

5. Grafica la curva de costo medio.

Un analista financiero estudia la evolución de la rentabilidad de una inversión tecnológica a lo largo de 10 años. La función que describe la rentabilidad $R(t)$ en función del tiempo $t$ (en años) viene dada por la siguiente expresión a trozos:

$R(t) = \begin{cases} \dfrac{2t - 4}{t + 1} & \text{si } 0 \le t < 4 \\[2mm] |t^2 - 10t + 21| & \text{si } 4 \le t \le 10 \end{cases}$

Dibuja la gráfica de la función siguiendo estos pasos:

1. a) Determina el dominio de definición en el contexto del problema y estudia si la función es continua en $t = 4$ (calcula el límite lateral por la izquierda y el valor $R(4)$).

1. b) Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

1. c) Calcula las asíntotas de la rama racional y decide cuáles afectan a la gráfica en el intervalo $0 \le t < 4$.

1. d) Estudia el valor absoluto en el segundo tramo: determina en qué valores de $t$ se anula $t^2 - 10t + 21$, escribe $R(t)$ sin valor absoluto en $[4, 7]$ y en $[7, 10]$, y halla el punto donde la curva toca el eje $X$ formando un pico, así como el máximo local en $[4, 7]$.

1. e) Representa la función con precisión, indicando con un punto abierto o cerrado lo que corresponda en $t = 4$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un taller artesanal estudia sus costos de producción. El costo unitario $C(x)$ (en pesos) depende del número de unidades diarias producidas $x$ y sigue la función:

$C(x) = \frac{60x^2 + 240}{x - 1}$

Dibuja la gráfica detallada de la función para $x > 1$ realizando el siguiente análisis:

1. Identifica el dominio y explica por qué no tiene sentido analizar valores $x \le 1$.

2. Encuentra la asíntota vertical y estudia la posición de la curva respecto a ella mediante límites laterales.

3. Determina la existencia de una asíntota oblicua mediante la división de polinomios y represéntala como línea auxiliar.

4. Calcula los puntos de intersección con los ejes (si existen) y utiliza una pequeña tabla de valores estratégicos para definir la curvatura.

Se está monitorizando la temperatura de un nuevo procesador gráfico durante una prueba de estrés. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) tras $x$ minutos se modela mediante la función:

$T(x) = 25 + \dfrac{60x^2}{x^2 + 9}$

Para dibujar la gráfica que representará el informe técnico, realiza los siguientes pasos:

1. a) Halla el valor de la temperatura en el instante inicial.

1. b) Calcula la asíntota horizontal y explica su significado físico (temperatura límite de saturación).

1. c) Determina si la función tiene puntos de corte con el eje de abscisas y justifica el resultado basándote en el rango de la función.

1. d) Estudia la simetría de la función y explica cómo te ayuda a dibujarla para valores de tiempo hipotéticamente negativos.

1. e) Dibuja en tus ejes la curva suavizada (puedes ayudarte de una tabla de valores) indicando claramente la asíntota.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}$, dibuja su gráfica siguiendo un análisis exhaustivo:

1. Determina el dominio de definición. ¡Cuidado! Identifica el tipo de discontinuidad que hay en cada punto donde el denominador se anula.

2. Simplifica la expresión de la función y explica qué sucede gráficamente en $x = 2$ (¿hay una asíntota o un "agujero"?).

3. Halla las asíntotas verticales y horizontales de la función simplificada.

4. Estudia el signo de la función en los intervalos definidos por las raíces y las asíntotas.

5. Dibuja la gráfica representando el punto evitable como un pequeño círculo vacío.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Representa gráficamente la función $f(x) = \sqrt{|x| - 3}$. Para ello, sigue estos pasos lógicos:

1. Determina el dominio de definición de la función resolviendo la inecuación $|x| - 3 \ge 0$.

2. Analiza la simetría de la función. ¿Es par o impar? ¿Cómo afecta esto a la construcción del dibujo?

3. Estudia el crecimiento en el intervalo $(3, +\infty)$.

4. Representa primero la parte derecha de la gráfica y luego utiliza la simetría para completar el lado izquierdo.

5. Indica los puntos de corte con el eje $X$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El beneficio neto $B(x)$ de una startup de aplicaciones para celular (en miles de pesos) sigue el modelo:

$B(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x < 0 \\ 5 \times \ln(x + 1) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Donde $x$ representa el balance de inversión publicitaria (negativo es deuda, positivo es inversión neta). Dibuja la gráfica paso a paso:

1. Estudia la continuidad en el punto crítico $x = 0$.

2. Para el tramo de la izquierda ($x < 0$), halla el vértice de la parábola y sus intersecciones con los ejes.

3. Para el tramo de la derecha ($x \ge 0$), calcula el crecimiento y la intersección con el eje $Y$.

4. Determina si la función tiene alguna asíntota.

5. Dibuja ambas ramas con suavidad en el punto de unión.

Se desea representar la función $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x}$. Realiza el dibujo siguiendo estas pautas:

1. Reescribe la función como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto.

2. Determina el dominio y las asíntotas verticales.

3. Halla las asíntotas oblicuas para los tramos correspondientes.

4. Estudia la simetría de la función para simplificar el trazado.

5. Identifica los puntos de "cambio de curvatura" donde el valor absoluto actúa y dibuja la gráfica final.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dibuja paso a paso la gráfica de la función $f(x) = 2 + e^{1/(x-2)}$. Este tipo de funciones son comunes en estudios de crecimiento con barreras críticas.

1. Halla el dominio y la asíntota vertical.

2. Calcula los límites laterales cuando $x \to 2^-$ y $x \to 2^+$. ¿Hacia qué valor tiende la función por la izquierda de la asíntota? ¿Y por la derecha?

3. Determina la asíntota horizontal calculando el límite cuando $x \to \pm\infty$.

4. Comprueba si la función corta al eje $X$ o al eje $Y$.

5. Utiliza toda la información anterior para realizar el trazado, prestando especial atención a la discontinuidad en $x = 2$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.