Esercizi: Rappresentazione sulla retta

Osserva la seguente retta numerica e individua i valori rappresentati dalle lettere $A$, $B$ e $C$.

Disegna una retta numerica sul quaderno e rappresenta su di essa i seguenti numeri interi:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta sulla retta numerica il numero $-3$ e il suo opposto. A quale distanza si trova ciascuno dall'origine?

Puoi usare questa retta, in cui sono segnati l'origine e le unità (ogni tacca è un'unità), oppure disegnare la tua:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un termometro segna una temperatura di $4^\circ\text{C}$ alle dieci del mattino. Se alle otto di sera la temperatura è scesa di $6^\circ\text{C}$, rappresenta su una retta entrambe le temperature e indica qual è la temperatura finale.

Scrivi sul quaderno tutti i numeri interi $x$ che soddisfano la condizione $-2 < x \leq 3$ e rappresentali sulla retta numerica. Fai molta attenzione agli estremi aperti e chiusi.

Puoi copiare questa retta sul quaderno:

Rappresenta sulla retta numerica tutti i numeri interi il cui valore assoluto sia uguale a $4$. Quanti numeri hai segnato?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un subacqueo si trova a una profondità di $8$ metri sotto il livello del mare. Se decide di risalire di $3$ metri per osservare dei pesci, a quale profondità si trova ora? Rappresenta il movimento con frecce su una retta numerica orizzontale.

Colloca i seguenti numeri sulla retta numerica e usala per ordinarli dal minore al maggiore usando il segno $<$:

Durante un'ondata di freddo registrata dal servizio meteorologico, la temperatura minima a Aosta è stata di $-6$ ºC e la massima a Napoli è stata di $9$ ºC. Luca vuole calcolare la differenza termica (la distanza tra i due valori sulla retta numerica) e scrive sul quaderno:

Luca conclude che la distanza tra le due temperature sulla retta numerica è di $3$ unità.

1. a) Trova e spiega con parole tue l'errore concettuale commesso da Luca nel tradurre la distanza tra due numeri in un'operazione con valore assoluto.
2. b) Scrivi l'espressione corretta utilizzando il valore assoluto e calcola in modo motivato la distanza reale tra le due temperature.
3. c) Mostra che sottrarre le temperature nell'ordine inverso all'interno del valore assoluto dà esattamente lo stesso risultato e giustifica perché accade.

Due subacquei di un gruppo di biologia marina in Sardegna comunicano la loro posizione verticale rispetto al livello del mare (che prendiamo come quota $0$ m): Marco si trova immerso alla quota $-24$ m e Lucia è su una piattaforma sopra la superficie alla quota $+7$ m. Si vuole determinare la distanza verticale $|a - b|$ tra i due.

1. a) Senza ancora eseguire la sottrazione formale, stima tra quali due decine consecutive (ad esempio, tra $10$ e $20$, tra $20$ e $30$, ecc.) deve essere compresa tale distanza e spiega perché è impossibile che il risultato sia minore di $24$ m.
2. b) Applica la formula della distanza tra due interi per calcolare la separazione esatta tra Marco e Lucia.
3. c) Verifica se il risultato esatto coincide con la tua stima e giustifica perché una distanza sulla retta numerica non può mai essere un numero negativo.

Sulla seguente retta numerica sono stati segnati quattro punti rappresentati da lettere. Individua quale numero intero corrisponde a ciascuna delle lettere $A$, $B$, $C$ e $D$.

Scrivi tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti due condizioni e rappresentali su una retta numerica:

• $-5 < x \leq 2$

• Il valore assoluto di $x$ è maggiore di $1$, cioè $|x| > 1$.

Un fattorino che consegna cibo a domicilio inizia il suo turno al "Punto Zero" di un grande viale principale. Compie i seguenti spostamenti:

1. Percorre $4$ chilometri verso est ($+4$).

2. Da lì, si sposta di $7$ chilometri verso ovest.

3. Infine, avanza di altri $2$ chilometri verso ovest per consegnare l'ultimo ordine.

Disegna una retta numerica sul quaderno, rappresenta ogni movimento con frecce e determina in quale punto chilometrico si trova alla fine.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta sulla retta numerica il numero $-3$ e tutti i numeri interi il cui valore assoluto sia minore di esso. È possibile svolgere questo compito? Giustifica la tua risposta basandoti sulla definizione di valore assoluto e sulla sua rappresentazione grafica.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Dati i numeri interi $x$ tali che la loro distanza dall'origine ($0$) è di $6$ unità, e usando la retta numerica della figura (o disegnandone una uguale sul quaderno):

1. a) Rappresenta tali numeri sulla retta numerica.

1. b) Rappresenta anche i loro opposti.

1. c) Cosa osservi riguardo alla posizione dei numeri originali e dei loro opposti sulla retta?

In una stazione sciistica delle Alpi, il termometro ha segnato le seguenti temperature nel corso della mattinata:

• Alle 8:00: $-6$ $^\circ$C

• Alle 10:00: $-2$ $^\circ$C

• Alle 12:00: $+3$ $^\circ$C

1. a) Rappresenta le tre temperature su una retta numerica verticale (come se fosse un termometro).
2. b) Qual è stata la variazione termica (distanza sulla retta) tra le 8:00 e le 12:00?

Disegna una retta numerica e colloca su di essa i seguenti elementi. Poi ordinali dal minore al maggiore utilizzando il simbolo $<$:

• Il numero $-4$.

• L'opposto di $3$.

• Il valore assoluto di $-5$.

• Il numero $0$.

• L'opposto dell'opposto di $-2$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Trova il numero intero che si trova esattamente alla stessa distanza da $-7$ e da $+3$ sulla retta numerica. Nella figura sono segnati questi due numeri. Rappresentalo graficamente sulla retta per verificare il tuo risultato e spiega come lo hai calcolato.

In un canale di navigazione marittima sono state collocate due boe acustiche di segnalazione nelle posizioni intere $-8$ e $+6$ della retta numerica. Occorre ancorare una stazione ripetitrice in un punto intero intermedio $c$ in modo che entrambe le boe si trovino esattamente alla stessa distanza $d$ da tale ripetitore.

1. a) Deduci in modo motivato la posizione centrale $c$ del ripetitore e calcola il valore della distanza $d$ da una qualsiasi delle boe.
2. b) Scrivi un'equazione con valore assoluto della forma $|x - c| = d$ le cui uniche soluzioni sulla retta numerica rappresentino con precisione le posizioni di entrambe le boe.
3. c) Risolvi algebricamente la tua equazione verificando che fornisca esattamente i punti $-8$ e $+6$, e spiega perché un'equazione di questo tipo dà sempre due soluzioni simmetriche rispetto a $c$.

Una stazione meteorologica situata sulle Alpi ha un allarme automatico di gelo programmato. Il sensore attiva il segnale preventivo se la temperatura intera $T$ (in gradi Celsius) appartiene al tratto di rischio che va da $-7$ ºC a $+2$ ºC, con la condizione che il valore limite $-7$ ºC attiva l'allerta, mentre se la temperatura sale fino a raggiungere esattamente $+2$ ºC, l'allerta si disattiva perché si considera fuori pericolo.

1. a) Scrivi la condizione di attivazione mediante una doppia disuguaglianza per la variabile $T$ (un intervallo).
2. b) Spiega quale tipo di rappresentazione geometrica (cerchio vuoto o cerchio pieno) corrisponde a ciascuno dei due estremi sulla retta numerica e quale significato fisico ha ciascuno in questo contesto.
3. c) Scrivi l'elenco completo di tutti i numeri interi di temperatura che attivano l'allarme e calcola la distanza sulla retta numerica tra i due estremi mediante una sottrazione in valore assoluto.

Un esploratore si trova in una rete di grotte sotterranee rappresentate su una retta numerica orizzontale. L'origine $0$ è l'ingresso della grotta. Sappiamo che l'esploratore ha compiuto i seguenti movimenti successivi:

1. Parte da un punto sconosciuto $x$.

2. Avanza di $+12$ unità.

3. Retrocede del doppio della sua posizione iniziale $x$ (cioè $2x$ unità verso sinistra).

4. Avanza dell'opposto di $-5$.

Se alla fine si trova nel punto $-3$, rappresenta la situazione sulla retta numerica (disegna tu la retta e i movimenti) e determina in modo motivato il valore del punto di partenza $x$.

Sulla retta numerica dei numeri interi, il punto $A$ rappresenta il numero $-4$. Il punto $B$ è un numero tale che la sua distanza dall'origine è il triplo della distanza di $A$ dall'origine. Se il punto $C$ è il punto medio del segmento formato dai punti opposti di $A$ e $B$, quali numeri potrebbe rappresentare $C$? Tieni presente che esistono due soluzioni possibili per $B$. Rappresentale graficamente.

Individua tutti i numeri interi $n$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti tre condizioni e collocali su una retta numerica:

1. Il valore assoluto di $n$ è minore o uguale a $7$: $|n| \leq 7$.

2. $n$ è strettamente maggiore del suo opposto: $n > -n$.

3. La distanza tra $n$ e il numero $-2$ è maggiore di $5$ unità.

Un sommergibile e un elicottero di soccorso si trovano sulla stessa linea verticale. Se riportiamo le loro posizioni su una retta numerica orizzontale in cui $0$ è il livello del mare:

• Il sommergibile si trova nel punto $S$.

• L'elicottero si trova nel punto $H$.

• Si sa che $|S| = |H| - 200$.

• La distanza tra il sommergibile e l'elicottero è di $500$ metri.

Disegna la retta numerica e trova le coordinate di $S$ e $H$, sapendo che l'elicottero vola sopra il livello del mare e il sommergibile è immerso.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Tre punti $P$, $Q$ e $R$ si trovano sulla retta numerica. Si sa che:

• Il punto $Q$ è l'opposto di $-6$.

• Il punto $P$ si trova a una distanza di $10$ unità da $Q$, verso sinistra.

• Il punto $R$ soddisfa $|R| = |P| + |Q|$.

Calcola i valori di $P$, $Q$ e $R$. Rappresenta sulla retta tutte le posizioni possibili di $R$ e spiega quale di esse è più lontana dal punto medio tra $P$ e $Q$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Date le seguenti espressioni, colloca sulla retta numerica i valori di $x$ che le rendono vere:

1. a) $|x - 3| = 5$
2. b) $|x - 2| = 4$

Quale numero intero è soluzione di entrambe le espressioni contemporaneamente? Segnalo con un colore diverso sulla tua retta.

Considera un numero intero negativo $a$ e un numero intero positivo $b$. Sulla retta numerica, la distanza tra $a$ e $b$ è di $15$ unità. Se il valore assoluto di $a$ è il doppio del valore assoluto di $b$, cioè $|a| = 2 \cdot |b|$, trova i valori di $a$ e $b$ e rappresentali. Qual è l'opposto della somma $a + b$?

Disegna una retta numerica e rappresenta i seguenti insiemi di numeri in modo che si possa apprezzare la differenza tra loro (ad esempio, usando un colore diverso per ciascun insieme):

• Insieme $X$: numeri interi $x$ tali che $|x| < 4$.

• Insieme $Y$: numeri interi $y$ tali che il loro opposto $-y$ è compreso tra $-2$ e $5$ (entrambi esclusi).

Indica in modo motivato quali numeri interi appartengono a entrambi gli insiemi contemporaneamente.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vogliono determinare tutti i numeri interi $x$ la cui distanza dal numero $-3$ sulla retta numerica sia minore o uguale a $5$ unità. Per risolvere il problema, due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo di Irene (geometrico): colloca $-3$ sulla retta numerica, conta $5$ unità verso destra e $5$ verso sinistra, disegna gli estremi con cerchi pieni e annota tutti i numeri interi che rientrano in quel tratto.

• Metodo di Davide (algebrico): imposta la disequazione con valore assoluto $|x - (-3)| \le 5$, la semplifica in $|x + 3| \le 5$, la scompone nella doppia disuguaglianza $-5 \le x + 3 \le 5$ e ricava l'incognita $x$ sottraendo $3$ in ogni membro.

1. a) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi e verifica che si arrivi esattamente allo stesso insieme di numeri interi.
2. b) Supponi ora che il testo chieda di trovare i numeri interi la cui distanza dal numero $-430$ sia minore o uguale a $125$ unità. Confronta i due metodi e giustifica quale dei due è preferibile scegliere in questo secondo caso, indicando i rischi e gli inconvenienti dell'altro metodo.

In una linea metropolitana automatizzata, le varie fermate sono rappresentate come punti interi su una retta numerica. Si installerà un'antenna ripetitrice in una posizione intera $k$. La copertura dell'antenna raggiunge qualsiasi punto $x$ la cui distanza da $k$ sia al massimo di $7$ unità; cioè i punti che soddisfano $|x - k| \le 7$. La direzione tecnica stabilisce due condizioni:

1. Deve coprire obbligatoriamente tutte le stazioni del tratto di galleria critico, che comprende tutti gli interi dell'intervallo $[-11, -5]$ (entrambi gli estremi inclusi).

2. Non deve raggiungere in nessun caso la stazione centrale di interscambio, situata nel punto $0$ (l'origine), per non interferire con i computer di linea.

1. a) A partire dalla prima condizione, analizza quale distanza deve esserci da $k$ fino all'estremo $-11$ e fino all'estremo $-5$, e determina quali valori interi può assumere la posizione $k$.
2. b) Analizza la seconda condizione per stabilire quali posizioni di $k$ farebbero rientrare il punto $0$ nel raggio d'azione e scartale.
3. c) Concludi quali sono le uniche posizioni intere valide per installare l'antenna e, per una di esse, scrivi l'intervallo completo di stazioni che saranno coperte.