Esercizi: Operazioni con i numeri interi

In una stazione sciistica delle Alpi, il termometro segnava $-5^{\circ}C$ alle sette del mattino. A mezzogiorno la temperatura è salita di $12^{\circ}C$ e, a sera, è tornata a scendere di $9^{\circ}C$. Quale temperatura segnava il termometro alla fine della giornata? Scrivi l'operazione completa usando numeri interi.

Osserva la seguente retta numerica e i movimenti compiuti da una cavalletta partendo dal punto $0$. Indica il numero intero che corrisponde a ciascuna posizione finale dopo aver eseguito i salti rappresentati.

1. a) A quale numero arriva dopo il primo salto di $+4$?
2. b) In quale numero atterra alla fine dopo il secondo movimento?

Calcola il valore assoluto dei seguenti numeri e ordinali dal minore al maggiore:

$|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$

Nel tuo conto di risparmio per la gita di fine anno hai un saldo iniziale di $45 €$. Durante la settimana effettui i seguenti movimenti:

• Versi $20 €$ che ti ha dato tua nonna.

• Paghi un biglietto del cinema che costa $9 €$.

• Compri un libro di seconda mano per $6 €$.

• Ti restituiscono $3 €$ che avevi prestato a un amico.

Calcola il saldo finale utilizzando un'espressione con numeri positivi e negativi.

Risolvi le seguenti moltiplicazioni e divisioni applicando correttamente la regola dei segni:

1. a) $(+6) \cdot (-3) =$
2. b) $(-20) : (-5) =$
3. c) $(-8) \cdot (-4) =$
4. d) $(+35) : (-7) =$

Un fattorino entra in un edificio e parcheggia il suo furgone nel secondo piano interrato (piano $-2$). Compie i seguenti spostamenti:

1. Sale di 5 piani per consegnare un pacco.

2. Scende di 4 piani per ritirare un'altra scatola.

3. Sale di 7 piani per l'ultima consegna.

Calcola a quale piano si trova il fattorino al termine del suo lavoro. Aiutati con il seguente schema, in cui è indicato il piano di partenza; puoi segnare su di esso ogni spostamento.

Calcola il risultato di queste operazioni combinate rispettando la priorità delle operazioni:

1. a) $10 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-15) : 3 - 4 =$
3. c) $8 - (-10) : 2 =$
4. d) $(-5) \cdot (-2) + (-6) =$

Elimina le parentesi e calcola il risultato finale delle seguenti espressioni:

1. a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$
2. b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$
3. c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$

Matteo ha risolto alla lavagna la seguente operazione combinata con numeri interi:

Il suo svolgimento passo dopo passo è stato il seguente:

1) $12 - 4 = 8$

2) Dentro la parentesi quadra: $(-3) - 5 = -8$

3) Moltiplica dentro la parentesi quadra: $(-8) \cdot (-2) = 16$

4) Risultato finale: $8 \cdot 16 = 128$

Individua e spiega in modo motivato i due errori commessi da Matteo in relazione alla priorità delle operazioni. Poi risolvi tu l'operazione correttamente passo dopo passo, applicando con attenzione le regole dei segni.

Considera la seguente espressione con numeri interi:

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo sulla carta, stima in modo motivato se il risultato finale sarà un numero positivo, negativo o zero. Per farlo, analizza mentalmente la grandezza complessiva dei termini che si sottraggono rispetto a quelli che si sommano.
2. b) Calcola il valore esatto passo dopo passo rispettando la priorità delle operazioni e la regola dei segni.
3. c) Confronta il tuo risultato con la stima iniziale e argomenta perché la tua previsione era o non era corretta.

In un videogioco di sopravvivenza, un giocatore inizia con $150$ punti energia. Per ogni ora che passa esplorando caverne buie, perde $25$ punti, ma per ogni "cristallo di luce" che raccoglie, guadagna $40$ punti.

Se il giocatore trascorre $4$ ore nelle caverne e riesce a raccogliere $3$ cristalli, scrivi un'espressione con numeri interi che rappresenti la sua energia finale e calcolala.

Calcola il risultato delle seguenti espressioni rispettando la priorità delle operazioni e prestando particolare attenzione ai segni:

1. a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$

1. b) $( -12 + 16 ) : ( 1 - 5 ) - 3 \cdot ( -2 )$

Un batiscafo di ricerca oceanografica si trova immerso a $-450$ metri rispetto al livello del mare. Compie una manovra in tre fasi:

1. Scende di una distanza pari alla terza parte della sua profondità attuale.

2. Risale di $120$ metri per evitare una corrente termica.

3. Scende del doppio di quanto è risalito nel passaggio precedente.

A quale profondità si trova il batiscafo al termine della manovra? Esprimilo mediante un'espressione con numeri interi.

Completa gli spazi vuoti con il numero intero corrispondente in modo che le uguaglianze siano vere:

1. a) $-15 + ( \square ) = -32$

1. b) $4 \cdot ( \square ) = -36$

1. c) $( \square ) : (-3) = +12$

1. d) $-10 - ( \square ) = -4$

Applica la proprietà distributiva per risolvere le seguenti espressioni in due modi diversi (calcolando prima la parentesi e distribuendo il fattore):

1. a) $-3 \cdot ( 8 - 12 )$

1. b) $5 \cdot [ -4 + ( -6 ) ]$

1. c) $( -10 + 2 ) \cdot ( -4 )$

Sul conto bancario di un giovane risparmiatore si registrano i seguenti movimenti in una settimana: un versamento di $45$ €, un pagamento con carta di $-12$ €, un bonifico ricevuto di $20$ € e tre addebiti automatici di abbonamenti di $-9$ € ciascuno.

Se all'inizio della settimana il saldo era di $-15$ €, qual è il saldo finale? Scrivi il procedimento utilizzando una somma di numeri positivi e negativi.

Risolvi la seguente piramide numerica di moltiplicazione. Il valore di ogni casella è il prodotto dei due numeri interi che si trovano subito sotto.

Scrivi un'espressione matematica che utilizzi almeno una moltiplicazione, una divisione, una somma e delle parentesi, in modo che il risultato finale sia $-10$.

In una stazione meteorologica di montagna, un giorno d'inverno sono state registrate le seguenti variazioni termiche:

• Alle 4:00 il termometro segnava $-9\,^{\circ}\text{C}$.

• Tra le 4:00 e le 10:00 la temperatura è salita a un ritmo costante di $2\,^{\circ}\text{C}$ all'ora.

• Tra le 10:00 e le 16:00 la temperatura è salita in totale di altri $5\,^{\circ}\text{C}$.

• Dalle 16:00 alle 23:00, l'arrivo di un fronte freddo ha causato un calo costante di $3\,^{\circ}\text{C}$ ogni ora.

1. a) Scrivi un'unica espressione matematica che raccolga tutte queste variazioni per calcolare la temperatura alle 23:00.
2. b) Risolvila passo dopo passo applicando la priorità delle operazioni.
3. c) Giustifica, a partire dal segno del risultato ottenuto, se alle 23:00 l'acqua all'esterno sarebbe ghiacciata o allo stato liquido.

Per calcolare il valore numerico dell'espressione:

due studenti di seconda media propongono due strategie diverse:

• Carlo dice: «Il modo migliore è applicare la proprietà distributiva: moltiplicare $-7$ per ogni addendo all'interno della parentesi quadra e poi sommare e sottrarre i risultati».

• Lucia dice: «È molto più veloce risolvere prima le operazioni raggruppate dentro la parentesi quadra e poi moltiplicare il risultato per $-7$».

1. a) Risolvi l'espressione seguendo nel dettaglio il procedimento di Carlo.
2. b) Risolvi l'espressione seguendo nel dettaglio il procedimento di Lucia.
3. c) Confronta i due percorsi: quale dei due metodi si è rivelato più vantaggioso in questo caso? Spiega quale particolarità numerica avevano gli addendi della parentesi quadra che giustifica la tua scelta.

Risolvi la seguente espressione prestando particolare attenzione alla priorità delle operazioni e all'uso delle parentesi tonde, quadre e graffe:

$15 - \{ -3 \cdot [8 - (12 - 15) \cdot (-2)] + (-18) : (5 - 11) \}$

Calcola il valore che deve avere l'incognita $x$ affinché valga la seguente uguaglianza. Mostra tutti i passaggi intermedi del tuo ragionamento:

$24 : \{ -2 \cdot [x - (12 - 17)] \} = -3$

Un'azienda tecnologica quotata in borsa ha iniziato la settimana con un valore per azione di $45$ €. Durante i cinque giorni lavorativi ha subito le seguenti variazioni giornaliere:

• Lunedì: sale di $3$ €.

• Martedì: scende del doppio di quanto era salita il lunedì.

• Mercoledì: perde $4$ €.

• Giovedì: recupera la metà di quanto perso tra martedì e mercoledì.

• Venerdì: sale del triplo della variazione del lunedì.

Qual è il valore finale dell'azione alla chiusura di venerdì? Esprimi l'intero procedimento mediante un'unica operazione con numeri interi.

Utilizza la proprietà distributiva in modo inverso (raccoglimento a fattor comune) per calcolare nel modo più rapido e semplice possibile il risultato della seguente espressione:

$(-12) \cdot 35 + (-12) \cdot (-18) + (-12) \cdot 33$

Dopo aver raccolto il fattore comune, risolvi la parentesi e ottieni il risultato finale.

Un drone sottomarino di esplorazione si trova immerso a una profondità di $-150$ metri rispetto al livello del mare. Compie i seguenti movimenti:

1. Risale di $80$ metri per evitare una corrente.

2. Scende del triplo di quanto è appena risalito.

3. Risale di nuovo della metà della profondità a cui si trovava dopo il secondo movimento.

Calcola la profondità finale del drone ed esprimila con un'espressione che includa valori assoluti per le distanze percorse.

Semplifica la seguente espressione eliminando le parentesi e utilizzando le proprietà del valore assoluto e dell'opposto:

$- | -8 + 3 \cdot (-2) | - [ - ( - 10 ) + ( - 4 ) \cdot ( - 3 ) ]$

In un grattacielo altissimo, un operaio addetto alla manutenzione si trova nel seminterrato $-4$. Sale di $12$ piani per riparare un condizionatore. Poi scende del doppio dei piani di cui è salito inizialmente. Infine, sale del valore assoluto del piano in cui si trova in quel momento per arrivare al suo ultimo compito.

A quale piano termina l'operaio la sua giornata lavorativa?

Completa le caselle vuote di questa piramide di numeri interi sapendo che il valore di ogni casella è uguale alla somma dei due numeri che ha subito sotto. Devi calcolare prima le caselle della base per poter completare le altre.

Sono dati i seguenti sei numeri interi: $\{-6, -4, -2, 3, 5, 8\}$.

Devi scegliere esattamente quattro numeri distinti dall'elenco per completare le caselle vuote di questa struttura, in modo che il risultato finale sia esattamente $-1$:

1. a) Trova quale numero deve essere collocato in ciascuna casella e scrivi l'espressione completa senza ripetere nessuno dei numeri scelti.
2. b) Risolvi passo dopo passo l'espressione ottenuta giustificando ogni trasformazione secondo la priorità delle operazioni.
3. c) Senza cambiare posizione né sostituire nessuno dei quattro numeri che hai selezionato, ragiona su quale unico cambio di segno in uno di essi permetterebbe che il risultato finale fosse $+1$, basandoti sulle proprietà della divisione di numeri interi.

Due robot sottomarini dell'Istituto di oceanografia esplorano una faglia marina davanti a un parco naturale costiero:

• Il robot Alpha parte dal livello del mare ($0\text{ m}$) e scende a velocità costante di $5\text{ m/min}$ per $6\text{ minuti}$. Poi, a causa di una corrente, risale di $8\text{ metri}$ e, infine, scende del doppio dei metri di cui è appena risalito.

• Il robot Beta si trova a una quota di $-18\text{ metri}$ e riceve l'ordine di spostarsi verticalmente fino a trovarsi esattamente a metà della profondità finale raggiunta dal robot Alpha.

1. a) Scrivi un'unica espressione con numeri interi che determini la quota finale del robot Alpha e calcolane il valore.
2. b) Determina la quota finale del robot Beta e imposta una sottrazione di numeri interi che esprima di quanti metri deve spostarsi dalla sua quota iniziale ($-18\text{ m}$) alla quota finale. Interpreta il verso del movimento a partire dal segno di tale sottrazione.
3. c) La distanza tra due quote $x$ e $y$ si definisce mediante il valore assoluto della loro differenza: $|x - y|$. Se il regolamento di sicurezza della missione richiede che la distanza tra i due robot non superi mai $15\text{ metri}$, calcola la distanza finale tra Alpha e Beta e giustifica se il regolamento è rispettato o violato.