Esercizi: Definizione classica di probabilità

Si lancia un dado regolare. Calcola la probabilità di ciascun evento:

a) Ottenere un $3$.

b) Ottenere un numero pari.

c) Ottenere un numero maggiore di $4$.

d) Non ottenere un $6$.

Dal sacchetto della figura, che contiene $5$ palline rosse e $3$ verdi, si estrae una pallina a caso.

Calcola la probabilità di:

a) Estrarre una pallina rossa.

b) Estrarre una pallina verde.

c) Estrarre una pallina gialla.

Si estrae una carta da un mazzo di $40$ carte. Calcola la probabilità che sia:

a) Di denari.

b) Un asso.

c) Una figura (fante, cavallo o re).

d) Il re di coppe.

Una ruota è divisa in $8$ settori uguali numerati da $1$ a $8$. Calcola la probabilità che la lancetta si fermi:

a) Sul $5$.

b) Su un multiplo di $3$.

c) Su un numero maggiore di $5$.

d) Su un numero minore di $9$.

Si lanciano una moneta e un dado. Calcola la probabilità di ottenere:

a) Testa e un $6$.

b) Croce e un numero dispari.

c) Testa e un numero minore di $5$.

In una classe di $2.º$ media ci sono $14$ ragazze e $16$ ragazzi. Si sceglie una persona a caso per leggere ad alta voce.

a) Qual è la probabilità che sia una ragazza?

b) E che sia un ragazzo?

Assegna la sua probabilità a ciascun evento e spiega perché:

a) Lanciando un dado, ottenere un numero minore di $7$.

b) Lanciando un dado, ottenere un $8$.

c) Estraendo una carta da un mazzo di carte, che sia di denari, coppe, spade o bastoni.

Si sceglie a caso una tessera di un domino completo di $28$ tessere. Calcola la probabilità che sia:

a) Il doppio $6$.

b) Una tessera doppia qualsiasi (ce ne sono $7$).

c) Una tessera che contenga il numero $0$ (ce ne sono $7$).

La ruota della figura ha tre settori con gli angoli indicati.

Calcola la probabilità che la lancetta si fermi:

a) Nel settore rosso.

b) Nel settore verde.

c) In un settore che non sia giallo.

Si scrivono le lettere della parola PROBABILITÀ su dei cartoncini e se ne estrae uno a caso. Calcola la probabilità che sia:

a) Una vocale.

b) La lettera B.

c) Una consonante.

Si lancia un dado regolare. Calcola la probabilità di ottenere:

a) Un multiplo di $3$.

b) Un numero primo.

c) Un numero minore di $7$.

d) Un numero maggiore di $6$.

Da un'urna con palline numerate da $1$ a $12$ si estrae una pallina. Calcola la probabilità che sia:

a) Un numero pari.

b) Un numero maggiore di $8$.

c) Un divisore di $12$.

d) Un multiplo di $5$.

In classe di Matematica, Lucia presenta una roulette divisa in tre settori colorati: uno rosso con un angolo al centro di $90^\circ$, uno blu anch'esso di $90^\circ$ e uno giallo di $180^\circ$. Per calcolare la probabilità che la freccia si fermi sul rosso, Lucia afferma: «Poiché ci sono tre risultati possibili (rosso, blu e giallo) e il rosso è uno di essi, per la definizione classica di probabilità la probabilità è $P(\text{rojo}) = \frac{1}{3}$».

a) Spiega in dettaglio l'errore che commette Lucia applicando direttamente la definizione classica di probabilità contando solo i colori.

b) Calcola la probabilità reale che la freccia indichi il settore rosso utilizzando il rapporto tra l'angolo del settore e il cerchio completo. Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini e come percentuale.

c) Usa la formula dell'evento contrario per calcolare la probabilità che la freccia non si fermi sul settore giallo, cioè $P(\overline{\text{giallo}})$.

Un'insegnante di Matematica prepara un sacchetto opaco con $20$ gettoni identici al tatto, ma di tre colori diversi: rossi, verdi e blu. Perché i suoi alunni scoprano quanti gettoni ci sono di ciascun colore senza guardare dentro, fornisce loro i seguenti indizi:

• Estraendo un gettone a caso, la probabilità che sia rosso è esattamente $0,4$.

• La probabilità di estrarre un gettone blu è il doppio di quella di estrarre un gettone verde.

a) Quanti gettoni rossi contiene il sacchetto?

b) Imposta una deduzione ragionata per determinare il numero di gettoni verdi e il numero di gettoni blu contenuti nel sacchetto.

c) Verifica numericamente che la somma delle probabilità elementari dei tre colori soddisfa la proprietà fondamentale della probabilità.

a) Se la probabilità di estrarre una carta di denari da un mazzo di carte è $\frac{1}{4}$, qual è la probabilità di non estrarre denari?

b) Se $P(A) = 0,35$, quanto vale la probabilità dell'evento contrario di $A$?

c) In un'urna ci sono solo palline rosse, blu e verdi. Se la probabilità di estrarre una pallina rossa è $\frac{2}{7}$ e quella di estrarre una pallina blu è $\frac{3}{7}$, qual è la probabilità di estrarre una pallina verde?

Si lanciano due dadi e si annota la somma dei punti. Aiutandoti con una tabella a doppia entrata, calcola:

a) $P(\text{suma } 7)$

b) $P(\text{somma maggiore di } 9)$

c) $P(\text{suma par})$

d) $P(\text{somma diversa da } 7)$

Si lanciano due monete. Calcola la probabilità di ottenere:

a) Due teste.

b) Una testa e una croce, in qualsiasi ordine.

c) Almeno una testa.

d) Nessuna testa.

Si estrae una carta da un mazzo di $40$ carte. Calcola la probabilità che sia:

a) Di denari o una figura.

b) Di coppe o un asso.

c) Né figura né asso.

d) Del seme di bastoni o una carta numerata minore di $4$ (l'asso vale $1$).

In un sacchetto ci sono $5$ palline rosse, $3$ blu e $2$ bianche. Si estrae una pallina a caso. Calcola la probabilità che:

a) Non sia bianca.

b) Sia bianca o blu.

c) Sia gialla.

d) Non sia gialla.

Gli alunni di una scuola che praticano sport extrascolastici si distribuiscono così:

Si sceglie un alunno a caso. Calcola la probabilità che:

a) Sia della scuola primaria.

b) Pratichi nuoto.

c) Sia della scuola primaria e giochi a tennis.

d) Sapendo che è della scuola media, pratichi tennis.

Facciamo girare a caso la lancetta delle ore di un orologio. Calcola la probabilità che indichi un'ora:

a) Tra le $3$ e le $4$.

b) Precedente alle $6$.

c) Successiva alle $10$.

d) Tra le $2$ e le $8$.

Si sceglie a caso un numero da $1$ a $50$. Calcola la probabilità che sia:

a) Multiplo di $4$.

b) Multiplo di $5$.

c) Multiplo di $4$ e di $5$.

d) Multiplo di $4$ o di $5$.

La ruota della figura ha quattro settori con gli angoli indicati.

Calcola la probabilità che la lancetta si fermi:

a) Nel settore rosso.

b) Nel settore giallo.

c) Nel settore blu o in quello verde.

d) In un settore che non sia rosso.

Si lanciano tre monete. Con l'aiuto di un diagramma ad albero, calcola la probabilità di ottenere:

a) Esattamente due teste.

b) Almeno una croce.

c) Tre risultati uguali.

d) Esattamente una testa.

Per un compito di Geografia bisogna collocare le $17$ regioni su una carta muta. Riccardo conosce solo la posizione di $9$.

a) Se nel compito gli chiedono di collocarne una a caso, qual è la probabilità che sia una di quelle che conosce?

b) Se gli capita una di quelle che non conosce e la colloca a caso tra le $8$ rimanenti, qual è la probabilità che indovini?

Il grafico mostra le caramelle presenti in un sacchetto. Se ne estrae una a caso.

Calcola la probabilità che sia:

a) Alla fragola.

b) Al limone o alla menta.

c) Non sia alla mela.

d) All'arancia.

Si lanciano contemporaneamente due dadi cubici equilibrati a sei facce (numerate da $1$ a $6$) e si sommano i punteggi ottenuti. Si definisce l'evento $A = \text{«la somma è minore o uguale a } 4\text{»}$.

a) Prima di fare qualsiasi calcolo, fai una stima intuitiva: credi che la probabilità che si verifichi l'evento $A$ sia maggiore, minore o circa uguale a $25\,\%$? Scrivi una frase che giustifichi la tua prima impressione.

b) Costruisci una tabella a doppia entrata di $6 \times 6$ con i $36$ risultati possibili per la somma delle due facce.

c) Applica la definizione classica di probabilità sulla tua tabella per calcolare il valore esatto di $P(A)$. Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini e come percentuale con una cifra decimale.

d) Confronta il risultato matematico ottenuto con la tua stima del punto a) e spiega perché molte persone tendono a sovrastimare intuitivamente la frequenza delle somme basse in questo esperimento.

In una stazione ferroviaria suburbana di Roma si registrano gli arrivi di $80$ treni nel corso di una mattina per analizzare la puntualità di tre linee (C-3, C-4 e C-5). I dati raccolti sono:

• Della linea C-5 circolano $48$ treni, dei quali $42$ arrivano in orario e $6$ in ritardo.

• Della linea C-3 circolano $20$ treni, con $15$ in orario e $5$ in ritardo.

• Della linea C-4 circolano $12$ treni, con $9$ in orario e $3$ in ritardo.

a) Organizza tutti i dati in una tabella di contingenza a doppia entrata che mostri le linee nelle righe e la puntualità (in orario / in ritardo) nelle colonne, aggiungendo i totali marginali.

b) Se un viaggiatore sale su un treno scelto a caso tra tutti quelli registrati quella mattina, calcola la probabilità che viaggi su un treno della linea C-5 e che questo sia arrivato in orario. Calcola anche la probabilità che salga su un treno in ritardo (di qualsiasi linea).

c) Un'associazione di viaggiatori afferma: «La linea C-5 funziona il doppio peggio della C-4 perché accumula $6$ treni in ritardo e la C-4 solo $3$». Utilizza la definizione classica di probabilità per calcolare e confrontare la probabilità che un treno sia in ritardo all'interno della linea C-5 con la probabilità che sia in ritardo all'interno della linea C-4. Spiega se la lamentela dell'associazione è giustificata matematicamente.

Per entrare in un gioco della festa della scuola devi lanciare un dado e ottenere più punti del «guardiano», che lancia un altro dado prima di te.

a) Costruisci una tabella a doppia entrata con i $36$ confronti possibili.

b) Qual è la probabilità che tu entri nel gioco?

c) Qual è la probabilità di pareggiare con il guardiano?

d) Se la regola fosse «ottenere almeno il doppio dei punti del guardiano», quale sarebbe la probabilità di entrare?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si lanciano due dadi e si annota il prodotto dei punti.

a) Costruisci la tabella a doppia entrata con i $36$ prodotti.

b) Calcola la probabilità che il prodotto sia pari.

c) Calcola la probabilità che il prodotto sia multiplo di $5$.

d) Calcola la probabilità che il prodotto sia maggiore di $20$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un'urna ci sono $4$ palline rosse e $6$ verdi. Quante palline blu bisogna aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina rossa sia $\frac{1}{4}$? Imposta l'equazione e risolvila.

In una classe di $30$ alunni ci sono $18$ ragazze, delle quali $12$ sono state promosse in tutte le materie. In totale, $10$ alunni della classe hanno almeno un'insufficienza.

a) Costruisci una tabella a doppia entrata (ragazze/ragazzi rispetto a promossi in tutto/almeno un'insufficienza).

b) Se scegliamo una persona a caso, qual è la probabilità che sia un ragazzo e sia stato promosso in tutto?

c) Sapendo che la persona scelta ha almeno un'insufficienza, qual è la probabilità che sia una ragazza?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una famiglia con due figli, Giulia ragiona: «Ci sono tre casi possibili: due maschi, due femmine o uno per tipo; quindi la probabilità che siano entrambi maschi è $\frac{1}{3}$».

a) Spiega perché il suo ragionamento è sbagliato.

b) Scrivi lo spazio campionario corretto, tenendo conto dell'ordine di nascita, e calcola la probabilità corretta.

c) Qual è la probabilità che ci sia almeno una femmina?

Un dado tetraedrico ha le facce numerate $1$, $2$, $2$ e $3$, e un altro dado tetraedrico $2$, $3$, $3$ e $4$. Si lanciano entrambi e si annota il prodotto.

a) Costruisci la tabella a doppia entrata con i $16$ prodotti possibili.

b) Calcola la probabilità che il prodotto sia pari.

c) Calcola la probabilità che il prodotto sia $6$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una ONG vende $200$ biglietti numerati da $000$ a $199$ per un'estrazione benefica. Se ne estrae uno a caso. Calcola la probabilità che il numero vincente:

a) Contenga la cifra $7$.

b) Sia multiplo di $10$.

c) Inizi con la cifra $1$.

d) Abbia le tre cifre uguali.

Si estraggono due carte da un mazzo di $40$ carte, senza rimettere la prima nel mazzo.

a) Qual è la probabilità che la prima carta sia di denari?

b) Se la prima carta è stata di denari, qual è la probabilità che anche la seconda lo sia?

c) Qual è la probabilità che entrambe le carte siano di denari?

d) E quella che nessuna delle due sia di denari?

In un gioco da tavolo cooperativo, per attivare un incantesimo protettivo si lanciano contemporaneamente $3$ dadi cubici equilibrati a sei facce. La condizione perché l'incantesimo funzioni è ottenere almeno un $6$ tra i tre dadi. Due studenti discutono su come calcolare la probabilità di successo:

• Sofia propone: «È molto più rapido calcolare prima la probabilità di non ottenere nessun $6$ in nessuno dei dadi e poi applicare la proprietà dell'evento contrario: $P(\text{vincere}) = 1 - P(\text{nessun } 6)$».

• Daniele propone: «È meglio calcolare i casi favorevoli sommando tre situazioni diverse: ottenere esattamente un $6$, ottenere esattamente due $6$ oppure ottenere tre $6$».

a) Determina il numero totale di casi possibili lanciando contemporaneamente i tre dadi a sei facce.

b) Sviluppa passo dopo passo il metodo di Sofia: calcola quanti casi non contengono nessun $6$, ricava la probabilità di non vincere e deduci la probabilità finale di vincere sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini e di percentuale approssimata.

c) Sviluppa il metodo di Daniele: conta in modo ragionato e ordinato quanti risultati possibili corrispondono a ottenere esattamente un $6$, quanti a esattamente due $6$ e quanti a tre $6$. Verifica che la somma totale dei casi favorevoli coincida esattamente con il risultato di Sofia.

d) Giustifica con un ragionamento quale dei due metodi sceglieresti se la regola del gioco cambiasse e si lanciassero $5$ dadi invece di $3$, valutando la difficoltà del conteggio in ciascun percorso.

Un'associazione giovanile progetta una ruota circolare di $360^\circ$ per organizzare una lotteria benefica e raccogliere fondi per una causa sociale. La ruota ha quattro settori: Oro, Argento, Bronzo e Bianco (nessun premio). Le indicazioni concordate per il progetto sono:

• La probabilità di cadere nel settore «Oro» deve essere esattamente la metà di quella di cadere nel settore «Argento».

• Il settore «Bronzo» deve avere un angolo al centro di $90^\circ$.

• La probabilità di non vincere alcun premio (settore «Bianco») deve essere esattamente $0,4$.

• Ogni giro costerà $1$ euro ai partecipanti e si prevede di effettuare un totale di $600$ giri nel corso della giornata.

a) Ricava l'angolo al centro in gradi ($^\circ$) e la probabilità teorica corrispondente a ciascuno dei quattro settori della ruota.

b) I premi stabiliti sono: il settore «Oro» dà un buono da $5$ euro, il settore «Argento» dà un buono da $2$ euro, il «Bronzo» regala un piccolo ricordo che è costato $0,50$ euro all'associazione, e il «Bianco» non dà nulla. Calcola la spesa totale attesa in premi se si effettuano i $600$ giri previsti.

c) Confronta gli incassi previsti dalla vendita dei $600$ giri con la spesa stimata in premi: l'associazione otterrà un guadagno con questo progetto o andrà in perdita? Giustifica la tua risposta numericamente e proponi una modifica concreta alla suddivisione dei settori per correggere la situazione mantenendo i quattro tipi di premio.