Esercizi: Giochi d'azzardo e decisioni

Tre amici giocano lanciando due monete: Adriano vince se escono due teste, Bianca se escono due croci e Carlo se esce una testa e una croce.

a) Scrivi lo spazio campionario.

b) Calcola la probabilità di vincere di ciascuno.

c) È un gioco equo? Chi è avvantaggiato?

In un gioco vinci se lanciando un dado esce $5$ o $6$, e perdi in ogni altro caso.

a) Qual è la probabilità di vincere?

b) Se giochi $30$ volte, quante vittorie ti aspetteresti?

Una ruota è divisa in due metà uguali, una rossa e una blu. Due giocatori puntano ciascuno su un colore e vincono $1$ punto per ogni risposta esatta. È un gioco equo? Perché?

In un gioco punti $1$ gettone su un numero da $1$ a $6$ e lanci un dado: se esce il tuo numero, ti porti a casa $6$ gettoni (il tuo più altri $5$); altrimenti perdi il gettone.

a) Qual è la probabilità di vincere?

b) Se giochi $60$ volte, quante volte ti aspetteresti di vincere? Quale sarebbe il tuo bilancio totale di gettoni?

c) Il gioco è equo? Perché?

Lucia e Marco giocano durante l'intervallo a lanciare una moneta equilibrata da $1\text{ €}$. Hanno stabilito che se esce testa vince Lucia e se esce croce vince Marco, e il perdente paga $2\text{ €}$ al vincitore a ogni lancio. Dopo quattro lanci consecutivi in cui è uscita croce, Marco afferma entusiasta: «Al quinto lancio punterò $5\text{ €}$ invece di $2\text{ €}$! Visto che sono uscite quattro croci di fila, per la legge del caso è praticamente impossibile che esca ancora croce; deve uscire testa per compensare la serie».

a) Individua e spiega chiaramente qual è l'errore di ragionamento che commette Marco sul comportamento del caso.

b) Qual è la probabilità reale che al quinto lancio esca testa? È cambiata rispetto al primo lancio?

c) Se Lucia accettasse quella puntata di $5\text{ €}$ per il quinto lancio mantenendo le stesse regole, quella giocata specifica sarebbe un gioco equo tra i due? Giustifica la risposta usando le probabilità e le vincite in gioco.

Alla festa di fine anno della tua scuola viene organizzato uno stand benefico con un'urna che contiene $15$ palline nere e $5$ palline rosse, tutte della stessa dimensione e consistenza. Partecipare costa $1\text{ €}$ per estrazione (senza reinserimento). Se estrai una pallina rossa, ricevi un premio netto di $2\text{ €}$ (cioè ti restituiscono la tua moneta da $1\text{ €}$ e ti consegnano $2\text{ €}$ in più); se estrai una pallina nera, non ricevi nulla e perdi l'euro puntato.

a) Prima di fare qualsiasi calcolo matematico per iscritto, stima a occhio se pensi che questo gioco, a lungo andare, favorisca chi gioca o lo stand benefico. Spiega brevemente l'intuizione su cui ti basi confrontando la proporzione di palline e l'importo del premio.

b) Calcola la probabilità di vincere ($P(\text{roja})$) e la probabilità di perdere ($P(\text{nera})$) estraendo una pallina.

c) Calcola il guadagno netto atteso per partita per un giocatore e il bilancio totale atteso se una persona decidesse di giocare $60$ volte di seguito (rimettendo la pallina nell'urna dopo ogni tentativo).

d) Verifica se la tua stima iniziale del punto a) coincide con il risultato matematico ottenuto e argomenta se il gioco è equo.

Elsa e Bruno lanciano due dadi: Elsa vince se la somma è pari e Bruno se è dispari.

a) È un gioco equo? Calcola le probabilità di vittoria di ciascuno.

b) E se invece di sommare moltiplicassero i risultati ed Elsa continuasse a puntare sul pari? Calcola le nuove probabilità e spiega chi è avvantaggiato.

Alla fiera, uno stand propone questo gioco: punti $1\text{ €}$ su un numero da $1$ a $6$ e si lancia un dado; se esce il tuo numero, ti restituiscono $5\text{ €}$ (il tuo euro più quattro); altrimenti perdi l'euro.

a) Qual è la probabilità di vincere?

b) Se giochi $60$ volte, qual è il tuo bilancio atteso?

c) È un gioco equo? Se non lo è, quanto dovrebbe pagare il premio perché lo fosse?

Si lanciano tre gettoni: uno con le facce verde e rossa, un altro con verde e blu, e un altro con rossa e blu. Il giocatore $1$ vince se due gettoni qualsiasi mostrano lo stesso colore; il giocatore $2$ vince se i tre colori sono diversi.

a) Con un diagramma ad albero, calcola la probabilità di vincere di ciascun giocatore.

b) È un gioco equo?

c) Proponi una modifica alle regole o ai punti che lo renda un gioco equo.

Nello stand della fiera della figura, far girare la ruota costa $2\text{ €}$.

a) Calcola la probabilità di ciascun risultato (nessun premio, braccialetto e peluche).

b) Se giochi $100$ volte, spendendo $200\text{ €}$, quale valore totale di premi ti aspetteresti di ricevere?

c) Conviene giocare? A chi favorisce il gioco?

Carla e Giovanni giocano con due dadi le cui facce sono i primi sei numeri primi ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$). Giovanni propone: «Se il prodotto è $49$, vinci tu; se è $6$, vinco io». Carla non accetta.

a) Quante coppie danno prodotto $49$? E prodotto $6$?

b) Perché pensi che Carla non accetti? Calcola le probabilità.

c) Proponi un prodotto per ciascun giocatore che renda il gioco equo.

Spiega se queste affermazioni sulla lotteria e sul caso sono vere o false:

a) Poiché nella mia città il primo premio non esce quasi mai, ho più probabilità se compro il biglietto in un'altra città.

b) Il numero $00\,027$ ha meno probabilità di uscire del $23\,568$.

c) Se nelle ultime estrazioni è uscita molte volte la terminazione in $5$, ora è meno probabile che esca.

d) Se una moneta è uscita testa $6$ volte di seguito, al lancio successivo è più probabile croce.

Due amici giocano pescando una carta da un mazzo di carte napoletane: tu vinci se esce una figura e il tuo amico se esce una carta del seme di bastoni.

a) Calcola la probabilità di vincere di ciascuno.

b) Chi è avvantaggiato?

c) Se volete che il gioco sia equo senza cambiare gli eventi, quanti punti dovrebbe dare ciascuno per vittoria? Spiega la tua proposta.

Da un sacchetto con $4$ palline rosse e $4$ verdi si estrae una pallina: se è rossa, tu vinci $3$ punti; se è verde, la tua amica vince $5$ punti. Dopo ogni round la pallina viene rimessa nel sacchetto.

a) Qual è la probabilità di fare punti per ciascuno?

b) Se giocate $40$ round, quale punteggio ti aspetteresti?

c) È un gioco equo? Perché?

Stai progettando le regole di un gioco da tavolo di avventura. Un giocatore arriva a una porta segreta e può tentare di forzare la serratura pagando un costo fisso di $3$ monete d'oro. Per risolvere il tentativo, si lancia un dado cubico equilibrato con le facce numerate da $1$ a $6$. Se si ottiene un numero multiplo di $3$ ($3$ o $6$), il tentativo riesce e il forziere assegna un bottino di $P$ monete d'oro di guadagno netto (oltre a recuperare le $3$ monete puntate). Se esce qualsiasi altro risultato ($1$, $2$, $4$ o $5$), il tentativo fallisce e il giocatore perde definitivamente le sue $3$ monete.

a) Calcola la probabilità di riuscire e la probabilità di fallire in un lancio.

b) Imposta l'equazione del guadagno netto atteso e indica quale valore deve avere il premio netto $P$ affinché la decisione di forzare la serratura sia un gioco matematicamente equo (guadagno atteso uguale a $0$).

c) Immagina che il regolamento sia già stampato e fissi obbligatoriamente il premio netto a $P = 4$ monete e la puntata a $3$ monete. Il team di progettazione ti chiede di modificare la regola del dado affinché il gioco sia equo semplicemente cambiando il numero di facce vincenti. È possibile ottenere un gioco equo scegliendo un certo numero di facce vincenti in un dado di $6$ facce? Dimostra matematicamente perché è possibile o impossibile.

Il comitato organizzatore di un comune di montagna organizza una giornata di escursionismo per giovani. Il noleggio dell'attrezzatura e il trasporto hanno un costo fisso di $40\text{ €}$ a partecipante, da pagare in anticipo. In base alle serie storiche del Servizio Meteorologico per quel periodo dell'anno, la probabilità che venga dichiarata un'allerta meteo che obblighi a sospendere l'attività per sicurezza è del $20\,\%$ ($0,20$). Se l'attività viene sospesa e non si ha l'assicurazione, si perde il $100\,\%$ del denaro pagato.

Una compagnia assicurativa offre una polizza facoltativa a $10\text{ €}$ a persona: se l'attività viene sospesa, l'assicurazione rimborsa integralmente i $40\text{ €}$ del costo dell'attività.

a) Modella la situazione calcolando il bilancio economico atteso (perdita attesa) per una persona che decide di non stipulare l'assicurazione.

b) Se la persona stipula l'assicurazione, sostiene un costo certo e definitivo di $10\text{ €}$. Confronta questa cifra con la perdita attesa che hai ottenuto nel punto a).

c) Se alla giornata partecipano $150$ giovani e nessuno stipula l'assicurazione, quale perdita economica totale ci si aspetta che subisca in media il gruppo dei partecipanti? Quanto pagherebbe in totale il gruppo se tutti stipulassero la polizza?

d) Da un punto di vista strettamente matematico di bilancio atteso, a chi conviene la polizza, agli escursionisti o alla compagnia assicurativa? Spiega quali motivi non matematici possono portare una famiglia a stipulare l'assicurazione nonostante questo risultato.

In un gioco si usano le tre roulette della figura. Ogni giocatore sceglie una roulette, si fanno girare le due scelte e vince chi ottiene il numero maggiore.

a) Se si sfidano la roulette verde e quella blu, chi vince e con quale probabilità?

b) Se si sfidano la roulette blu e quella rossa, chi vince e con quale probabilità?

c) Se si sfidano la roulette rossa e quella verde, chi vince e con quale probabilità?

d) Se il tuo avversario sceglie la roulette per primo, quale strategia seguiresti tu? Esiste una roulette che sia «la migliore»? Spiega il risultato.

Tre dadi speciali hanno queste facce:

• Dado rosso: $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $1$

• Dado verde: $2$, $2$, $2$, $5$, $5$, $5$

• Dado blu: $3$, $3$, $3$, $3$, $3$, $6$

Due giocatori scelgono un dado ciascuno, li lanciano e vince il numero maggiore.

a) Calcola la probabilità che il dado rosso batta il verde.

b) Calcola la probabilità che il dado verde batta il blu.

c) Calcola la probabilità che il dado blu batta il rosso.

d) Se il tuo avversario sceglie il dado per primo, quale dado sceglieresti tu in ciascun caso? Ti sorprende il risultato? Commentalo.

Una roulette ha $6$ settori uguali: $2$ rossi e $4$ blu. Due giocatori scommettono: il giocatore A sul colore rosso e il giocatore B sul blu.

a) Quali sono le probabilità di vincita di ciascun giocatore?

b) Se in ogni partita il vincitore si prende i punti che entrambi hanno scommesso, proponi quanti punti dovrebbe scommettere ciascuno perché il gioco fosse equo. Giustifica la tua proposta.

c) Progetta un'altra suddivisione dei settori e delle scommesse che dia ugualmente un gioco equo.

In un videogioco, uno scrigno costa $25$ monete d'oro e contiene: un oggetto comune (valore $10$ monete) con probabilità $0,7$; un oggetto raro (valore $50$ monete) con probabilità $0,25$; oppure un oggetto epico (valore $300$ monete) con probabilità $0,05$.

a) Se compri $100$ scrigni, quanti oggetti di ciascun tipo ti aspetteresti di ottenere?

b) Quale sarebbe il valore totale atteso di quegli oggetti? E la spesa totale?

c) Conviene comprare scrigni a lungo termine? Motiva la risposta.

Alla fiera locale viene presentata un'attrazione in cui si lanciano contemporaneamente due normali dadi a sei facce (numerate da $1$ a $6$). La partecipazione costa $2\text{ €}$ e il gestore permette di scegliere tra due modalità di scommessa prima di tirare:

• Modalità Somma: Vinci se la somma dei due dadi è $7$ o $8$. Il premio netto è di $3\text{ €}$ (ti restituiscono la tua moneta da $2\text{ €}$ e ricevi $3\text{ €}$ in più).

• Modalità Doppi: Vinci se entrambi i dadi mostrano lo stesso numero (doppi: $1$-$1$, $2$-$2$, ecc.). Il premio netto è di $8\text{ €}$ (ti restituiscono i tuoi $2\text{ €}$ e ricevi $8\text{ €}$ in più).

Due amici discutono su come decidere quale modalità scegliere per avere una sessione di gioco più favorevole:

• Metodo 1 (criterio di probabilità): Sostiene che bisogna calcolare soltanto la probabilità di vincita di ciascuna modalità e scegliere quella con la probabilità maggiore, perché l'importante è vincere.

• Metodo 2 (criterio del guadagno atteso): Sostiene che bisogna ponderare la probabilità di vincere e di perdere con gli importi in gioco, calcolando il guadagno netto atteso per partita.

a) Applica il Metodo 1: determina lo spazio campionario dei $36$ risultati equiprobabili e calcola la probabilità di vincere in ciascuna modalità. Secondo questo metodo, quale modalità dovrebbe essere scelta?

b) Applica il Metodo 2: calcola il guadagno netto atteso per partita per la Modalità Somma e per la Modalità Doppi. Secondo questo metodo, quale modalità è preferibile per il giocatore?

c) Confronta i due metodi e giustifica quale sia quello corretto per prendere decisioni nei giochi d'azzardo. Spiega con chiarezza il limite o la trappola concettuale in cui cade il Metodo 1.

d) Una delle due modalità offre un reale vantaggio matematico rispetto al gestore (guadagno netto atteso positivo)? Motiva la risposta.

Una catena di supermercati in Italia introduce nella sua app una promozione di fidelizzazione. Per ogni acquisto superiore a $30\text{ €}$, il cliente riceve una partecipazione per scegliere tra due opzioni di premio per il suo acquisto successivo:

• Opzione A (Sconto diretto): Viene applicato uno sconto sicuro e immediato di $0,75\text{ €}$.

• Opzione B (Ruota digitale): Si fa girare una ruota elettronica divisa in $10$ settori di uguale ampiezza e probabilità. In $6$ di essi esce «Grazie per aver partecipato» ($0\text{ €}$ di premio), in $3$ di essi si ottiene un buono sconto di $1\text{ €}$, e in $1$ di essi si ottiene un buono speciale «Super Risparmio» di $X\text{ €}$ di sconto netto.

Un cliente commenta su un social network: «Scelgo sempre la Ruota digitale perché $4$ dei $10$ settori hanno un premio e, se fai $10$ acquisti di fila, la statistica ti assicura almeno una volta il buono Super Risparmio da $X\text{ €}$».

a) Spiega matematicamente perché l'affermazione del cliente sui social è falsa: effettuare $10$ lanci garantisce che esca almeno una volta il settore del buono Super Risparmio? Basati sul principio che il caso non ha memoria.

b) Modella il guadagno atteso per lancio dell'Opzione B esprimendolo come formula matematica in funzione del valore incognito $X$.

c) Imposta una disequazione e calcola quale valore minimo deve avere il premio $X$ del buono speciale affinché a un consumatore convenga matematicamente di più, a lungo termine, scegliere l'Opzione B rispetto all'Opzione A.

d) Se l'azienda fissa $X = 5\text{ €}$ e una famiglia effettua $40$ acquisti all'anno in quel supermercato usando l'app, calcola il risparmio totale atteso accumulato in un anno con ciascuna opzione. Alla luce dei risultati, quale opzione consiglieresti a una persona che vuole massimizzare il proprio risparmio annuo?

Sfida del tema. È etico allestire uno stand di scommesse alla fiera solidale della scuola? Progetterai e verificherai un gioco con i dadi per decidere se è equo e redditizio.

1. Spazio campionario e definizione classica: Progetta un gioco lanciando due dadi in cui si vince se la somma è maggiore o uguale a $9$. Descrivi lo spazio campionario $E$ ($36$ eventi elementari equiprobabili) e calcola con la definizione classica di probabilità la probabilità teorica $P(\text{vincere})$.

2. Probabilità sperimentale: Effettua $50$ lanci reali a casa (o simulali in un foglio di calcolo con la funzione casuale). Annota i risultati, calcola la frequenza relativa $f_r$ dopo ogni blocco di $10$ lanci e analizza come evolve rispetto alla probabilità teorica.

3. Dati reali e processo decisionale: Consulta sul sito ufficiale di Sisal o dell'Agenzia delle Dogane e dei Monopoli la probabilità di indovinare $6$ numeri al SuperEnalotto ($1$ su $622,6$ milioni, cioè $P \approx 0,0000000016$). Redigi una proposta motivata confrontando i due rischi: stabilisci il prezzo per partita e il valore del premio del tuo gioco per raccogliere fondi in modo trasparente.

Verranno valutati:

• Determinazione rigorosa dello spazio campionario e applicazione esatta della definizione classica di probabilità.

• Raccolta sistematica delle frequenze relative e confronto critico con il valore teorico.

• Proposta economica fondata sui dati e sul confronto con i giochi d'azzardo reali.