Esercizi: Esperimenti aleatori e spazio campionario

Indica se ciascuno di questi esperimenti è aleatorio o deterministico, e giustifica la tua risposta:

a) Scaldare l'acqua fino a $100$ °C e verificare se bolle.

b) Lanciare una moneta e annotare se esce testa.

c) Misurare quanto tempo impiega a cadere a terra un foglio accartocciato lanciato da un tavolo.

d) Annotare il colore della prima auto che passa per la strada.

e) Calcolare il prezzo di $3$ kg di arance a $2,40\text{ €}$ al chilo.

Nel sacchetto della figura ci sono $6$ palline rosse e $1$ verde. Si estrae una pallina a caso.

Classifica questi eventi come certo, molto probabile, poco probabile o impossibile:

a) Estrarre una pallina rossa.

b) Estrarre una pallina verde.

c) Estrarre una pallina gialla.

d) Estrarre una pallina che sia rossa o verde.

Scrivi lo spazio campionario di ciascun esperimento aleatorio:

a) Lanciare un dado e annotare la faccia superiore.

b) Lanciare due monete e annotare il numero di teste.

c) Estrarre una carta da un mazzo di carte italiane e annotare il seme.

Scrivi lo spazio campionario di questi esperimenti:

a) Estrarre una pallina da un'urna con palline numerate da $1$ a $10$.

b) Lanciare un dado tetraedrico con le facce numerate da $1$ a $4$.

c) Annotare il numero di gol che una squadra segnerà nella sua prossima partita.

Nell'esperimento «lanciare due dadi e sommare i punti»:

a) Scrivi un evento certo.

b) Scrivi un evento impossibile.

c) Scrivi un evento possibile che non sia né certo né impossibile.

Da un'urna con palline numerate da $1$ a $8$ si estrae una pallina a caso. Indica se questi eventi sono elementari o composti:

a) Estrarre il $5$.

b) Estrarre un numero pari.

c) Estrarre un multiplo di $3$.

d) Estrarre il $8$.

Osserva la roulette della figura.

a) Quale colore ha più probabilità di uscire facendo girare la lancetta? E quale ne ha meno?

b) Ci sono colori con la stessa probabilità? Quali?

c) Ordina i colori dal più probabile al meno probabile.

Si lanciano una moneta e un dado. Copia e completa sul quaderno la tabella a doppia entrata con tutti i risultati possibili:

a) Quanti risultati diversi ci sono?

b) Quanti includono testa?

c) Quanti includono un numero pari?

Marta lancia in aria due monete identiche e annota il numero totale di teste ottenute. Alla fine afferma ad alta voce: «Lo spazio campionario di questo esperimento è $E = \{0, 1, 2\}$; poiché sono tre risultati possibili, ciascuno ha probabilità di un terzo, quindi ottenere due teste è tanto probabile quanto ottenere esattamente una testa».\n\na) Spiega con un ragionamento l'errore che commette Marta confondendo l'insieme dei valori numerici possibili con gli eventi elementari equiprobabili.\nb) Scrivi lo spazio campionario completo indicando i risultati di ciascuna moneta (per esempio, $(C, X)$) e determina quanti sono realmente i casi possibili dell'esperimento.\nc) Correggi l'affermazione di Marta indicando quale dei tre risultati ($0$, $1$ o $2$ teste) è in realtà il più probabile e perché.

Per una fiera scolastica di matematica ti hanno incaricato di progettare una ruota della fortuna circolare divisa in settori di tre colori: rosso, blu e bianco. L'esperimento aleatorio consiste nel far girare la lancetta e registrare in quale colore si ferma.\n\na) Scrivi lo spazio campionario $E$ dell'esperimento.\nb) Progetta la suddivisione dei $360^\circ$ del cerchio tra i tre colori in modo che si verifichino contemporaneamente queste tre condizioni:\n 1. L'evento «ottenere il colore rosso» deve avere probabilità tripla rispetto a «ottenere il colore bianco».\n 2. L'evento «ottenere il colore blu» deve avere esattamente la stessa probabilità di «ottenere il colore bianco».\n 3. L'evento «ottenere il colore verde» deve essere un evento impossibile.\nIndica quanti gradi spettano al settore di ciascun colore.\nc) Scrivi un evento certo per la ruota che hai progettato ed esprimilo a parole.

Si lanciano due dadi e si annota la somma dei punti.

a) Completa sul quaderno una tabella a doppia entrata con le $36$ somme possibili.

b) Scrivi lo spazio campionario dell'esperimento.

c) Quanti casi danno somma $7$? Elencali.

d) Tutti i risultati dello spazio campionario sono equiprobabili? Motiva la tua risposta.

Si lanciano un dado tetraedrico (facce numerate da $1$ a $4$) e un dado cubico (da $1$ a $6$), e si annota la somma.

a) Costruisci una tabella a doppia entrata con tutti i risultati.

b) Scrivi lo spazio campionario. Quanti elementi ha?

c) Scrivi i casi dell'evento «ottenere somma $8$».

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si lanciano tre monete, come mostra il diagramma ad albero della figura.

a) Quanti sono i risultati possibili?

b) Scrivi lo spazio campionario.

c) Scrivi i casi degli eventi «uscire esattamente $2$ teste» e «uscire almeno una testa».

Alla mensa scolastica si può scegliere un primo piatto (insalata o minestra), un secondo piatto (pollo, pesce o pasta) e un dessert (frutta o yogurt), come mostra il diagramma della figura.

a) Quanti menù diversi si possono formare?

b) Se un menù viene scelto completamente a caso, quanti includono la pasta?

c) Quanti includono insalata e yogurt?

Si lanciano contemporaneamente tre gettoni: uno con le facce verde e rossa, un altro con le facce verde e blu, e un altro con le facce rossa e blu.

a) Disegna un diagramma ad albero e scrivi lo spazio campionario.

b) In quanti risultati escono i tre colori diversi?

c) In quanti risultati ci sono almeno due colori uguali?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un'urna ci sono $10$ gettoni numerati da $1$ a $10$: quelli da $1$ a $4$ sono rossi, quelli da $5$ a $7$ sono verdi e quelli da $8$ a $10$ sono blu. Si estrae un gettone a caso. Scrivi i casi di ciascun evento:

a) A = «gettone rosso».

b) B = «gettone con numero pari».

c) C = «gettone blu con numero pari».

d) D = «gettone rosso o verde».

Stabilisci se queste affermazioni sono vere o false, motivando la risposta:

a) Lo spazio campionario del lancio di due monete, annotando i risultati, è $\{CC, C+, ++\}$, e i tre casi sono equiprobabili.

b) Un evento elementare è formato da un unico risultato dello spazio campionario.

c) L'evento certo ha probabilità $1$.

d) Lanciando un dado, «uscire un numero maggiore di $2$» è un evento composto.

In una verifica di vero o falso con $3$ domande, un alunno risponde completamente a caso.

a) Con l'aiuto di un diagramma ad albero, scrivi lo spazio campionario delle sue risposte, indicando per ogni domanda se la risposta è corretta ($A$) o sbagliata ($F$).

b) Scrivi i casi dell'evento «rispondere correttamente a esattamente $2$ domande».

c) Quanti casi ha l'evento «sbagliare tutte le $3$ domande»?

Si lanciano contemporaneamente due normali dadi cubici (con facce numerate da $1$ a $6$) e si annota come risultato dell'esperimento la differenza positiva tra i due punteggi: si sottrae la faccia minore dalla maggiore (e se i due punteggi sono identici, il risultato è $0$).\n\na) Stima: Prima di fare qualsiasi tabella o elenco sul quaderno, rispondi in base alla tua intuizione: che cosa credi sia più probabile, ottenere una differenza di $0$ o una differenza di $1$? Giustifica brevemente che cosa te lo fa pensare.\nb) Costruisci una tabella a doppia entrata di $6 \times 6$ in cui compaiano le $36$ differenze risultanti dai due dadi.\nc) Scrivi lo spazio campionario $E$ delle differenze possibili.\nd) Verifica: Conta nella tua tabella quante combinazioni danno come differenza $0$ e quante danno come differenza $1$. Confronta i risultati reali con la tua stima iniziale e spiega perché l'intuizione spesso sbaglia in questo tipo di confronti.

Per studiare l'affidabilità delle previsioni in una zona agricola dell'entroterra italiano, si modellizza il tempo atmosferico di un intero fine settimana osservando soltanto se il sabato piove ($L$) o non piove ($N$), e se la domenica piove ($L$) o non piove ($N$).\n\na) Stabilisci se osservare che tempo farà il prossimo fine settimana è un esperimento aleatorio o deterministico, distinguendo tra ciò che prevedono le previsioni meteorologiche e ciò che accade realmente.\nb) Disegna un diagramma ad albero che rappresenti tutte le combinazioni possibili di tempo nel corso del fine settimana e scrivi lo spazio campionario $E$ come coppie di risultati $(s\text{abato}, d\text{omingo})$.\nc) Considera i seguenti tre eventi:\n - Evento $A$: «Piove almeno uno dei due giorni».\n - Evento $B$: «Non piove in nessuno dei due giorni».\n - Evento $C$: «Piove tre giorni durante il fine settimana».\nElenca quali risultati formano ciascuno di questi eventi e classificali in modo motivato come possibile, certo o impossibile.

Si lanciano due dadi e si sommano i punti. Costruisci sul quaderno la tabella a doppia entrata con le $36$ somme possibili e conta i casi di ciascun evento:

a) Somma pari.

b) Somma multipla di $3$.

c) Somma maggiore di $8$.

d) Somma uguale a $1$.

Si lanciano due dadi e si moltiplicano i punti.

a) Costruisci sul quaderno la tabella a doppia entrata con i $36$ prodotti possibili.

b) Quanti casi danno un prodotto pari?

c) Quanti casi danno un prodotto maggiore di $20$?

d) Qual è il prodotto che compare più frequentemente nella tabella?

Nell'esperimento della figura si lancia una moneta: se esce testa, si estrae una pallina dall'urna A, e se esce croce, dall'urna B.

a) Scrivi lo spazio campionario dell'intero esperimento.

b) I quattro risultati sono equiprobabili? Motiva la tua risposta.

c) In quale urna è più probabile estrarre una pallina rossa?

Per allenarsi, una società di pallacanestro ha $3$ magliette (rossa, blu e verde), $2$ pantaloncini (nero e bianco) e $2$ paia di scarpe (modello A e modello B).

a) Disegna un diagramma ad albero e calcola quante divise diverse si possono formare.

b) Quante divise comprendono la maglietta rossa?

c) Quante comprendono i pantaloncini neri e le scarpe del modello A?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Lanciando due dadi e sommando i punti, Nora afferma: «Lo spazio campionario è $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, che sono $11$ casi, quindi la probabilità di ottenere somma $12$ è $\frac{1}{11}$».

a) Spiega l'errore del suo ragionamento.

b) Calcola correttamente la probabilità di ottenere somma $12$.

c) Qual è la somma più probabile? Perché?

Il codice di un armadietto della palestra ha $3$ rotelle, ciascuna con $4$ simboli: cerchio, triangolo, quadrato e stella.

a) Quanti codici diversi si possono formare?

b) Quanti codici iniziano con la stella?

c) Quanti codici hanno i tre simboli uguali?

Un gioco del domino ha $28$ tessere, ciascuna con due numeri da $0$ a $6$, senza ripetere nessuna coppia.

a) Quante tessere contengono il numero $6$? Elencale.

b) Quante tessere sono doppie (i due numeri uguali)?

c) Descrivi l'evento «la tessera contiene il $6$ oppure è doppia» contando quanti casi ha.

Confronta questi due esperimenti con urne:

• Esperimento 1: da un sacchetto con $3$ palline verdi e $1$ rossa si estrae una pallina a caso.

• Esperimento 2: si lancia una moneta; solo se esce testa, si estrae una pallina da un'urna con $2$ palline rosse e $1$ verde.

a) Scrivi lo spazio campionario di ciascun esperimento.

b) In quale dei due è più facile ottenere una pallina rossa? Motiva la risposta calcolando e confrontando la probabilità di ottenere una pallina rossa in ciascuno.

Nel laboratorio di matematica della tua scuola si studieranno due diversi esperimenti aleatori:\n- Esperimento 1: Si lancia un dado tetraedrico (con $4$ facce numerate da $1$ a $4$) e un normale dado cubico (con $6$ facce da $1$ a $6$), e si annota il prodotto delle due facce.\n- Esperimento 2: Si estrae una pallina da un'urna che contiene tre palline numerate con $1$, $2$ e $3$. Se il numero estratto è dispari, si lancia una moneta e si annota se esce testa ($C$) o croce ($X$); se invece il numero estratto è pari, si gira una roulette divisa in tre settori uguali colorati: rosso ($R$), verde ($V$) e blu ($A$).\n\na) Per ciascuno dei due esperimenti, confronta e spiega quale metodo di registrazione (una tabella a doppia entrata o un diagramma ad albero) sia il più adatto e chiaro per non dimenticare nessun caso possibile. Giustifica la tua scelta indicando le difficoltà che comporterebbe l'uso dell'altro metodo in ciascun caso.\nb) Applica il metodo che hai scelto per l'Esperimento 2, rappresentalo in dettaglio e scrivi esplicitamente il suo spazio campionario $E$. Quanti eventi elementari lo compongono?

Vuoi costruire un gioco per la settimana culturale della tua scuola usando due dadi a quattro facce (tetraedri). Ogni faccia deve contenere un unico numero intero positivo (maggiore o uguale a $1$). Le regole del gioco richiedono di lanciare entrambi i dadi e sommare i punteggi ottenuti sulle facce di appoggio.\nL'insegnante di matematica ti impone le seguenti condizioni rigorose:\n1. Lo spazio campionario della somma dei due dadi deve essere esattamente $E = \{3, 4, 5, 6, 7\}$.\n2. I due dadi non possono essere uguali: le $4$ facce del Dado A non possono avere esattamente la stessa combinazione di numeri delle $4$ facce del Dado B.\n\na) Deduci passo dopo passo quali quattro numeri può avere il Dado A e quali quattro numeri può avere il Dado B (ci sono più possibilità: basta indicarne una) affinché il risultato minore possibile sia $3$, il maggiore sia $7$ e si possano ottenere tutte le somme intermedie senza che ne compaia nessun'altra.\nb) Costruisci la tabella a doppia entrata con i $16$ risultati possibili delle somme per verificare che la tua assegnazione rispetti tutte le condizioni.\nc) A partire dalla tua tabella, giustifica se i $5$ risultati dello spazio campionario $E$ sono equiprobabili o no, indicando quale somma o quali somme si ripetono più volte.