Esercizi: Meccanismi di trasmissione

Spiega la differenza tra una macchina e un meccanismo con un esempio di ciascuno: pensa che la macchina è l'apparecchio completo che compie un lavoro per noi (la bicicletta, il frullatore) e il meccanismo è ciascun dispositivo interno che trasmette o trasforma il movimento (la catena, gli ingranaggi).

Disegna o descrivi una leva semplice e indica i suoi tre elementi: il fulcro, la forza che applichiamo (F) e la resistenza da vincere (R). Spiega con l'esempio dell'altalena a bilico del parco cosa succede quando avvicini o allontani il fulcro dal centro.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Esistono tre generi di leva a seconda di ciò che sta in mezzo: il fulcro (primo genere), la resistenza (secondo) o la forza (terzo). Classifica questi oggetti e giustificalo pensando a dove si trova ogni elemento quando li usi: un paio di forbici, una carriola da giardino e una pinzetta per depilare.

La figura mostra una leva con il suo fulcro, la forza applicata e il carico, ma manca il nome di una delle misure.

Indica tutti gli elementi della leva della figura (compreso quello coperto), stabilisci di quale genere è quella leva e spiega, osservando le distanze, se con quella leva farai una forza maggiore, minore o uguale al peso del carico.

Una puleggia fissa in cima a un pennone permette di alzare la bandiera tirando la corda verso il basso. Spiega che cosa cambia la puleggia fissa (la direzione della forza) e che cosa non cambia (la quantità di forza necessaria), e ragiona sul perché risulta comunque molto più comoda che salire arrampicandosi.

Una puleggia mobile è agganciata al carico stesso, in modo che la corda la sostenga con due tratti. Spiega perché così la forza necessaria si ripartisce (ogni tratto «tira» la metà) e quale prezzo si paga in cambio: quanta corda bisogna recuperare per sollevare il carico di un metro?

Due ingranaggi a contatto trasmettono la rotazione da un asse all'altro. Spiega due cose che cambiano passando da una ruota all'altra (il verso di rotazione e la velocità se hanno un numero di denti diverso) e nomina due apparecchi di casa tua che hanno ingranaggi.

La bicicletta trasmette la pedalata con una corona, una catena e un pignone, non con due ruote dentate a contatto. Spiega quale vantaggio ha la catena per portare la rotazione da un asse a un altro lontano e perché la catena non «slitta» come slitterebbe una cinghia liscia e scivolosa.

La legge della leva dice che lo sforzo si equilibra quando $F \cdot d_F = R \cdot d_R$. In un'altalena a bilico, un carico di $40\ \text{N}$ si trova a $1\ \text{m}$ dal fulcro e tu spingi a $2\ \text{m}$ dal fulcro: calcola la forza che devi fare. Spiega che cosa hai guadagnato (forza) e che cosa hai perso (spostamento) allontanandoti dal fulcro.

La figura mostra due ingranaggi a contatto con il loro numero di denti e la velocità del primo; quella del secondo è coperta.

Calcola la velocità dell'ingranaggio piccolo usando il rapporto di trasmissione $i = \frac{n_{salida}}{n_{entrada}} = \frac{z_{entrada}}{z_{salida}}$, indica in quale verso gira rispetto a quello grande e spiega perché quello piccolo gira più velocemente.

Due pulegge collegate da una cinghia: quella motrice ha $10\ \text{cm}$ di diametro e gira a $300\ \text{rpm}$, e quella condotta ha $30\ \text{cm}$. Calcola il rapporto di trasmissione e la velocità della puleggia grande, e spiega se questo sistema moltiplica o riduce la velocità (e che cosa succede allora alla forza sull'asse di uscita).

Un paranco combina una puleggia fissa con una mobile, in modo che il carico penda da due tratti di corda. Se il sacco pesa $200\ \text{N}$, calcola quale forza bisogna fare tirando il capo libero e quanta corda bisogna recuperare per sollevarlo di $2\ \text{m}$. Enuncia con parole tue il «patto» che fa qualsiasi puleggia mobile: forza in cambio di spostamento.

Due ruote di frizione trasmettono la rotazione per contatto diretto, senza denti né cinghia: una spinge l'altra per attrito. Spiega in quale verso gira la ruota condotta, che cosa accade se le ruote sono sporche o bagnate (slittano e non trasmettono bene) e fai un esempio in cui quello slittamento sarebbe un problema e uno in cui sarebbe una protezione utile.

La vite senza fine è una vite che ingrana con una ruota dentata (corona): a ogni giro della vite la corona avanza di un solo dente. Se la corona ha $40$ denti, calcola quanti giri della vite occorrono per un giro completo della corona e spiega perché questo meccanismo dà una riduzione enorme e, inoltre, la corona non può far muovere la vite (non è reversibile).

In una bicicletta, la corona ha $44$ denti e il pignone $11$. Calcola quanti giri compie la ruota per ogni giro di pedale e spiega che cosa cambieresti (corona o pignone) per affrontare una salita ripida pedalando più dolcemente, anche se la ruota avanza meno a ogni pedalata.

Scegli il meccanismo di trasmissione (leva, puleggia fissa, paranco, pulegge con cinghia, ingranaggi, pignone-catena o vite senza fine) per ogni esigenza e giustificalo: (a) sollevare un pianoforte al primo piano dalla facciata, (b) portare la rotazione del motore alle lame di un frullatore riducendo molto la velocità, (c) cambiare solo la direzione di una forza per issare una vela e (d) trasmettere la pedalata alla ruota posteriore.

Due operai devono sollevare una lastra di pietra di $600\ \text{N}$ usando una barra d'acciaio lunga $2\ \text{m}$. Discutono due opzioni:

• Opzione A (1º genere): collocare il fulcro a $0,4\ \text{m}$ dalla pietra e spingere verso il basso all'estremità opposta.

• Opzione B (2º genere): appoggiare un'estremità a terra, collocare la pietra a $0,4\ \text{m}$ dal fulcro e tirare verso l'alto dall'altra estremità.

(a) Calcola la forza da applicare in ciascuna opzione.

(b) Giustifica quale delle due configurazioni richiede meno sforzo confrontando i loro bracci di leva.

(c) Se una persona può esercitare al massimo $100\ \text{N}$, l'Opzione A è valida? Se non lo è, calcola a quale distanza massima dalla pietra bisognerebbe collocare il fulcro per non superare quei $100\ \text{N}$.

Devi progettare il meccanismo riduttore per il nastro trasportatore di un magazzino. Il motore gira a $1.200\ \text{rpm}$ in senso orario, ma il nastro deve girare esattamente a $200\ \text{rpm}$, sempre in senso orario. In officina hai a disposizione soltanto ingranaggi da $20$, $40$ e $60$ denti, e assi su cui puoi montare una o due ruote solidali.

(a) Dimostra con dei calcoli perché è impossibile ottenere quella riduzione esatta usando una sola coppia di quelle ruote dentate.

(b) Progetta un treno composto da due coppie di ingranaggi scegliendo le ruote adatte per ottenere esattamente i $200\ \text{rpm}$ richiesti.

(c) Determina il verso di rotazione dell'asse di uscita nel tuo progetto. Gira nel senso orario richiesto dal nastro? Se non è così, spiega quale elemento meccanico dovresti aggiungere per correggerlo senza modificare la velocità finale.

In officina abbiamo un trapano a colonna la cui trasmissione a cinghia piatta corrisponde allo schema della figura:

Mentre si fora un pezzo spesso di metallo, la punta (collegata all'asse della puleggia 2) si pianta e si ferma di colpo, ma il motore continua a girare a $600\ \text{rpm}$.

(a) Calcola a quale velocità $n_2$ girava la punta prima di bloccarsi.

(b) Spiega quale fenomeno fisico avviene tra la puleggia e la cinghia durante il blocco e ragiona sul perché questo effetto protegge il motore dai sovraccarichi.

(c) Un compagno propone di sostituire le pulegge con ingranaggi per evitare lo slittamento. Confuta la sua proposta spiegando due svantaggi: uno relativo al rischio per il motore in caso di blocco e uno relativo al verso di rotazione della punta.

Una startup cerca finanziamenti per commercializzare una «scatola di ingranaggi miracolosa». Nel catalogo assicura che il meccanismo è in grado di triplicare la velocità di rotazione sull'asse di uscita ($n_2 = 3 \cdot n_1$) e, allo stesso tempo, mantenere intatta la forza disponibile ($F_2 = F_1$), senza aumentare il consumo del motore.

(a) Basandoti sul lavoro meccanico e sulla conservazione dell'energia, dimostra matematicamente perché questa macchina è impossibile nella realtà.

(b) Se il meccanismo triplica la velocità di rotazione, che cosa accade inevitabilmente alla forza sull'asse di uscita in condizioni ideali senza attrito?

(c) Analizza la situazione inversa con un paranco che riduce la forza necessaria a un quarto ($F = R / 4$): prevedi che cosa accade alla lunghezza di corda da tirare e alla velocità di sollevamento del carico.

Per spremere un frutto duro bisogna applicare su di esso una forza di almeno $120\ \text{N}$. Una persona che con la mano può esercitare una forza massima di $24\ \text{N}$ userà uno spremiagrumi a leva di secondo genere.

(a) Disegna o descrivi lo schema del meccanismo indicando la posizione relativa del fulcro, del frutto (resistenza) e della mano (forza applicata).

(b) Se il manico misura $25\ \text{cm}$ dal fulcro alla posizione della mano, calcola a quale distanza massima dal fulcro deve essere posto il frutto per poterlo spremere con quella forza disponibile.

(c) Qualcuno suggerisce di costruire lo spremiagrumi come una leva di terzo genere (mettendo il frutto all'estremità e la mano in mezzo) «per renderlo più compatto». Giustifica matematicamente perché questo progetto impedirebbe del tutto alla persona di spremere il frutto.

In un'officina meccanica vogliono installare un argano manuale per sospendere motori da $1.800\ \text{N}$ durante le riparazioni. Il tecnico è indeciso tra due opzioni per il riduttore della manovella:

• Opzione A: un treno semplice di due ruote dentate cilindriche con $z_1 = 10$ e $z_2 = 50$.

• Opzione B: una vite senza fine a $1$ di ingresso che ingrana con una corona di $50$ denti.

(a) Calcola il rapporto di trasmissione di ciascuna opzione e prevedi con quale delle due il meccanico dovrà fare meno forza sulla manovella.

(b) Se il meccanico lascia la manovella a metà del sollevamento per prendere un attrezzo, prevedi che cosa accadrà al motore sospeso nell'Opzione A e nell'Opzione B, giustificando il concetto meccanico coinvolto.

(c) In base ai risultati precedenti, concludi qual è il meccanismo ideale e ragiona su quale sia lo svantaggio o «prezzo da pagare» (in tempo o numero di giri) scegliendo l'opzione più sicura.

Progetta il sistema per alzare e abbassare la pesante serranda della palestra: scegli tra puleggia fissa, paranco o vite senza fine con manovella, giustifica la tua scelta con un calcolo semplice (la serranda pesa $400\ \text{N}$ e una persona può tirare con circa $100\ \text{N}$) e spiega che cosa accadrebbe al tuo sistema se si lasciasse il capo della corda o la manovella.

Un ciclista inesperto afferma: «Per salire questo ripido passo di montagna metterò la corona grande ($50$ denti) e il pignone piccolo ($15$ denti), perché dando più giri di ruota a ogni pedalata avanzerò più velocemente e mi stancherò meno».

(a) Calcola quanti giri di ruota compie la bicicletta a ogni pedalata con il rapporto proposto dal principiante e con quello consigliato dalla sua allenatrice: corona piccola ($30$ denti) e pignone grande ($30$ denti).

(b) Se le ruote hanno una circonferenza di $2,1\ \text{m}$, calcola la distanza percorsa a ogni pedalata in entrambi i casi.

(c) Confuta con argomenti fisici l'affermazione del ciclista: spiega perché non riuscirà a salire più velocemente né con meno fatica, mettendo in relazione il rapporto di trasmissione con la forza che le sue gambe devono esercitare sui pedali.