Esercizi: Frazioni. Frazioni equivalenti.

In una tavoletta di cioccolato come quella dell'immagine, abbiamo mangiato i pezzi colorati di arancione.

1. a) Scrivi la frazione che rappresenta i pezzi mangiati rispetto al totale della tavoletta.
2. b) Semplifica la frazione precedente fino ad arrivare alla sua frazione ridotta ai minimi termini.

Un gruppo di amici sta confrontando il successo dei propri post sui social. Lucia dice che $2$ follower su $5$ hanno messo "like" alla sua ultima foto.

1. a) Scrivi la frazione di "like" di Lucia.
2. b) Ottieni una frazione equivalente per amplificazione moltiplicando entrambi i termini per $3$.
3. c) Ottieni un'altra frazione equivalente se Lucia avesse in totale $50$ follower.

In un videogioco hai ottenuto $45$ monete su un totale di $60$ presenti nel livello. D'altra parte, tuo fratello ne ha ottenute $15$ su un totale di $20$ nella sua partita.

Utilizza la regola dei prodotti incrociati per verificare se le due frazioni di monete ottenute sono equivalenti.

Osserva i seguenti rettangoli della stessa dimensione. Il primo è diviso in $4$ parti uguali e il secondo in $8$ parti uguali.

1. a) Scrivi la frazione colorata della Figura A.
2. b) Scrivi la frazione colorata della Figura B.
3. c) Sono equivalenti? Giustifica la tua risposta osservando il disegno ed eseguendo il calcolo.

Per preparare un frullato di frutta, la ricetta indica che dobbiamo usare $\frac{3}{4}$ di litro di latte. Se vogliamo preparare una quantità maggiore mantenendo la proporzione e il nuovo recipiente graduato indica ottavi di litro ($8$ parti):

Trova il valore di $x$ affinché le frazioni siano equivalenti:

Nella biblioteca della scuola, l'addetto ci dice che $\frac{12}{30}$ dei libri sono di avventura. Aiutalo a semplificare questa frazione per metterla su un cartello:

1. a) Dividi il numeratore e il denominatore per $2$.
2. b) Dividi il risultato precedente per $3$.
3. c) La frazione ottenuta al punto b è una frazione irriducibile? Perché?

Copia sul quaderno e completa il termine mancante in ogni caso in modo che le coppie di frazioni siano equivalenti:

1. a) $\frac{1}{3} = \frac{\Box}{12}$

1. b) $\frac{10}{15} = \frac{2}{\Box}$

1. c) $\frac{\Box}{7} = \frac{20}{28}$

Individua, nel seguente elenco, quali frazioni sono equivalenti a $\frac{2}{3}$:

In una verifica di Matematica, Lucia deve trovare una frazione equivalente a $\frac{4}{9}$ il cui numeratore sia $12$. Lucia scrive sul suo foglio:

«Poiché per passare da $4$ a $12$ devo sommare $8$, faccio lo stesso al denominatore: $\frac{4}{9} = \frac{4+8}{9+8} = \frac{12}{17}$. Quindi $\frac{12}{17}$ è equivalente a $\frac{4}{9}$».

1. a) Spiega dettagliatamente perché il procedimento di Lucia è errato, basandoti sulla definizione di amplificazione di una frazione e verificando il prodotto incrociato delle due frazioni.
2. b) Correggi il suo esercizio calcolando la vera frazione equivalente a $\frac{4}{9}$ con numeratore $12$.

Osserva le frazioni $\frac{12}{24}$ e $\frac{21}{40}$.

1. a) Stima: Senza eseguire prodotti incrociati né semplificazioni per iscritto, confronta mentalmente ciascuna di esse con il valore di riferimento $\frac{1}{2}$ e deduci se possono essere equivalenti oppure no. Spiega con parole tue il tuo ragionamento iniziale.
2. b) Verifica: Esegui la verifica matematica rigorosa mediante la regola dei prodotti incrociati per confermare se la tua stima era corretta.

Due grafici stanno lavorando con delle griglie per creare un logo. Il primo ha colorato $\frac{12}{20}$ della sua griglia, mentre il secondo ha colorato $\frac{18}{30}$ della sua. Osserva le seguenti rappresentazioni grafiche e stabilisci se entrambi hanno colorato la stessa proporzione di superficie, verificando se le frazioni sono equivalenti.

In una competizione di e-sport, un giocatore ha completato $42$ dei $60$ livelli di un videogioco. Un altro giocatore ha completato la stessa proporzione di livelli, ma il gioco a cui sta giocando ha in totale $90$ livelli. Quanti livelli ha superato il secondo giocatore? Risolvilo cercando il termine incognito $x$ nell'uguaglianza di frazioni equivalenti.

Semplifica le seguenti frazioni fino a ottenere la loro frazione ridotta ai minimi termini. Per farlo, usa il metodo di dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore (M.C.D.):

1. a) $\dfrac{126}{180}$

1. b) $\dfrac{210}{315}$

1. c) $\dfrac{154}{198}$

Un influencer analizza l'impatto dei suoi video. Nel primo ha ottenuto $36$ "like" ogni $80$ visualizzazioni. Nel secondo ha ottenuto $45$ "like" ogni $100$ visualizzazioni. Usa la regola del prodotto incrociato per stabilire se la proporzione di successo è equivalente in entrambi i video.

Trova il valore dell'incognita $n$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze affinché le frazioni siano equivalenti:

1. a) $\dfrac{n}{15} = \dfrac{12}{45}$

1. b) $\dfrac{7}{n} = \dfrac{28}{36}$

1. c) $\dfrac{10}{18} = \dfrac{25}{n}$

Tra le seguenti frazioni, individua quale non appartiene al gruppo delle frazioni equivalenti. Giustifica la risposta semplificandole tutte fino alla frazione ridotta ai minimi termini.

Per eseguire un esperimento di chimica, un laboratorio deve mescolare dei liquidi in una proporzione di $\frac{3}{8}$. Se dispongono di un recipiente con una capacità totale di $120$ ml per la miscela, quale quantità di liquido attivo devono versare per mantenere la stessa proporzione? Rappresenta la situazione mediante due frazioni equivalenti in cui il denominatore della seconda sia $120$.

Disegna sul tuo quaderno una retta numerica (segna lo 0 e l'1 e usa un'unità abbastanza grande, per esempio 8 quadretti) e rappresenta su di essa le seguenti frazioni. Dimostra graficamente che sono equivalenti osservando che si trovano tutte nello stesso punto della retta:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sulla linea suburbana di Roma FL1, Trenitalia effettua una verifica di puntualità nell'arco di una settimana:

• Nella tratta Fiumicino Aeroporto - Roma Termini sono arrivati in orario $72$ dei $90$ treni programmati.

• Nella tratta Roma Termini - Orte erano programmati $150$ treni in totale, e la compagnia assicura che il tasso di puntualità è stato esattamente equivalente a quello della prima tratta.

1. a) Modella la proporzione di puntualità della prima tratta mediante una frazione e semplificala passo dopo passo fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Imposta un'uguaglianza di frazioni equivalenti per scoprire quanti treni sono dovuti arrivare in orario nella seconda tratta perché l'affermazione della compagnia sia vera. Usa i prodotti incrociati per risolverlo.

Per verificare se le frazioni $\frac{84}{126}$ e $\frac{140}{210}$ sono equivalenti, due alunni di seconda media propongono strade diverse:

• Sergio propone di usare direttamente il criterio del prodotto incrociato calcolando $84 \cdot 210$ e $126 \cdot 140$.

• Laura propone di semplificare prima entrambe le frazioni fino alla frazione ridotta ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore ($\text{m.c.d.}$).

1. a) Analizza i vantaggi e gli svantaggi di ciascun metodo tenendo conto della dimensione dei numeri e del rischio di commettere errori di calcolo senza calcolatrice. Giustifica quale dei due metodi è più conveniente in questo caso.
2. b) Applica il metodo di Laura per verificare se le frazioni sono equivalenti, indicando il $\text{m.c.d.}$ dei termini di ciascuna frazione e la frazione ridotta ai minimi termini ottenuta in ciascun caso.

In una gara di robotica, due robot devono percorrere la stessa distanza, dalla Partenza al Traguardo. Il primo robot ha completato $\frac{42}{105}$ del percorso. Il secondo robot ha percorso una frazione equivalente alla precedente, ma il suo numeratore e il suo denominatore sono numeri naturali la cui somma è esattamente $112$.

Quale frazione del percorso ha compiuto il secondo robot? Giustifica se i due robot si trovano nello stesso punto della pista e calcola la frazione ridotta ai minimi termini che rappresenta la posizione di entrambi.

Cerca una frazione equivalente a $\frac{126}{198}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. Il suo denominatore è un numero compreso tra $50$ e $100$.

2. La somma delle cifre del numeratore e la somma delle cifre del denominatore sono, ciascuna separatamente, multipli di $9$.

3. È una frazione propria.

Spiega passo dopo passo il processo di semplificazione e amplificazione che hai seguito per trovarla.

Un designer di interfacce sta lavorando alla risoluzione di un nuovo schermo. Il rapporto d'aspetto è $16:9$ (il che significa che ogni $16$ unità di larghezza ce ne sono $9$ di altezza). Disegna lo schema sul tuo quaderno. Se la larghezza dello schermo è definita da un numero $x$ e l'altezza da un numero $y$, trova i valori di $x$ e $y$ sapendo che:

• $\frac{x}{y}$ è equivalente a $\frac{16}{9}$.

• L'area del rettangolo formato ($x \cdot y$) è di $576$ unità quadrate.

• $x$ e $y$ devono essere numeri naturali.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la frazione $\frac{A}{B}$, sappiamo che è equivalente a $\frac{4}{7}$. Se al numeratore sommiamo $12$ unità, affinché la nuova frazione sia equivalente a quella originale, il denominatore deve aumentare di $21$ unità.

Dimostra se questa affermazione è vera per qualsiasi valore iniziale di $A$ e $B$ che mantenga la proporzione $\frac{4}{7}$. Poi trova una frazione equivalente a $\frac{4}{7}$ tale che il prodotto dei suoi termini ($A \cdot B$) sia $700$.

In un videogioco di strategia, la salute di un personaggio è rappresentata da una barra. Attualmente il personaggio ha $\frac{15}{24}$ della sua vita totale. Il giocatore consuma una pozione che aumenta la vita attuale di una quantità tale che la nuova frazione di vita è equivalente a $\frac{11}{12}$ della vita totale.

Se il denominatore della vita totale (la capacità massima) è di $120$ punti, quanti punti vita esatti ha recuperato il personaggio con la pozione? Esprimi tutte le frazioni del problema con denominatore $120$ prima di risolverlo.

Tre fratelli si dividono il premio in denaro di un concorso di matematica nel modo seguente: il maggiore riceve $\frac{24}{60}$ del totale, il mediano riceve una frazione equivalente a $\frac{18}{45}$ e il più piccolo il resto.

1. Calcola la frazione ridotta ai minimi termini di ciò che ricevono i due fratelli maggiori.

2. Chi riceve più denaro, il maggiore o il mediano?

3. Quale frazione del totale riceve il fratello più piccolo? È maggiore o minore delle parti dei suoi fratelli?

Trova il valore dell'incognita $n$ affinché le seguenti frazioni siano equivalenti:

Una volta trovato $n$, trova un'altra frazione equivalente alle precedenti il cui denominatore sia il quadrato di $n$. È possibile che il numeratore di quest'ultima frazione sia un numero primo? Motiva la risposta.

Considera il numero decimale periodico semplice $1,\widehat{36}$ e il numero decimale periodico misto $1,3\widehat{6}$.

1. Trova le frazioni generatrici di entrambi i numeri e semplificale fino a renderle ridotte ai minimi termini.

2. Una di queste frazioni è equivalente a $\frac{60}{44}$?

3. Esiste un numero naturale per cui devi moltiplicare il denominatore della frazione generatrice di $1,\widehat{36}$ per ottenere come risultato il denominatore della frazione generatrice di $1,3\widehat{6}$? Giustifica la risposta.

Determina due frazioni positive $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ sapendo che entrambe hanno come frazione ridotta ai minimi termini comune $\frac{5}{8}$ e che soddisfano i seguenti requisiti indipendenti:

1. a) Nella frazione $\frac{a}{b}$, il prodotto del suo numeratore per il suo denominatore è esattamente $1000$. Deduci il fattore naturale per cui è stata amplificata la frazione ridotta e scrivi la frazione $\frac{a}{b}$.
2. b) Nella frazione $\frac{c}{d}$, la somma del suo numeratore e del suo denominatore è uguale al più piccolo multiplo comune di $13$ e $3$ compreso strettamente tra $100$ e $200$. Determina il corrispondente fattore di amplificazione e scrivi la frazione $\frac{c}{d}$.
3. c) Verifica che le frazioni $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ ottenute sono equivalenti tra loro applicando la regola dei prodotti incrociati.

Il Ministero della Transizione Ecologica pubblica i seguenti dati su due bacini idrici di uno stesso bacino idrografico:

• Il bacino di Valdecañas ha una capacità massima di $160\text{ hm}^3$ e attualmente contiene $64\text{ hm}^3$ di acqua.

• Il bacino di Alarcón ha una capacità totale incognita $C$, ma si sa che, se ricevesse $15\text{ hm}^3$ in più, raggiungerebbe un volume invasato di $55\text{ hm}^3$. Inoltre, i tecnici confermano che la proporzione attuale di acqua rispetto alla sua capacità totale è esattamente la stessa di Valdecañas (le loro frazioni di riempimento sono equivalenti).

1. a) Modella la situazione impostando l'uguaglianza di frazioni tra i due bacini e calcola con ragionamento la capacità totale $C$ di Alarcón mediante i prodotti incrociati.
2. b) Nel mese successivo, le piogge aggiungono esattamente $20\text{ hm}^3$ di acqua a ciascuno dei due bacini. Un portavoce afferma: «Poiché in entrambi i bacini è entrato esattamente lo stesso volume d'acqua, le loro proporzioni di riempimento rispetto alle capacità totali restano equivalenti». Dimostra matematicamente se l'affermazione del portavoce è vera o falsa calcolando la frazione ridotta ai minimi termini del nuovo riempimento di ciascun bacino.