Esercizi: Ripartizioni proporzionali

Tre fratelli decidono di spartirsi un sacchetto di $120$ caramelle in modo direttamente proporzionale alle loro età, che sono $2$, $3$ e $7$ anni. Quante caramelle spettano a ciascuno?

Tre amici, Alba, Beto e Caio, hanno collaborato a un mercatino solidale vendendo oggetti fatti a mano. Decidono di dividersi i $300 \ €$ di guadagno in modo direttamente proporzionale al numero di ore lavorate da ciascuno: Alba ha lavorato $2$ ore, Beto $3$ ore e Caio $5$ ore. Calcola quanto denaro riceve ciascuno.

In un concorso di videogiochi si ripartiscono $100$ punti bonus tra due giocatori in modo inversamente proporzionale al numero di errori commessi. Se il primo giocatore ha commesso $2$ errori e il secondo ne ha commessi $4$, quanti punti riceve ciascuno?

Una fotografa ha scattato in tutto $180$ foto durante un viaggio. Vuole organizzare il suo album ripartendo le foto in modo direttamente proporzionale ai giorni trascorsi in ogni città: $4$ giorni a Napoli, $5$ giorni a Bologna e $9$ giorni a Firenze. Quante foto metterà nella sezione di ciascuna città?

Un falegname ha un listello di legno di $240\text{ cm}$ e deve tagliarlo in tre pezzi le cui lunghezze siano proporzionali ai numeri $1$, $2$ e $3$. Chiamiamo $k$ la lunghezza del pezzo più corto, in modo che gli altri due misurino $2k$ e $3k$. Qual è la lunghezza di ciascun pezzo?

Si vuole ripartire un premio di $770 \ €$ tra i primi tre classificati di una gara scolastica in modo inversamente proporzionale al posto ottenuto (1º, 2º e 3º posto). Quanto denaro spetta a ciascuno dei tre vincitori?

Un gruppo di tre YouTuber ha ricevuto una gratifica di $450 \ €$ per un video in collaborazione. Hanno deciso di dividere il denaro in modo direttamente proporzionale al numero di video che ciascuno ha caricato sul canale quel mese: rispettivamente $4$, $5$ e $6$ video. Quanto denaro riceverà ciascuno?

Due studenti, Giulia e Marco, devono dividersi $10$ ore di utilizzo di una console durante il fine settimana. Poiché Giulia ha preso voti migliori, decidono di ripartire il tempo in modo inversamente proporzionale al numero di materie insufficienti: Giulia ha $4$ materie insufficienti e Marco ne ha $6$. Quante ore di gioco spettano a ciascuno?

Per ripartire un premio di $180$ € tra tre sorelle in modo direttamente proporzionale alle ore dedicate a pulire il giardino ($2$ ore Lucia, $3$ ore Elena e $4$ ore Marta), il fratello maggiore Paolo ragiona così: «Dato che sono tre persone, divido $180$ per $3$ e vengono $60$ € per parte. Poi moltiplico per le loro ore: Lucia prende $2 \cdot 60 = 120$ €, Elena $3 \cdot 60 = 180$ € e Marta $4 \cdot 60 = 240$ €».

1. a) Spiega con parole tue quale errore concettuale ha commesso Paolo nel calcolare il valore di «una parte» ($k$).
2. b) Verifica la somma delle quantità ottenute da Paolo per dimostrare perché la sua soluzione è impossibile nella pratica.
3. c) Correggi l'esercizio eseguendo correttamente il riparto direttamente proporzionale e calcola quanto denaro riceve realmente ciascuna sorella.

Tre classi di $2.^\circ$ di un istituto partecipano a una campagna solidale di raccolta di alimenti e hanno raccolto in tutto $450\text{ kg}$. La dirigenza della scuola premierà il loro impegno ripartendo $90$ biglietti del cinema in modo direttamente proporzionale ai chili portati da ciascuna classe: $2.^\circ\text{ A}$ ha raccolto $100\text{ kg}$, $2.^\circ\text{ B}$ ha raccolto $150\text{ kg}$ e $2.^\circ\text{ C}$ ha raccolto $200\text{ kg}$.

1. a) Prima di calcolare, stima: il gruppo $2.^\circ\text{ C}$ riceverà più o meno della metà dei biglietti disponibili? Motiva la tua stima confrontando i chili di $2.^\circ\text{ C}$ con il totale raccolto.
2. b) Calcola il valore di ciascuna parte ($k$) e determina quanti biglietti esatti spettano a ciascuna classe.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e controlla che la somma delle tre quantità coincida con il totale dei biglietti.

Tre amici decidono di noleggiare un server privato per giocare a un videogioco online durante le vacanze. Il costo totale del noleggio è di $153\ €$. Hanno concordato di ripartire il pagamento in modo direttamente proporzionale al tempo per cui ciascuno è stato connesso: Alex è stato connesso $12$ ore, Bea $18$ ore e Cristian $21$ ore. Quanto deve versare ciascuno per pagare la fattura?

Un'associazione ambientalista ha ricevuto un finanziamento di $2\ 160\ €$ per premiare tre volontari che hanno partecipato alla pulizia delle spiagge. Il denaro sarà ripartito in modo direttamente proporzionale al numero di sacchi di rifiuti raccolti da ciascuno. Se il primo volontario ha raccolto $24$ sacchi, il secondo $30$ sacchi e il terzo $36$ sacchi, calcola la somma di denaro che spetta a ciascun volontario.

In una gara di droni si ripartiscono $310$ punti bonus tra i primi tre classificati in modo inversamente proporzionale al numero di falli tecnici commessi durante il circuito. Il primo classificato ha commesso $2$ falli, il secondo $5$ falli e il terzo $10$ falli. Quanti punti riceve ciascuno?

Tre fratelli aiutano nelle faccende di casa e il nonno decide di dare loro una gratifica di $114\ €$ per i loro risparmi. Tuttavia, per promuovere il senso di responsabilità, ripartisce il denaro in modo inversamente proporzionale al numero di volte che hanno dimenticato di riordinare la propria camera questo mese. Lucia l'ha dimenticato $2$ volte, Giorgio $3$ volte e Marta $6$ volte. Quanto denaro riceverà ciascuno?

Un piccolo studio di grafica ha ottenuto un guadagno di $5\ 400\ €$ per un progetto pubblicitario. Il direttore decide di ripartire il guadagno tra i suoi tre dipendenti in modo direttamente proporzionale agli anni di esperienza che hanno in azienda. Il dipendente A ha $2$ anni, il dipendente B ha $4$ anni e il dipendente C ha $6$ anni. Calcola la parte del guadagno che spetta a ciascun lavoratore.

In una gara di tiro con l'arco si ripartiscono $135$ frecce artigianali tra i tre migliori arcieri in modo inversamente proporzionale alla distanza (in centimetri) dal centro del bersaglio nell'ultimo lancio. L'arciere A è rimasto a $3\ cm$, l'arciere B a $4\ cm$ e l'arciere C a $6\ cm$. Quante frecce spettano a ciascuno?

Un gruppo di tre amici, Sara, Luigi e Alba, ha allestito un chiosco di limonata alla festa di quartiere. All'inizio Sara ha messo $10\ €$, Luigi $15\ €$ e Alba $25\ €$. A fine giornata hanno ottenuto un guadagno netto di $160\ €$. Se decidono di ripartire i guadagni in modo direttamente proporzionale al denaro che ciascuno ha messo all'inizio, quanto denaro riceverà ciascuno dei tre amici?

Si vuole ripartire una scatola con $120$ biglietti per un festival musicale tra tre istituti della zona. La ripartizione avverrà in modo inversamente proporzionale al numero di alunni arrivati in ritardo nell'ultima giornata culturale. L'Istituto "A" ha avuto $10$ ritardi, l'Istituto "B" ha avuto $15$ ritardi e l'Istituto "C" ha avuto $30$ ritardi. Quanti biglietti riceverà ciascun istituto?

In una gara di robotica scolastica si ripartiscono $270$ punti tra le tre squadre finaliste in modo inversamente proporzionale al numero di penalità tecniche commesse durante la prova: la squadra Alfa ha commesso $3$ penalità, la squadra Beta ne ha commesse $4$ e la squadra Gamma ne ha commesse $6$.

Per risolvere il riparto, due membri della giuria propongono strade diverse:

• Metodo 1: Sommare le frazioni degli inversi $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$, dividere il totale dei punti per questa somma frazionaria per trovare la costante $k$ e moltiplicare ogni frazione per $k$.

• Metodo 2: Moltiplicare gli inversi per il minimo comune multiplo dei denominatori (m.c.m.$(3, 4, 6) = 12$) per ottenere numeri interi equivalenti ($4$, $3$ e $2$), e fare un riparto direttamente proporzionale su questi interi.

1. a) Applica entrambi i metodi passo dopo passo e verifica che con entrambi si ottenga esattamente lo stesso punteggio per ogni squadra.
2. b) Spiega quale dei due procedimenti ti sembra più comodo e sicuro da usare a mano durante una verifica, indicando quali difficoltà presenta l'altro.

Tre agricoltori di un consorzio di irrigazione della campagna napoletana si dividono la bolletta elettrica del motore del pozzo che rifornisce i loro campi. A luglio, il costo totale dell'elettricità è stato di $1\,500$ €. Tuttavia, il consorzio dispone di un contributo regionale per l'uso efficiente dell'acqua che finanzia il $20\%$ dell'importo totale prima dell'emissione dei pagamenti. L'importo netto risultante deve essere ripartito in modo direttamente proporzionale al volume d'acqua consumato da ciascuna azienda:

• Vincenzo: $1\,200\text{ m}^3$

• Amparo: $1\,800\text{ m}^3$

• Carlo: $3\,000\text{ m}^3$

1. a) Calcola l'importo netto che resta da pagare dopo aver applicato il contributo del $20\%$.
2. b) Trova il prezzo del metro cubo ($k$) per questo riparto e determina quanto deve pagare ciascuno dei tre agricoltori.
3. c) Perché il contributo del $20\%$ deve essere applicato sul totale prima del riparto proporzionale, invece di ripartire prima i $1\,500$ € e poi sottrarre a ciascuno un terzo dell'aiuto? Motiva la risposta basandoti sull'equità del riparto proporzionale.

Tre amici di un club di e-sports hanno vinto un torneo regionale e stanno per dividersi un premio di $1\,900$ €. La ripartizione deve essere direttamente proporzionale ai punti ottenuti nella grande finale. Il primo giocatore ha ottenuto $150$ punti, il secondo $120$ punti e il terzo $110$ punti. Tuttavia, prima di incassare, il club trattiene il $5\%$ del totale del premio per spese di gestione. Quale somma netta riceverà ciascuno dei tre giocatori dopo aver applicato la trattenuta ed effettuato la ripartizione proporzionale?

Un'azienda di corrieri sostenibile vuole premiare i suoi tre migliori fattorini della sezione biciclette. Il premio totale è di $1\,160$ € e verrà ripartito in modo inversamente proporzionale al numero di pacchi arrivati in ritardo durante l'ultimo mese. Il fattorino $A$ ha avuto $2$ ritardi, il fattorino $B$ ne ha avuti $3$ e il fattorino $C$ ne ha avuti $4$. Calcola quanto denaro spetta a ciascuno.

Tre famiglie hanno affittato una casa di campagna per le vacanze di Pasqua. Il costo totale dell'affitto è di $1\,500$ €. Decidono di ripartire la spesa in modo direttamente proporzionale al numero di notti che ciascuna famiglia ha trascorso nella casa. La famiglia Sanna è stata $5$ notti, la famiglia Pellegrini è stata il doppio delle notti della famiglia Galli, e la famiglia Galli è stata $3$ notti in meno della famiglia Sanna. Quale somma deve pagare ciascuna famiglia?

Un'applicazione musicale ha ripartito i suoi guadagni trimestrali tra tre artisti emergenti in modo direttamente proporzionale al numero di riproduzioni dei loro brani. Sappiamo che l'artista $X$ ha ricevuto $1\,200$ € per $300\,000$ riproduzioni. Se l'artista $Y$ ha avuto $450\,000$ riproduzioni e l'artista $Z$ ha ricevuto $2\,400$ €, calcola:

1. Il numero di riproduzioni che ha avuto l'artista $Z$.

2. La somma di denaro che ha ricevuto l'artista $Y$.

3. Il guadagno totale che l'applicazione ha ripartito tra i tre.

Un nonno vuole dividere una collezione di $168$ monete antiche tra i suoi tre nipoti in modo inversamente proporzionale alle loro età, che sono $12$, $15$ e $20$ anni. Il nipote più piccolo è così entusiasta che il nonno decide di regalargli, in aggiunta, $10$ monete prese dalla sua riserva personale. Con quante monete finirà ciascun nipote?

Una donazione di $110\,000$ € viene ripartita tra tre istituzioni benefiche in modo direttamente proporzionale ai posti che offrono. L'istituzione $P$ ha $x$ posti, l'istituzione $Q$ ha il triplo dei posti della $P$, e l'istituzione $R$ ha la metà dei posti della $Q$. Sapendo che all'istituzione $Q$ sono spettati $60\,000$ €, quanto denaro riceve ciascuna delle altre due istituzioni?

In un concorso di riciclaggio, un comune ripartisce un fondo di $2\,600$ € tra tre istituti scolastici in modo inversamente proporzionale al numero di tonnellate di rifiuti non riciclati che hanno prodotto. L'istituto $1$ ha prodotto $\frac{1}{2}$ tonnellata, l'istituto $2$ ha prodotto $\frac{1}{3}$ di tonnellata e l'istituto $3$ ha prodotto $\frac{1}{4}$ di tonnellata. Quale premio in denaro riceve ciascun istituto?

Un appezzamento rettangolare di $1\,200$ $m^2$ viene diviso in tre orti scolastici per le classi di seconda media. La ripartizione della superficie avviene in modo direttamente proporzionale al numero di alunni di ciascuna classe. Nella classe $A$ ci sono $24$ alunni, nella classe $B$ ci sono $26$ alunni e la classe $C$ ha un numero di alunni tale che le sono spettati $450$ $m^2$ di orto.

1. Quanti alunni ha la classe $C$?

2. Quale superficie spetta alle classi $A$ e $B$?

Tre soci fondatori di una startup di sviluppo di applicazioni mobili decidono di ripartirsi gli utili netti del primo trimestre in modo direttamente proporzionale al capitale che ciascuno ha conferito alla costituzione della società. Si sa che Anna ha conferito $12\,000$ € e che Bruno ha conferito $18\,000$ €. Nello studio contabile si è smarrito il dato del capitale conferito da Carla, ma si dispone dei seguenti dati della liquidazione:

1. A Bruno sono spettati esattamente $5\,400$ € di utile.

2. Carla ha ricevuto $1\,800$ € di utile in più rispetto ad Anna.

1. a) Trova la costante di proporzionalità diretta $k$ (euro di utile per ogni euro conferito).
2. b) Calcola quanto denaro di utile è spettato ad Anna e quanto a Carla.
3. c) Ricostruisci in modo ragionato la somma esatta di capitale che Carla ha conferito all'inizio dell'impresa.
4. d) Qual è stato l'utile totale che i tre soci si sono ripartiti? Verifica che la somma dei tre utili individuali coincide con il prodotto del capitale totale per la costante $k$.

Un comune destina un fondo di bilancio di $3\,700$ € a tre associazioni di quartiere per progetti di mobilità sostenibile. Per regolamento comunale, ogni associazione riceve prima un contributo fisso individuale di $200$ € per le spese di segreteria e gestione. Il denaro restante del fondo viene ripartito in modo inversamente proporzionale al numero di lamentele dei residenti per rumore e traffico accumulate da ciascun quartiere nel corso dell'anno: Quartiere Nord ($2$ lamentele), Quartiere Centro ($3$ lamentele) e Quartiere Sud ($5$ lamentele).\na) Determina quale somma del fondo comunale viene distribuita mediante ripartizione inversamente proporzionale e calcola l'assegnazione che spetta a ciascun quartiere per questo titolo.\nb) Aggiungi il contributo fisso di segreteria e calcola l'importo totale definitivo che incasserà ciascuna delle tre associazioni.\nc) La portavoce del Quartiere Sud protesta affermando: «Noi abbiamo solo tre lamentele in più del Quartiere Nord, ma loro ricevono più del doppio del denaro rispetto a noi nella ripartizione proporzionale; questa ripartizione è ingiusta». Confuta matematicamente la sua lamentela: analizza il rapporto moltiplicativo tra le lamentele ($5$ rispetto a $2$) e spiega come agisce la proporzionalità inversa nell'assegnazione delle parti.