Esercizi: Proporzionalità diretta

Indica quali delle seguenti coppie di grandezze sono direttamente proporzionali. Giustifica brevemente la risposta:

1. a) Il numero di persone che entrano in un museo e il denaro incassato con i biglietti.
2. b) L'età di una persona e la sua altezza.
3. c) Il peso delle mele che compri e il prezzo totale da pagare.
4. d) La velocità di un'auto e il tempo che impiega a percorrere una distanza fissa.

In un negozio di articoli sportivi, tutte le magliette dello stesso modello hanno un prezzo proporzionale alla quantità acquistata. Copia e completa la seguente tabella sul tuo quaderno e calcola la costante di proporzionalità $k$ (prezzo di una maglietta).

Se un rubinetto versa $15$ litri di acqua ogni $3$ minuti, quanti litri verserà se rimane aperto per $10$ minuti? Risolvilo utilizzando il metodo della riduzione all'unità (calcolando prima quanto versa in un minuto).

Per preparare una torta per $6$ persone servono $300$ grammi di farina. Se vogliamo invitare $15$ persone e far sì che tutti mangino la stessa porzione di torta, quanta farina ci servirà?

Un videogioco occupa $12$ GB di spazio e ha impiegato $8$ minuti a scaricarsi con una connessione stabile. Se il prossimo gioco che vuoi scaricare occupa $18$ GB e la velocità di download è la stessa, quanti minuti impiegherà il download?

Il perimetro di un esagono regolare è direttamente proporzionale alla lunghezza del suo lato. Se un esagono il cui lato misura $4$ cm ha un perimetro di $24$ cm, calcola il perimetro di un altro esagono regolare il cui lato misura $7,5$ cm.

In una pianta di una camera in scala $1:50$, la lunghezza del letto misura $4$ cm. Qual è la misura reale del letto espressa in metri? (Ricorda che la scala $1:50$ significa che $1$ cm nel disegno equivale a $50$ cm nella realtà).

Marta ha pagato $4,50$ € per $3$ scatole di pennarelli per il suo progetto di disegno. Se deve comprare $5$ scatole in più per i compagni di gruppo, quanto le costeranno queste $5$ scatole extra?

Paolo compra arance al mercato del suo quartiere. Sa che $3\text{ kg}$ di arance costano $4,20\text{ €}$ e vuole scoprire quanto costeranno $5\text{ kg}$. Per risolvere, Paolo ragiona così: «Poiché $5$ è uguale a $3 + 2$, al prezzo di $4,20\text{ €}$ devo solo aggiungere $2\text{ €}$, quindi pagherò $6,20\text{ €}$». Individua l'errore nel ragionamento di Paolo, spiega perché il suo metodo non rispetta la definizione di proporzionalità diretta e calcola il prezzo corretto ottenendo prima la costante di proporzionalità diretta $k$ (prezzo al chilogrammo).

In un panificio artigianale di Bologna vendono filoni di pane biologico allo stesso prezzo unitario. Quattro filoni identici costano $5,40\text{ €}$ e vuoi comprare $7$ filoni.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo scritto, fai una stima: ragiona tra quali due numeri interi consecutivi di euro deve collocarsi il prezzo finale dei $7$ filoni e spiega la tua deduzione intuitiva.
2. b) Calcola il costo esatto utilizzando il metodo della riduzione all'unità (prezzo di un solo filone).
3. c) Confronta il risultato esatto con la tua stima iniziale e valuta se la cifra ottenuta è coerente con la situazione proposta.

Una piattaforma di streaming di videogiochi offre un abbonamento premium. Sappiamo che per $4$ mesi di servizio si pagano $35,20$ €.

1. a) Calcola la costante di proporzionalità diretta $k$ (prezzo al mese).
2. b) Completa la seguente tabella di valori:

1. c) Quanti mesi potresti sottoscrivere se disponi di un budget massimo di $100$ €?

Un drone per la sorveglianza forestale vola a velocità costante. Il centro di controllo registra che il drone ha percorso $10,5$ chilometri nei primi $15$ minuti di volo.

1. a) Quale distanza percorrerà il drone se mantiene la stessa velocità per un'ora intera?
2. b) Se il drone deve coprire una distanza totale di $63$ km, quanti minuti impiegherà a completare la missione?

Indica, motivando la risposta, quali delle seguenti coppie di grandezze sono legate da una relazione di proporzionalità diretta:

1. a) Il numero di biglietti per un concerto e il prezzo totale da pagare (senza costi di prevendita fissi).
2. b) L'età di una persona e la sua altezza in centimetri.
3. c) Il peso delle mele comprate sfuse e il costo della spesa.
4. d) La velocità di un'auto e il tempo che impiega a percorrere una distanza fissa.
5. e) Il numero di pagine di un libro e il tempo necessario per leggerlo (supponendo una velocità di lettura costante).

Per preparare un colore arancione specifico, un artista mescola $150$ ml di vernice rossa con $225$ ml di vernice gialla.

1. a) Quanti millilitri di vernice rossa gli serviranno se vuole usare $600$ ml di vernice gialla per ottenere la stessa tonalità?
2. b) Se l'artista decide di creare una miscela totale di $1$ litro ($1000$ ml), quale quantità di ciascun colore deve aggiungere mantenendo la proporzione originale?

Nella pianta di un appartamento realizzata in scala $1:250$, il salotto ha una lunghezza di $3,2$ cm e una larghezza di $2,4$ cm.

1. a) Calcola le dimensioni reali del salotto in metri.
2. b) Calcola l'area reale del salotto in metri quadrati.

Tre fratelli decidono di dividersi i $144$ € ricevuti in regalo dai nonni in modo direttamente proporzionale alle loro età, che sono rispettivamente $10$, $12$ e $14$ anni. Quanto denaro spetta a ciascuno?

Un caricabatterie rapido per smartphone è in grado di caricare il $18\%$ della batteria in soli $12$ minuti. Se la velocità di carica rimane costante:

1. a) Quale percentuale di batteria sarà stata caricata dopo mezz'ora ($30$ minuti)?
2. b) Quanto tempo totale (in minuti e secondi) impiegherà il telefono per passare dal $0\%$ al $100\%$ di carica?

Un'azienda di riciclo paga $0,65$ € per ogni chilogrammo di lattine di alluminio consegnato. Un gruppo di studenti ha raccolto lattine durante il mese e le ha pesate in lotti:

1. a) Quanto denaro riceveranno per un lotto che pesa $8,4$ kg?
2. b) Se alla fine della campagna hanno ottenuto in totale $27,30$ €, quanti chili di alluminio sono riusciti a riciclare in tutto?

Un gruppo scout delle Alpi prepara un'escursione. Secondo i registri del loro capo, il gruppo consuma $15\text{ litri}$ di acqua potabile ogni $6\text{ km}$ percorsi a passo costante. Vogliono prevedere il consumo per due giornate diverse: una tappa pianeggiante di $18\text{ km}$ e una tappa di montagna di $7\text{ km}$.

Si propongono due procedimenti: il Metodo A (riduzione all'unità, calcolando quanti litri consumano per ogni chilometro) e il Metodo B (moltiplicare o dividere direttamente mediante il fattore di scala tra i chilometri noti e quelli da percorrere).

1. a) Per la tappa di $18\text{ km}$, giustifica quale dei due metodi permette di calcolare l'acqua necessaria in modo più rapido e mentale. Trova il risultato con tale metodo.
2. b) Per la tappa di $7\text{ km}$, giustifica quale metodo risulta più chiaro e operativo. Calcola con esso i litri di acqua necessari.
3. c) Quale significato pratico ha la costante di proporzionalità $k = \frac{15}{6}$ in questo contesto e in quali unità si esprime?

Secondo i dati dell'Aeronautica Militare, durante un temporale di intensità regolare nella pianura padana, un pluviometro ha raccolto $14\text{ litri}$ di acqua per metro quadrato in $40\text{ minuti}$.

1. a) Supponendo che la pioggia cada in modo uniforme, verifica che il tempo e la quantità di acqua accumulata sono direttamente proporzionali e scrivi la formula matematica che mette in relazione i litri per metro quadrato raccolti ($y$) in funzione del tempo in minuti ($x$).
2. b) Quanti litri per metro quadrato si accumuleranno dopo $2\text{ ore e mezza}$ di pioggia continua?
3. c) La Protezione Civile emette un'allerta arancione in quella zona se si superano i $40\text{ litri}$ per metro quadrato in un'ora. Con l'intensità registrata in questo episodio, si raggiungerebbe la soglia di allerta arancione al termine di $60\text{ minuti}$? Giustifica la risposta con dei calcoli.

Tre amici decidono di aprire un canale di streaming di videogiochi. Alla fine del primo mese hanno ottenuto un ricavo di $1\,260\text{ €}$ dalla pubblicità. Si accordano per dividere il denaro in modo direttamente proporzionale alle ore che ciascuno ha dedicato a registrare e montare i contenuti.

Marco ha dedicato $12$ ore, Lucia ha dedicato il doppio di Marco, e Sergio ha dedicato tante ore quanto la metà di quelle dedicate da Marco e Lucia insieme. Calcola quanti soldi spettano a ciascuno e determina qual è la costante di proporzionalità $k$ (denaro per ora lavorata).

Un'azienda che produce filamento per stampanti 3D sa che la lunghezza del filo estruso è direttamente proporzionale al tempo di funzionamento della macchina estrusore. Se in $15$ minuti si producono $45$ metri di filo di un determinato spessore:

• a) Quanti chilometri di filo verranno prodotti se la macchina lavora senza interruzione per un'intera giornata lavorativa di $8$ ore?

• b) Se il costo di produzione è di $0,12\text{ €}$ per ogni decametro ($10\text{ m}$) di filo, qual è il valore totale della produzione dopo queste $8$ ore?

Su una mappa escursionistica delle Alpi, la distanza tra due rifugi è di $12,5\text{ cm}$. Sappiamo che la scala della mappa è $1:50\,000$. Due escursionisti decidono di percorrere questo tragitto. Se la loro velocità media è di $4\text{ km/h}$, calcola quanto tempo impiegheranno ad arrivare da un rifugio all'altro, esprimendo il risultato in ore e minuti.

Un comune vuole incentivare l'uso di energie pulite e ripartisce un contributo di $15\,000\text{ €}$ tra tre condomìni che hanno installato pannelli solari. La ripartizione avviene in modo direttamente proporzionale alla superficie di pannelli installata.

Il Condominio A ha installato $120\text{ m}^2$. Il Condominio B ha installato un $25\%$ in più del Condominio A. Il Condominio C ha installato il $60\%$ della somma delle superfici dei condomìni A e B insieme. Calcola quanto denaro riceve ciascun condominio.

Il grafico seguente rappresenta la relazione tra la massa di un metallo prezioso e il suo valore di mercato. Osserva che è una funzione di proporzionalità diretta:

• a) Trova la costante di proporzionalità $k$, che rappresenta il prezzo al grammo.

• b) Se un gioiello contiene un $15\%$ di impurità (massa priva di valore) e pesa in totale $24\text{ g}$, qual è il valore del metallo puro che contiene, in base al grafico?

Per tingere una partita di magliette di cotone, un laboratorio utilizza una miscela di colorante concentrato e acqua. La ricetta indica che per ogni $2,5\text{ litri}$ di acqua bisogna aggiungere $150\text{ ml}$ di colorante.

Se il laboratorio dispone di una vasca della capacità di $60\text{ litri}$ e vuole riempirla mantenendo esattamente la stessa proporzione, quale quantità di colorante concentrato e quale quantità di acqua dovrà miscelare? (Attenzione: il volume finale della vasca è la somma dei due liquidi).

Un faro proietta un'ombra di $18\text{ metri}$ sul terreno. Nello stesso istante, un palo verticale alto $2,5\text{ metri}$ situato vicino al faro proietta un'ombra di $150\text{ cm}$.

• a) Calcola l'altezza del faro.

• b) Se il sole scende e l'ombra del palo aumenta di $30\text{ cm}$, quanto misurerà la nuova ombra del faro?

Una catena di montaggio produce un numero costante di componenti elettronici ogni ora. Si sa che lavorando $5$ giorni per $8$ ore al giorno, sono stati fabbricati in totale $14\,000$ componenti.

Se, a causa di un ordine urgente, devono fabbricare $25\,200$ componenti nei prossimi $6$ giorni, quante ore al giorno dovranno lavorare le macchine per rispettare la scadenza, supponendo che il ritmo di produzione orario non cambi?

Nel laboratorio di scienze si studia la relazione tra la massa ($M$, in grammi) e il volume ($V$, in centimetri cubi) di un liquido sconosciuto mediante provette graduate. Si sa con certezza che le due grandezze sono direttamente proporzionali. Dopo l'esperimento, una parte del quaderno degli appunti si è macchiata d'inchiostro, ma si conservano tre indizi:

1. Aumentando il volume di $15\text{ cm}^3$, la massa aumenta esattamente di $12\text{ g}$.

2. La costante di proporzionalità $k = \frac{M}{V}$ è un numero decimale finito minore di $1$.

3. La somma della massa di $20\text{ cm}^3$ di quel liquido e del volume occupato da $32\text{ g}$ dello stesso liquido è uguale a $56$.

1. a) Deduci il valore esatto della costante $k$ (densità del liquido in $\text{g/cm}^3$) a partire dai dati conservati e dimostra che gli indizi 1 e 3 sono coerenti tra loro.
2. b) Scrivi l'espressione analitica che permette di ottenere la massa in funzione del volume.
3. c) Se disponi di un recipiente che sopporta un carico massimo di $140\text{ g}$, qual è il volume massimo di liquido che puoi versarvi senza superare tale massa?

Il servizio comunale di noleggio di biciclette elettriche di una città italiana applica la seguente tariffa: $1,20\text{ €}$ fissi per sbloccare la bicicletta più $0,15\text{ €}$ per ogni minuto di percorso.

Elena sostiene: «Se per un tragitto di $10\text{ minuti}$ pago $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$, quando pedalerò per il doppio del tempo ($20\text{ minuti}$) dovrò pagare il doppio ($5,40\text{ €}$). Poiché raddoppiando il tempo si raddoppia il costo, le due grandezze sono direttamente proporzionali».

1. a) Calcola il costo reale di un viaggio di $20\text{ minuti}$ e determina se l'affermazione di Elena sul prezzo è corretta.
2. b) Utilizza il rapporto $\frac{\text{prezzo}}{\text{tempo}}$ per $10$ e per $20\text{ minuti}$ e spiega dettagliatamente perché il tempo di utilizzo e il prezzo finale NON sono grandezze direttamente proporzionali, indicando quale elemento della tariffa rompe la proporzionalità e come questo si rifletterebbe nel grafico rispetto a una retta di proporzionalità diretta.
3. c) Modifica il testo originale eliminando o cambiando un solo elemento della tariffa in modo che il prezzo totale diventi direttamente proporzionale al tempo di utilizzo. Indica quale sarebbe la nuova costante di proporzionalità diretta $k$ e quale sarebbe il suo significato nella vita reale.