Esercizi: Proporzione composta

In un negozio di personalizzazione di abbigliamento, $3$ macchine da stampa termica riescono a stampare $120$ magliette lavorando per $4$ ore. Se, a causa di un ordine urgente di una scuola, si mettono in funzione $5$ macchine uguali, quante magliette potranno stampare in $6$ ore?

Un rifugio per animali ha bisogno di $480$ kg di mangime per nutrire $40$ cani per $30$ giorni. Se il rifugio riceve una donazione e aumenta la sua capacità fino a $60$ cani, quanti chili di mangime serviranno per nutrirli per $20$ giorni?

Per caricare i file di un nuovo videogioco su un server, $4$ connessioni in fibra ottica uguali impiegano $15$ minuti per trasferire $120$ GB. Se vogliamo trasferire $200$ GB sullo stesso server usando $5$ connessioni uguali, quanti minuti impiegheranno?

Un gruppo di $6$ amici decide di distribuire volantini della propria squadra locale di e-sports. In $3$ ore sono riusciti a imbucare $450$ volantini. Se sabato prossimo si uniscono al gruppo altri $2$ amici e lavorano per $4$ ore, quanti volantini distribuiranno in totale?

In un impianto di riciclo dell'acqua, $8$ depuratori uguali filtrano $2400$ metri cubi di acqua in un periodo di $5$ giorni. Quanti metri cubi di acqua filtreranno $12$ depuratori se funzionano per $7$ giorni?

Cinque fontane decorative, con la stessa portata, consumano $300$ litri d'acqua se restano accese per $8$ ore. Calcola quanti litri consumeranno $10$ fontane uguali se restano accese solo per $2$ ore.

Un'azienda di corrieri utilizza $4$ furgoni per consegnare $640$ pacchi in $5$ giorni. Se l'azienda decide di noleggiare $2$ furgoni in più per rafforzare il servizio, quanti pacchi potranno consegnare in un periodo di $3$ giorni?

Per illuminare una sala espositiva d'arte per $12$ giorni, $15$ faretti LED a basso consumo hanno generato una spesa di $54$ euro. Quale sarà la spesa di elettricità se si utilizzano $20$ faretti uguali durante un evento che dura $10$ giorni?

Per dipingere le recinzioni di un centro sportivo comunale, una squadra di $3$ persone ha impiegato $8$ giorni lavorando $6$ ore al giorno. Il comune affida un lavoro identico a un'altra squadra formata da $6$ persone che lavoreranno $4$ ore al giorno. Luca ha risolto il problema scrivendo sul quaderno:

«Poiché ci sono il doppio delle persone e meno ore al giorno, imposto la proporzione: $x = 8 \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{4} = 24$ giorni».

1. a) Senza eseguire calcoli numerici, spiega perché un risultato di $24$ giorni è incoerente con il buon senso in questo caso.
2. b) Individua l'errore concettuale commesso da Luca nell'analizzare la relazione di ogni grandezza con il numero di giorni.
3. c) Correggi l'impostazione e calcola il numero esatto di giorni di cui avrà bisogno la nuova squadra per terminare il lavoro.

In un vivaio comunale, $4$ irrigatori uguali hanno irrigato un prato di $600\text{ m}^2$ per $3$ ore consecutive. Gli operai devono ora irrigare un altro prato di $1\,200\text{ m}^2$ utilizzando $6$ irrigatori identici ai precedenti.

1. a) Prima di operare, fai una stima qualitativa: tenendo conto che la superficie da irrigare è esattamente il doppio, ma che si dispone anche di un $50\,\%$ in più di irrigatori, ti aspetti che il tempo necessario sia maggiore, minore o uguale alle $3$ ore iniziali? Giustifica la tua deduzione.
2. b) Classifica ogni grandezza come direttamente o inversamente proporzionale rispetto al tempo, imposta la proporzione composta e calcola con precisione quante ore durerà l'irrigazione del secondo prato.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la stima fatta all'inizio e indica se il risultato conferma la tua deduzione.

Un gruppo di $4$ creatori di contenuti specializzati in viaggi è riuscito a montare $12$ video per il proprio canale lavorando $6$ ore al giorno per una settimana. Se il mese prossimo si aggiungono al team $2$ collaboratori e decidono di lavorare $8$ ore al giorno, quanti video potranno montare nello stesso periodo di tempo?

Per nutrire le $15$ mucche di una fattoria didattica per $12$ giorni sono serviti $540$ kg di mangime. Grazie a un nuovo contributo, la fattoria ha acquistato altre $5$ mucche. Quanti chili di mangime serviranno per nutrire tutti gli animali per $20$ giorni?

Un'azienda di consegne utilizza $8$ droni per distribuire $160$ pacchi in $4$ ore di volo. Se l'azienda decide di aumentare la flotta fino a $10$ droni e vuole consegnare $250$ pacchi, quante ore di volo totali serviranno ai droni per completare il lavoro?

Una squadra di $6$ operai comunali pulisce una superficie di $1500$ $m^2$ di spiaggia in $5$ ore. Per la prossima giornata di pulizia il comune dispone di $8$ operai, ma la zona da pulire è di $2800$ $m^2$. Calcola quanto tempo impiegheranno a terminare il lavoro.

In una fabbrica di componenti elettronici, $5$ macchine identiche producono $2000$ processori funzionando $8$ ore al giorno. A causa di un ordine urgente, la fabbrica deve consegnare $3500$ processori nello stesso numero di giorni. Se si avviano $2$ macchine in più, quante ore al giorno dovranno funzionare tutte le macchine?

Tre rubinetti uguali riempiono un serbatoio di $10$ $m^3$ in $6$ ore. Se vogliamo riempire una vasca di $25$ $m^3$ usando $5$ rubinetti con la stessa portata dei precedenti, quante ore ci vorranno?

Per stampare $1200$ manifesti pubblicitari, $4$ stampanti industriali hanno lavorato per $15$ ore. Se una delle stampanti si guasta e dobbiamo stampare $1800$ manifesti per una nuova campagna, per quante ore dovranno lavorare le stampanti rimanenti?

Una squadra di $12$ archeologi ha scavato un tratto di $60$ metri di un'antica strada romana lavorando $9$ giorni per $7$ ore al giorno. Se si vuole scavare un altro tratto di $80$ metri in $14$ giorni, quante ore al giorno dovranno lavorare se la squadra mantiene lo stesso numero di persone?

Un'azienda di corrieri utilizza furgoni elettrici per distribuire pacchi in città. Durante il turno del mattino, $4$ furgoni hanno consegnato $450$ pacchi lavorando per $6$ ore. Per il pomeriggio si sono accumulati $900$ pacchi che devono essere consegnati in una giornata ridotta di $4$ ore.

Per sapere quanti furgoni attivare di pomeriggio, due membri del team propongono due strategie diverse:

• Sofia propone di applicare direttamente una proporzione composta analizzando i rapporti di proporzionalità diretta o inversa di ogni grandezza rispetto al numero di furgoni.

• Matteo preferisce prima ridurre all'unità: calcolare quanti pacchi consegna un solo furgone in un'ora e, da questo dato, dedurre i furgoni necessari.

1. a) Risolvi il problema seguendo il metodo di Sofia, specificando la classificazione di ogni grandezza e la frazione per cui moltiplichi.
2. b) Risolvi il problema applicando il metodo di Matteo, indicando il significato reale e l'unità di misura di ogni risultato intermedio.
3. c) Analizza entrambi i percorsi: quali vantaggi e svantaggi presenta ciascun metodo e quale ti sembrerebbe più affidabile se il problema coinvolgesse quattro o più grandezze contemporaneamente?

Durante un periodo di allerta per siccità gestito dall'autorità di bacino, la direzione di un campeggio registra il consumo d'acqua delle sue strutture. Secondo le misurazioni, un gruppo di $120$ persone alloggiate per $6$ giorni ha generato un consumo di $32\,400$ litri di acqua potabile. Per il mese di agosto, la previsione di occupazione è di $180$ persone per un'intera quindicina ($15$ giorni).

1. a) Identifica le grandezze del problema e analizza il tipo di relazione di proporzionalità che ciascuna mantiene rispetto al volume d'acqua consumato.
2. b) Se le persone mantenessero esattamente la stessa abitudine di consumo della registrazione precedente, calcola mediante una proporzione composta quanti litri d'acqua si consumerebbero ad agosto.
3. c) Il piano di emergenza comunale impone che in quella quindicina il campeggio non superi un limite rigoroso di $67\,500$ litri in totale. Determina a quanti litri per persona al giorno deve essere limitato il consumo giornaliero per rispettare la norma e calcola quale percentuale di riduzione rispetto al consumo giornaliero iniziale rappresenta tale restrizione.

In un centro di accoglienza per animali si è calcolato che $15$ sacchi di mangime da $20\text{ kg}$ ciascuno bastano per nutrire $40$ cani per $12$ giorni. A causa di una campagna di salvataggio, il numero di cani aumenta di $20$ animali. Se il centro compra sacchi da $30\text{ kg}$ dello stesso mangime, di quanti sacchi avrà bisogno per nutrire tutti i cani per $25$ giorni?

Una squadra di pulizia comunale, composta da $12$ operai, è riuscita a ripulire un'area di $3.600\text{ m}^2$ di bosco in $6$ giorni, lavorando $8$ ore al giorno. Per la prossima settimana il comune deve ripulire una zona di $5.000\text{ m}^2$. Se $3$ operai si sono messi in malattia e non potranno presentarsi, quante ore al giorno dovranno lavorare gli operai rimanenti per finire il lavoro in soli $5$ giorni?

Un data center per videogiochi utilizza $8$ unità di raffreddamento per mantenere la temperatura ottimale di $120$ server in funzione per $24$ ore al giorno, con un costo elettrico di $480\text{ €}$ a settimana. Se l'azienda decide di ampliare la capacità a $200$ server e il prezzo dell'elettricità sale, così che il costo massimo consentito è di $600\text{ €}$, per quante ore al giorno potranno restare accesi i server se si mantengono le stesse $8$ unità di raffreddamento? (Considera che il costo è direttamente proporzionale al numero di server e alle ore di utilizzo).

Per stampare i volantini di un festival musicale, $3$ stampanti industriali che lavorano contemporaneamente impiegano $15$ ore a stampare $4.500$ copie. Una delle stampanti si guasta e deve essere rimossa. Quanto tempo impiegheranno le stampanti rimaste a stampare $6.000$ copie se, per compensare la mancanza della terza macchina, si aumenta la velocità di stampa delle altre due del $25\text{ \%}$? (Suggerimento: pensa a come l'aumento di velocità influisce sul tempo necessario).

Un gruppo di $5$ rubinetti uguali impiega $8$ ore per riempire $3$ serbatoi da $600$ litri ciascuno. Se vogliamo riempire $4$ serbatoi da $900$ litri ciascuno in un tempo massimo di $10$ ore, quanti rubinetti con le stesse caratteristiche dovremo aprire? Se il risultato non è intero, spiega quanti rubinetti dovremmo installare come minimo.

Sei autocisterne da $12.000\text{ L}$ di capacità ciascuna hanno effettuato $4$ viaggi per svuotare un contenitore di rifiuti industriali in $2$ giorni. Se si assumono $2$ autocisterne in più da $15.000\text{ L}$ di capacità ciascuna per un lavoro simile, svuotando un contenitore più grande del $50\text{ \%}$ rispetto al precedente, quanti giorni impiegheranno a completare lo svuotamento se ogni autocisterna effettua $5$ viaggi al giorno?

Un team di $4$ programmatori ha sviluppato un'app per smartphone di $180$ schermate in $15$ giorni, dedicando $6$ ore al giorno ciascuno. Per un nuovo progetto di un'app più complessa di $300$ schermate, l'azienda dispone di $20$ giorni. Se decidono di assumere $2$ programmatori in più e di portare la giornata lavorativa a $8$ ore al giorno, calcola se potranno consegnare il progetto in tempo e quante schermate al giorno in media svilupperà ora il team al completo.

Una fabbrica di calzature sportive ha prodotto $2.400$ paia di scarpe da ginnastica in $10$ giorni lavorando con $12$ macchine automatiche per $16$ ore al giorno. A causa di un ordine urgente di un distributore internazionale, la fabbrica deve produrre $3.600$ paia in soli $8$ giorni. Se sono state acquistate $3$ macchine aggiuntive con le stesse caratteristiche, quante ore di straordinario al giorno, oltre alle $16$ abituali, dovranno funzionare tutte le macchine per rispettare la scadenza?

Nel laboratorio di tecnologia di un istituto, $4$ stampanti 3D in funzione $5$ ore al giorno hanno impiegato $3$ giorni per fabbricare $30$ pezzi identici per un progetto di robotica.

1. a) Per una fiera di divulgazione scientifica occorre fabbricare un lotto di $96$ pezzi uguali. Il dipartimento dispone ora di $6$ stampanti 3D identiche e programma giornate di $4$ ore. Determina quanti giorni interi impiegheranno per avere pronto l'intero lotto.
2. b) Scrivi il testo completo di un problema inverso al punto precedente, in cui l'incognita sia il numero di ore al giorno in cui devono funzionare le $6$ stampanti, fissando come dati noti i giorni ottenuti nel punto (a) e l'obiettivo di fabbricare i $96$ pezzi.
3. c) Supponi che il lavoro del nuovo lotto inizi con le $6$ stampanti a $4$ ore al giorno, ma al termine del quarto giorno di lavoro si guastano $2$ macchine che diventano inutilizzabili. Imposta un'equazione basata sulla proporzionalità composta che permetta di calcolare quante ore al giorno dovranno lavorare le macchine rimaste nei giorni restanti per non ritardare la consegna finale.

In un impianto fotovoltaico, un'impresa di manutenzione impiega $36$ operai organizzati in squadre per sfalciare e ispezionare una superficie di $45\text{ ettari}$ di pannelli, impiegando $10$ giorni con giornate di $8$ ore.

1. a) Per un ampliamento dell'impianto che coprirà $90\text{ ettari}$, l'azienda dispone di un termine di $16$ giorni, ma la giornata lavorativa deve essere limitata a $6$ ore al giorno a causa delle restrizioni di lavoro per l'ondata di caldo. Usa la proporzione composta per dedurre quanti operai devono essere assunti in totale per rispettare il termine previsto.
2. b) Per incentivare la produttività, la direzione ripartisce una gratifica di $21\,600\text{ €}$ tra tre squadre ($A$, $B$ e $C$) secondo due criteri congiunti: il numero di persone della squadra e i giorni lavorati nel mese. La squadra $A$ ha $10$ persone e ha lavorato $18$ giorni; la squadra $B$ ha $12$ persone e ha lavorato $15$ giorni; e la squadra $C$ ha $15$ persone e ha lavorato $12$ giorni. Calcola la somma esatta che riceve ciascuna squadra e giustifica perché il riparto risulta equo nonostante organici e calendari diversi.
3. c) Un supervisore afferma: «Non serve lavorare con quattro grandezze. Poiché giorni e ore al giorno si moltiplicano per dare le ore totali per operaio, possiamo ridurre il problema a sole tre grandezze: operai, ore totali per operaio ed ettari». Dimostra se la sua proposta è matematicamente valida analizzando la relazione di proporzionalità di questa nuova grandezza combinata rispetto al numero di operai.