Esercizi: Radici quadrate

Calcola mentalmente il valore delle seguenti radici quadrate esatte aiutandoti con le tabelline:

1. a) $\sqrt{36}$
2. b) $\sqrt{64}$
3. c) $\sqrt{81}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt{121}$

Associa sul quaderno ogni potenza alla sua radice corrispondente, come nell'esempio:

Esempio: $7^2 = 49 \rightarrow \sqrt{49} = 7$

1. a) $4^2 = 16$
2. b) $9^2 = 81$
3. c) $12^2 = 144$
4. d) $15^2 = 225$

La camera di Lucia ha forma quadrata e una superficie totale di $16$ metri quadrati. Quanto è lunga la parete della sua camera?

Indica tra quali due numeri naturali consecutivi si trovano le seguenti radici quadrate. Osserva l'esempio:

Esempio: $\sqrt{10}$ è compreso tra $3$ e $4$ perché $3^2=9$ e $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{45}$
3. c) $\sqrt{70}$
4. d) $\sqrt{95}$

Applica la proprietà della radice di un prodotto per calcolare le seguenti radici in modo più semplice, come mostrato nel modello:

Modello: $\sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$

1. a) $\sqrt{9 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{4 \cdot 81}$

Osserva il seguente mosaico formato da punti. Quale numero naturale rappresenta il totale dei punti? Qual è la sua radice quadrata?

Risolvi le seguenti espressioni rispettando la priorità delle operazioni:

1. a) $10 + \sqrt{49}$
2. b) $3 \cdot \sqrt{25} - 2^2$
3. c) $\sqrt{64} : 2 + 5$
4. d) $(\sqrt{100} - 4) \cdot 3$

Marco vuole sistemare la sua collezione di $40$ action figure in una vetrina quadrata.

1. a) Qual è il quadrato perfetto più grande che può formare con le sue figure?
2. b) Quante figure gli avanzeranno se forma quel quadrato?
3. c) Quante figure gli mancherebbero per poter formare il quadrato successivo?

Mentre corregge un compito alla lavagna, Marco scrive quanto segue:

«Poiché la radice quadrata di un prodotto si può separare nel prodotto delle radici, con la somma succede esattamente la stessa cosa: $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$».

1. a) Spiega dettagliatamente perché il ragionamento di Marco è sbagliato, senza limitarti a dire che «le regole non lo permettono».
2. b) Calcola il valore vero dell'espressione $\sqrt{64 + 36}$ rispettando la priorità delle operazioni e confrontalo con il risultato di Marco.
3. c) Disegna mentalmente o descrivi una giustificazione geometrica: può un quadrato di area $100\text{ cm}^2$ avere lato $14\text{ cm}$?

Vogliamo trovare la radice quadrata del numero $85$ senza usare la calcolatrice né applicare l'algoritmo tradizionale della radice.

1. a) Stima il valore di $\sqrt{85}$ individuando tra quali due quadrati perfetti consecutivi si trova il radicando $85$, e deduci tra quali due numeri naturali consecutivi è compreso tale valore.
2. b) A partire dalla tua stima precedente, indica qual è la radice quadrata intera $r$ di $85$ e calcola il suo resto $R$.
3. c) Verifica che il tuo risultato sia valido controllando che valga l'uguaglianza $N = r^2 + R$ e assicurandoti che il resto sia strettamente minore del doppio della radice più uno ($R < 2r + 1$).

Un'azienda di logistica vuole immagazzinare $196$ pacchi di forniture mediche in un magazzino a pianta quadrata. Se i pacchi devono essere disposti a formare un quadrato perfetto sul pavimento, quanti pacchi ci saranno su ogni lato? Se poi ricevono altri $30$ pacchi e vogliono formare di nuovo il quadrato più grande possibile, quanti pacchi avanzeranno?

In un videogioco di costruzione, un giocatore dispone di $150$ blocchi di pietra per creare la base di una torre quadrata. Calcola:

1. La lunghezza del lato della base quadrata più grande che può costruire.

2. Il numero di blocchi che gli avanzeranno dopo la costruzione.

Calcola il valore delle seguenti espressioni rispettando la priorità delle operazioni:

1. a) $3 \cdot \sqrt{81} - 2^2 \cdot (10 - \sqrt{49})$

1. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + \sqrt{144} : 3$

Indica, senza usare la calcolatrice, tra quali due numeri naturali consecutivi si trovano le seguenti radici quadrate. Motiva la risposta basandoti sui quadrati perfetti più vicini:

1. a) $\sqrt{45}$

1. b) $\sqrt{115}$

Utilizza le proprietà delle radici per risolvere nel modo più semplice possibile:

1. a) $\sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25}$

1. b) $\sqrt{3600 : 4}$

1. c) $\sqrt{100 \cdot 49}$

Il club di scacchi di una scuola ha $85$ alunni iscritti. Per la foto ufficiale dell'anno, il fotografo vuole disporli a formare un quadrato perfetto.

1. Quanti alunni resteranno fuori dalla foto se si vuole formare il quadrato più grande possibile?

2. Quanti alunni mancherebbero per poter aggiungere una riga e una colonna al quadrato precedente senza che nessuno resti fuori?

Si sa che un numero naturale ha radice quadrata intera uguale a $15$ e il suo resto è il maggiore possibile. Di quale numero stiamo parlando?

(Suggerimento: il resto di una radice non può essere uguale o maggiore di $2 \cdot \text{radice} + 1$).

Mei sta progettando un collage con foto quadrate di $10\text{ cm}$ di lato. Vuole sistemarle su un cartoncino quadrato la cui superficie è di $2500\text{ cm}^2$ senza lasciare spazi tra di esse.

1. Quanto misura il lato del cartoncino?

2. Quante foto di Mei entrano in totale nel cartoncino?

Per calcolare il valore esatto dell'espressione $\sqrt{144 \cdot 25}$, due studenti di seconda media propongono strategie diverse:

• Alessandro esegue prima la moltiplicazione del radicando: $144 \cdot 25 = 3600$, e poi calcola $\sqrt{3600}$.

• Berta applica la proprietà distributiva della radice rispetto al prodotto: $\sqrt{144 \cdot 25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$, e poi moltiplica le radici ottenute.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i procedimenti fino ad arrivare al risultato finale.
2. b) Confronta i due percorsi e giustifica quale risulta più vantaggioso se devi eseguire il calcolo a mente o senza calcolatrice.
3. c) Se l'operazione proposta fosse $\sqrt{144 : 4}$, si potrebbe applicare il metodo di Berta? E se fosse $\sqrt{144 - 64}$? Giustifica in ciascun caso se la proprietà corrispondente è applicabile o no.

In un uliveto di Bitonto (Bari), una cooperativa agricola riceve una fornitura di $750$ piantine di ulivo da disporre in un appezzamento formando una griglia quadrata perfetta (stesso numero di alberi per riga e per colonna).

1. a) Qual è il maggior numero di ulivi che può avere ogni lato della griglia? Quante piantine resteranno da piantare dopo aver formato tale quadrato?
2. b) Per sfruttare le piantine avanzate e non lasciare vuoti, decidono di comprare al vivaio gli alberi strettamente necessari per formare un quadrato con un ulivo in più su ogni riga e su ogni colonna. Quanti ulivi in più devono comprare come minimo?
3. c) Ragiona geometricamente sul perché la quantità di alberi da aggiungere per passare da un quadrato di lato $r$ al quadrato successivo di lato $r + 1$ è sempre uguale a $2r + 1$.

Sapendo che un numero naturale $N$ ha come radice quadrata intera $a = 45$, calcola qual è il valore più grande che può assumere tale numero $N$ e qual è il suo resto in quel caso. Tieni conto della proprietà che lega il resto alla radice intera affinché l'approssimazione sia massima. Nella figura (senza scala esatta negli spazi vuoti) hai il quadrato di lato $a$ e il quadrato successivo, di lato $a+1$.

Un'azienda di logistica vuole organizzare una flotta di $2\,500$ droni in una formazione perfettamente quadrata per uno spettacolo notturno. A causa di un guasto tecnico, il $15\%$ dei droni non può decollare. Calcola:

1. Il lato del quadrato più grande che possono formare con i droni rimasti operativi.

2. Quanti droni avanzano dopo aver formato tale quadrato.

3. Quanti droni operativi in più servirebbero per aggiungere una riga e una colonna al quadrato in modo che resti completo.

Calcola il valore della seguente espressione, prestando attenzione alla priorità delle operazioni e alle proprietà delle radici:

L'area di un giardino quadrato è di $676$ $m^2$. Intorno al giardino si vuole installare una recinzione di sicurezza che costa $12,50$ € al metro lineare. Tuttavia, si deve lasciare un'apertura di $2,5$ metri per una porta su uno dei lati. Calcola il preventivo totale per l'installazione della recinzione.

Trova il valore della cifra $k$ affinché il numero $7\,05k$ sia un quadrato perfetto. Una volta trovata, calcola la radice quadrata di tale numero utilizzando l'algoritmo passo passo. (Suggerimento: il numero è compreso tra $80^2$ e $90^2$).

È stata costruita una piattaforma quadrata unendo pezzi quadrati di plastica di $1$ $dm^2$ ciascuno. Per bordare l'intera piattaforma sono stati utilizzati $156$ pezzi di colore blu (che formano il perimetro esterno largo un pezzo).

1. Qual è l'area totale della piattaforma in $dm^2$?

2. Qual è la radice quadrata esatta di tale area?

Un astronomo osserva una nebulosa la cui superficie apparente nel cielo è approssimativamente circolare. Se l'area calcolata è di $5,76 \cdot 10^{10}$ $km^2$:

1. Esprimi tale quantità in notazione decimale standard.

2. Calcola il raggio di tale nebulosa sapendo che l'area di un cerchio si approssima con la formula $A \approx 3 \cdot r^2$ (utilizzando $\pi \approx 3$ per semplificare).

3. Esprimi il risultato del raggio in notazione scientifica.

Determina, senza usare la calcolatrice e motivando la risposta con il calcolo dei quadrati di numeri vicini, tra quali due numeri decimali consecutivi con una cifra decimale (per esempio $4,4$ e $4,5$) si trova la radice quadrata di $75$.

(Esempio: $\sqrt{20}$ è compreso tra $4,4$ e $4,5$ perché $4,4^2 = 19,36$ e $4,5^2 = 20,25$).

Analizziamo le proprietà della radice quadrata intera e del resto nell'insieme dei numeri naturali.

1. a) Dimostra con un ragionamento perché il resto $R$ della radice quadrata intera $r$ di un numero naturale $N$ non può mai essere maggiore o uguale a $2r + 1$. Aiutati con il calcolo del quadrato perfetto successivo, $(r + 1)^2$.
2. b) Trova tutti i numeri naturali di due cifre ($10 \le N \le 99$) la cui radice quadrata intera sia esattamente uguale al loro resto ($r = R$). Giustifica perché non esistono altre soluzioni oltre a quelle che hai trovato.
3. c) Un numero naturale incognito $N$ ha radice intera $r$ e il suo resto $R$ è il massimo resto possibile per quella radice. Se sappiamo che, sommandogli un'unità, diventa un quadrato perfetto ($N + 1 = 144$), calcola il valore esatto di $N$, la sua radice intera $r$ e il suo resto $R$.

Nell'interporto di Bologna, un'azienda di spedizioni immagazzina pallet quadrati identici sul pavimento formando un grande blocco quadrato compatto di $n$ pallet per lato.

1. a) Dopo aver ricevuto una fornitura di $49$ nuovi pallet, il responsabile verifica che può sistemarli tutti riorganizzando il carico in un nuovo quadrato compatto che ha esattamente una riga e una colonna in più rispetto all'originale (cioè di lato $n + 1$). Imposta l'uguaglianza corrispondente e calcola quanti pallet c'erano inizialmente in magazzino.
2. b) Prendendo come punto di partenza il blocco già ampliato (di lato $n + 1$), vogliono pianificare un futuro ampliamento in modo che il lato diventi di $n + 3$ pallet. Deduci con un ragionamento quanti pallet aggiuntivi dovranno ordinare in totale per riuscirci.
3. c) Se invece di $49$ pallet ne avessero ricevuti soltanto $35$ in più rispetto alla scorta iniziale del punto a), sarebbe stato possibile ampliare il lato del quadrato a $n + 1$? Se non è così, calcola la radice quadrata intera e il resto del nuovo totale di pallet, e spiega che significato pratico hanno entrambi i valori nell'organizzazione del magazzino.