Esercizi: Parametri statistici

Per condurre uno studio sulle abitudini di consumo degli adolescenti su un social network, sono stati analizzati i profili di $50$ studenti di una scuola. Classifica le seguenti variabili statistiche ottenute nello studio come qualitative o quantitative (indicando se sono discrete o continue):

• a) Marca del telefono cellulare utilizzato.

• b) Numero di "mi piace" ricevuti nell'ultimo post.

• c) Tempo totale (in minuti) di utilizzo dell'applicazione durante la giornata.

• d) Tema principale dei video che guarda (sport, umorismo, musica, ecc.).

Un gruppo di amici ha annotato il numero di messaggi WhatsApp non letti a fine giornata. I dati ottenuti sono:

Calcola la moda di questa distribuzione e spiega brevemente che cosa rappresenta questo valore nel contesto dell'esercizio.

La seguente tabella mostra la quantità di libri letti dagli studenti di una classe $2º$ di scuola media durante il primo trimestre:

Calcola la media aritmetica del numero di libri letti per studente.

Sette studenti hanno cronometrato quanto tempo impiegano (in secondi) a risolvere un cubo di Rubik. I tempi registrati sono:

Calcola la mediana di questi tempi. Ricorda che prima devi ordinare i dati.

In un sondaggio sul gusto di gelato preferito nel bar della scuola, sono stati ottenuti i risultati mostrati nel seguente grafico:

A partire dal grafico a barre, individua qual è la moda e calcola il campo di variazione (o intervallo) delle frequenze dei gusti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stata misurata l'altezza (in centimetri) dei sei giocatori titolari di una squadra di pallacanestro scolastica:

Calcola la mediana delle altezze. Poiché il numero di dati è pari, ricorda come devi procedere con i due valori centrali.

Un ragazzo risparmia ogni settimana somme di denaro diverse. Nelle ultime $5$ settimane i suoi risparmi sono stati:

• a) Calcola la media dei suoi risparmi.

• b) Calcola la mediana.

• c) Quale dei due parametri ritieni rappresenti meglio il risparmio "normale" di questo ragazzo? Giustifica la tua risposta menzionando l'effetto del valore $54€$.

Durante una settimana di primavera, la temperatura minima registrata in una città è stata $14\ ^\circ\text{C}$ (lunedì) e la massima $22\ ^\circ\text{C}$ (sabato). Calcola il campo di variazione delle temperature in quel periodo.

Le temperature massime registrate durante una settimana di aprile a Napoli sono state: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ e $21$ °C. Calcola il campo di variazione delle temperature di quella settimana.

Le età dei componenti di un club di robotica sono: $12$, $13$, $12$, $14$, $13$, $12$ e $15$ anni. Calcola la media, la mediana e il campo di variazione delle età.

I voti degli ultimi $5$ compiti di Inglese di Salma sono: $6$, $7$, $8$, $5$ e $9$.

a) Calcola la media dei voti.

b) Calcola lo scarto di ciascun voto rispetto alla media (in valore assoluto) e lo scarto medio.

In due classi di $2.º$ media sono stati annotati i minuti che gli alunni impiegano per arrivare a scuola. In $2.º$ A i tempi vanno da $5$ a $40$ minuti e in $2.º$ B vanno da $15$ a $25$ minuti.

a) Calcola il campo di variazione dei tempi di ciascuna classe.

b) In quale classe i tempi sono più simili tra loro? Perché?

Luca ha annotato i gol segnati dalla sua squadra di calcio a 5 nelle ultime $6$ partite del campionato scolastico: $1$, $5$, $0$, $4$, $2$, $6$.

Per analizzare il rendimento della squadra, Luca afferma sul suo quaderno:

«Poiché ci sono $6$ dati, i due valori centrali sono il $0$ e il $4$. Quindi la mediana è $(0 + 4) / 2 = 2$ gol. Inoltre il campo di variazione è $6 - 1 = 5$ gol perché il $0$ non conta come gol segnato».

a) Trova e spiega in modo motivato i due errori concettuali commessi da Luca.

b) Correggi il suo lavoro calcolando in modo corretto la media aritmetica, la mediana e il campo di variazione dei gol della squadra.

Scrivi un insieme di $5$ numeri interi (che rappresentano il numero di libri letti durante l'ultimo anno da $5$ studenti di $2.º$ media) che soddisfi contemporaneamente tutte queste condizioni:

1. La moda è $3$.

2. La mediana è $4$.

3. La media aritmetica è esattamente $5$.

4. Il campo di variazione dei dati è $6$.

Spiega in dettaglio il ragionamento che hai seguito per dedurre ciascuno dei cinque valori e giustifica se esiste un'unica combinazione possibile di numeri o se potrebbero esserci più soluzioni diverse.

Un gruppo di amici ha annotato il numero di ore settimanali che dedicano ai videogiochi online. I dati ottenuti sono i seguenti:

$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$

Calcola i parametri di centralità: la media aritmetica ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) e la moda ($Mo$).

Un'app per la salute ha registrato i passi giornalieri (in migliaia) di un'adolescente nelle ultime due settimane:

$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$

Rappresenta questi dati in una tabella di frequenze e calcola:

1. a) Il campo di variazione della distribuzione.
2. b) Lo scarto medio ($DM$) rispetto alla media aritmetica.

Durante un allenamento di pallacanestro è stato registrato il numero di tiri da tre punti segnati da ciascun giocatore su 25 tentativi. I risultati sono mostrati nel seguente grafico:

A partire dal diagramma a barre:

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute.
2. b) Calcola la media, la mediana e la moda dei tiri da tre segnati.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stato condotto uno studio sulla durata della batteria (in ore) di due diversi modelli di smartphone, $A$ e $B$, eseguendo 10 prove con ciascuno.

Modello $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$

Modello $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$

1. a) Calcola la media di entrambi i modelli. Cosa osservi?
2. b) Calcola il campo di variazione e lo scarto medio di ciascun modello.
3. c) Se dovessi acquistarne uno in base all'affidabilità della durata, quale sceglieresti e perché?

Di seguito è presentato un diagramma a scatola (box-plot) che rappresenta i voti ottenuti dagli studenti di una classe in una verifica di recupero:

Osserva il grafico e individua i seguenti parametri di posizione:

1. a) Valore minimo e valore massimo.
2. b) Primo quartile ($Q_1$), mediana ($Me$) e terzo quartile ($Q_3$).
3. c) Quale percentuale di studenti ha ottenuto un voto superiore a $8$?

Aisha ha svolto 4 verifiche di Matematica in questo trimestre e i suoi voti sono stati: $6,5$; $8,2$; $7,4$ e $9,1$.

1. a) Qual è la sua media attuale?
2. b) Se manca ancora un'ultima verifica, che voto deve prendere Aisha perché la sua media finale sia esattamente $8,0$?

In un sondaggio sul colore preferito degli studenti di seconda media, sono stati ottenuti i seguenti risultati:

1. a) Che tipo di variabile statistica si sta studiando?
2. b) Calcola, se possibile, la media, la mediana e la moda. Nel caso in cui qualche parametro non si possa calcolare, spiega il perché.

Calcola la media aritmetica e la moda della seguente distribuzione di dati raggruppati in intervalli, che corrispondono al peso (in kg) dei componenti di una squadra di judo:

I gol segnati da una squadra di calcio a 5 nelle ultime $5$ partite sono stati: $2$, $5$, $1$, $4$ e $3$.

a) Calcola la media dei gol per partita.

b) Calcola la varianza e la deviazione standard, arrotondando ai centesimi.

Due giocatori di pallacanestro hanno segnato nelle ultime $6$ partite:

• Giocatore A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ punti

• Giocatore B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ punti

a) Verifica che entrambi i giocatori hanno la stessa media di punti.

b) Calcola il campo di variazione dei punti segnati da ciascuno.

c) L'allenatore ha bisogno di un giocatore dal rendimento regolare per la prossima partita. Quale sceglieresti? Perché?

Due atlete si allenano sui $100$ metri piani e registrano i loro tempi con lo smartwatch. I loro ultimi $5$ tempi, in secondi, sono:

• Mei: $13,2$; $13,0$; $13,1$; $13,2$; $13,0$

• Bea: $12,6$; $13,8$; $12,9$; $13,4$; $12,8$

a) Calcola la media e il campo di variazione dei tempi di ciascuna atleta.

b) Calcola la deviazione standard di ciascuna, arrotondando ai centesimi.

c) L'allenatore deve scegliere una delle due per la finale e cerca regolarità. Chi sceglieresti? Giustifica la risposta.

I voti di $11$ studenti in una verifica sono stati: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ e $10$.

a) Ordina i voti e calcola la mediana.

b) Calcola il primo e il terzo quartile.

c) Tra quali valori si concentra, approssimativamente, il $50\%$ centrale dei voti?

I diagrammi a punti mostrano i punti segnati da due giocatrici nelle loro ultime $6$ partite.

a) Calcola la media dei punti di ciascuna giocatrice.

b) Calcola il campo di variazione di ciascuna.

c) Alla luce dei grafici e dei calcoli, quale delle due è più regolare? Spiega che cosa significa.

Per studiare la dispersione dei suoi voti ($5$, $6$, $7$ e $8$), uno studente sottrae la media a ciascun dato e ottiene: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ e $1,5$. Poiché la somma di queste differenze è $0$, afferma: «La deviazione standard è $0$, quindi i miei voti non sono per niente dispersi».

a) Spiega l'errore che ha commesso nel suo ragionamento.

b) Calcola correttamente la deviazione standard dei quattro voti, arrotondando ai centesimi.

Due giocatrici di pallacanestro di una squadra giovanile, Lucia e Marta, hanno segnato i seguenti punti nelle loro ultime $5$ partite:

• Lucia: $14$, $15$, $16$, $17$, $18$

• Marta: $8$, $12$, $16$, $20$, $24$

a) Verifica rapidamente che entrambe le giocatrici hanno esattamente la stessa media aritmetica di punti.

b) Senza ancora calcolare lo scarto medio ($DM$), osserva la distribuzione dei dati attorno alla media e stima in modo ragionato quale delle due giocatrici avrà un $DM$ maggiore. Quanto pensi, approssimativamente, che valga il $DM$ di ciascuna?

c) Calcola in modo esatto il campo di variazione e lo scarto medio ($DM$) di entrambe le giocatrici.

d) Confronta i tuoi risultati con la stima precedente e spiega quale delle due giocatrici è più regolare. Perché nello sport la media da sola non basta per giudicare la regolarità di un atleta?

A partire dai dati meteorologici registrati in una settimana di primavera, sono state ottenute le seguenti temperature massime giornaliere (in $^\circ\text{C}$) in due città italiane:

• Genova: $15$, $17$, $16$, $18$, $14$

• Firenze: $12$, $29$, $15$, $30$, $24$

a) Calcola per ciascuna delle due città la media aritmetica, la mediana e il campo di variazione delle temperature massime.

b) Calcola lo scarto medio ($DM$) delle temperature di entrambe le località.

c) Interpreta i parametri ottenuti: se una persona deve preparare la valigia per viaggiare quella settimana e le viene comunicata solo la temperatura media, in quale delle due città è più probabile che trovi freddo o caldo imprevisto? Giustifica la risposta indicando quale parametro statistico di dispersione descrive meglio questa situazione.

Un noto streamer sta analizzando le visualizzazioni degli ultimi 5 video. La media delle visualizzazioni dei primi 4 video è di $12\,500$ persone. Se vuole che la media totale dei 5 video salga fino a $15\,000$ visualizzazioni per attirare un nuovo sponsor, quante visualizzazioni deve ottenere, come minimo, con il quinto video? Spiega il procedimento ragionando se è possibile che la mediana delle visualizzazioni sia maggiore della media in questo caso.

In una competizione di E-sports, due squadre, il "Team Alpha" e il "Team Beta", hanno ottenuto i seguenti tempi di risposta (in millisecondi) in una prova di riflessi. I dati sono presentati nei seguenti diagrammi a scatola (Box-plot):

In base ai grafici:

1. a) Quale squadra ha il tempo di risposta mediano più basso?
2. b) Quale delle due squadre è più "regolare" o costante nei riflessi? Giustifica la risposta usando lo scarto interquartile.
3. c) Se per vincere la gara è importante non superare mai i $200$ ms, quale squadra ha le migliori possibilità?

Un gruppo di 10 amici ha un'età media di esattamente $14$ anni. Quando al gruppo si unisce il fratello maggiore di uno di loro, la media sale a $15$ anni.

1. a) Calcola l'età del fratello maggiore.
2. b) Se poi si unisce una bambina di $10$ anni, qual è la nuova media del gruppo di 12 persone?
3. c) È possibile che, dopo l'arrivo della bambina, la mediana del gruppo sia ancora $14$? Fai un esempio delle età dei 10 amici iniziali che soddisfi questa condizione.

È stata condotta un'indagine sul tempo giornaliero (in minuti) che gli adolescenti di una scuola trascorrono sui social network. I dati sono stati raggruppati nella seguente tabella:

Sapendo che il tempo medio di utilizzo è di $57$ minuti:

1. a) Calcola il valore di $x$ (frequenza assoluta dell'intervallo $[60, 90)$).
2. b) Determina la moda (classe modale) e la mediana (classe mediana) della distribuzione.
3. c) Quale percentuale di studenti dedica $90$ minuti o più ai social network?

Due giocatrici di pallacanestro, Lucia e Maria, hanno segnato i seguenti punti nelle loro ultime 6 partite:

• Lucia: $18, 22, 20, 19, 21, 20$

• Maria: $10, 35, 5, 40, 12, 18$

1. a) Calcola la media aritmetica dei punti di ciascuna giocatrice.
2. b) Calcola il campo di variazione e lo scarto medio di entrambe.
3. c) Se l'allenatore cerca una giocatrice affidabile che garantisca un numero costante di punti, anche se non molto alto, chi dovrebbe scegliere? Giustifica la risposta confrontando la loro dispersione.

Il seguente istogramma mostra la distribuzione dei voti ottenuti in una verifica di recupero da 40 studenti. Tuttavia, l'asse delle frequenze è stato cancellato in parte.

Sapendo che il totale degli studenti è $40$ e che le altezze delle barre sono proporzionali alle frequenze:

1. a) Determina la frequenza assoluta di ciascun intervallo.
2. b) Calcola il voto medio stimato utilizzando i valori centrali delle classi.
3. c) Se per essere promossi serve un $5$ e si suppone che i voti siano distribuiti in modo uniforme all'interno di ciascuna classe, quale percentuale stimata di studenti non ha superato la verifica?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si ha un insieme di 5 numeri interi positivi. Si sa che:

• La media è $10$.

• La mediana è $12$.

• La moda è $15$ ed è unica.

• Il campo di variazione è $12$.

Trova i 5 numeri che formano questo insieme. Spiega i passaggi logici che hai seguito per dedurli.

In un'azienda che sviluppa applicazioni, gli stipendi dei 10 dipendenti sono i seguenti: otto dipendenti guadagnano $1\,500\ €$ al mese, il vicedirettore guadagna $4\,000\ €$ e il direttore guadagna $7\,000\ €$.

1. a) Calcola la media, la mediana e la moda degli stipendi.
2. b) Il direttore afferma: "Lo stipendio medio nella nostra azienda è di $2\,300\ €$, siamo molto generosi". Un dipendente risponde: "La maggior parte di noi guadagna solo $1\,500\ €$". Spiega, usando i parametri calcolati, perché entrambi dicono la verità ma danno impressioni così diverse.
3. c) Quale dei tre parametri statistici rappresenta meglio la realtà di ciò che guadagna un lavoratore tipico di quell'azienda? Giustifica la tua scelta.

Luca confronta due app di trasporto per andare a scuola. Negli ultimi $8$ viaggi, i minuti di attesa sono stati:

• App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$

• App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$

a) Calcola l'attesa media di ciascuna app.

b) Calcola la deviazione standard di ciascuna, arrotondando ai centesimi.

c) Se Luca ha a disposizione $10$ minuti precisi ogni mattina, quale app gli consiglieresti? Motiva la risposta usando la media e la dispersione.

I grafici mostrano i punti segnati da due squadre di pallacanestro nelle loro ultime $6$ partite.

a) Calcola la media dei punti di ciascuna squadra.

b) Calcola il campo di variazione e la deviazione standard di ciascuna squadra, arrotondando ai centesimi.

c) Un commentatore afferma: «Le due squadre rendono allo stesso modo, perché hanno la stessa media». Sei d'accordo? Argomenta la risposta usando le misure di dispersione.

Le altezze di $5$ amici sono: $160$, $165$, $170$, $168$ e $162$ cm.

a) Calcola la media e il campo di variazione delle altezze.

b) Un sesto amico si aggiunge al gruppo e la media non cambia. Quanto è alto il nuovo amico?

c) Scrivi due possibili altezze per il nuovo amico che avrebbero fatto aumentare il campo di variazione e calcola il nuovo campo di variazione in ciascun caso.

Il numero di libri letti in questo trimestre dai $20$ studenti di una classe è dato da questa tabella:

a) Calcola la media dei libri letti.

b) Calcola la varianza e la deviazione standard, arrotondando ai centesimi.

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, facendo degli esempi quando serve:

a) Se due insiemi di dati hanno la stessa media, hanno la stessa dispersione.

b) La deviazione standard non può essere negativa.

c) Se tutti i dati di un insieme sono uguali, la sua deviazione standard è $0$.

d) Se aggiungiamo a un insieme un dato uguale alla sua media, il campo di variazione non cambia.

La tabella mostra le temperature medie mensili (in °C) dell'ultimo anno in due città costiere:

a) Calcola la temperatura media annua di ciascuna città.

b) Calcola il campo di variazione delle temperature di ciascuna.

c) Una famiglia vuole trasferirsi in una città «senza temperature estreme». Quale le consiglieresti? Giustifica la risposta con i dati calcolati.

In una piccola azienda di sviluppo software in Italia lavorano $8$ persone. I loro stipendi netti mensili (in euro) sono i seguenti:

L'ultimo stipendio corrisponde alla direttrice generale e fondatrice dell'azienda. La direzione vuole assumere un nuovo programmatore e redigere un'offerta indicando lo «stipendio rappresentativo» del personale.

a) Calcola la media aritmetica, la mediana e la moda dello stipendio dei lavoratori.

b) La direzione propone di pubblicare nell'offerta la media aritmetica, mentre il rappresentante sindacale chiede di pubblicare la mediana. Confronta i due metodi e giustifica in modo critico quale dei due rispecchia meglio lo stipendio tipico della maggior parte dei lavoratori.

c) Se la direttrice decide di aumentarsi lo stipendio il mese prossimo portandolo a $8\,500\text{ \euro}$ mentre gli altri stipendi restano invariati, ragiona senza fare calcoli su quale parametro (tra la media e la mediana) cambierà e quale resterà invariato. Quale proprietà fondamentale della mediana dimostra questa situazione?

In una sperimentazione clinica svolta in un ospedale italiano sono stati misurati i tempi di risposta (in millisecondi) a uno stimolo in un gruppo di $5$ pazienti, ottenendo le seguenti misure:

a) Calcola la media aritmetica $\bar{x}$, il campo di variazione e lo scarto medio ($DM$) di questo gruppo iniziale di pazienti.

b) Verrà aggiunto un sesto paziente alla sperimentazione. Quale valore esatto deve registrare il suo tempo affinché la media aritmetica del gruppo resti invariata a $220\text{ ms}$? Giustifica come lo deduci.

c) Se aggiungiamo questo sesto paziente con il valore ottenuto nel punto b), ragiona se il nuovo scarto medio aumenterà, diminuirà o resterà uguale rispetto a quello iniziale prima di fare il calcolo. Poi calcola il nuovo $DM$ per verificare la tua previsione.

d) Supponi ora che, partendo dai $5$ pazienti originali, vogliamo aggiungere un sesto paziente in modo che il campo di variazione dei tempi aumenti esattamente fino a $35\text{ ms}$. Deduci i due possibili valori che potrebbe avere il tempo di questo sesto paziente perché ciò accada.

Sfida del tema. Come è variata la temperatura massima nella tua provincia nelle ultime due settimane? Diventa un analista climatico ed elabora un vero rapporto meteorologico.

1. Raccolta dei dati: Accedi al sito dell'Aeronautica Militare (o a uno storico meteorologico ufficiale) e annota la temperatura massima giornaliera ($T$) della tua località negli ultimi $14$ giorni. Definisci con precisione la popolazione, il campione e il tipo di variabile statistica.

2. Organizzazione: Costruisci in un foglio di calcolo (o con GeoGebra) una tabella di frequenze completa: frequenze assolute, relative, percentuali e frequenze cumulate.

3. Elaborazione statistica: Realizza il grafico più rappresentativo (diagramma a barre o poligono) e calcola i parametri di centralità e di dispersione: media ($\bar{x}$), mediana ($Me$), moda ($Mo$) e campo di variazione. Esprimi i decimali con la virgola (per esempio, $18,5$ °C).

4. Rapporto finale: Scrivi un breve rapporto ragionato (mezza pagina) in cui analizzi se la media è rappresentativa rispetto ai valori estremi e proponi una misura pratica di risparmio energetico per le famiglie in base ai dati ottenuti.

Verranno valutati:

• Rigore nella definizione dei concetti ed esattezza della tabella di frequenze.

• Calcolo corretto dei parametri statistici ($\bar{x}$, $Me$, $Mo$, campo di variazione) e pertinenza del grafico.

• Capacità critica di interpretare i risultati e di giustificare la proposta finale.