Esercizi: Concetti

Per conoscere qual è il videogioco preferito degli alunni di una scuola di $850$ studenti, è stato somministrato un sondaggio a $40$ alunni scelti a caso durante la ricreazione. Individua i seguenti elementi dello studio:

• Popolazione

• Campione

• Individuo

Classifica le seguenti variabili statistiche in qualitative o quantitative:

1. a) Il colore preferito dei tuoi amici.
2. b) Il numero di messaggi WhatsApp che ricevi al giorno.
3. c) La marca di scarpe da ginnastica che portano gli alunni della tua classe.
4. d) La quantità di denaro che risparmi ogni mese.

Un rifugio per animali vuole realizzare uno studio sulla salute dei suoi cani. Per questo, il veterinario annota il peso di ciascuno dei $35$ cani che vivono lì.

Indica qual è il carattere statistico studiato e classificalo (qualitativo, quantitativo discreto o quantitativo continuo).

Classifica queste variabili quantitative in discrete o continue:

1. a) Il numero di cugini che ha ciascuno studente.
2. b) Il tempo esatto che impieghi per andare da casa a scuola.
3. c) La temperatura di una lattina di bibita all'uscita dal distributore.
4. d) Il numero di libri presenti nella biblioteca della tua classe.

In un sondaggio svolto in una classe di $25$ alunni su quale social network preferiscono (TikTok, Instagram o Twitter), sono state ottenute le seguenti risposte:

Social network	Numero di alunni
TikTok	$12$
Instagram	$9$
Twitter	$4$

Come si chiama il valore che si ripete più volte in questo studio? Indica qual è tale valore in questo sondaggio.

Si vuole realizzare uno studio per conoscere il gusto di gelato preferito dagli abitanti di una città di $50.000$ persone. Per farlo, si chiede ai primi $100$ clienti che entrano in una gelateria del centro un lunedì mattina.

Pensi che questo campione sia rappresentativo di tutta la popolazione della città? Motiva brevemente la tua risposta.

Osserva i seguenti caratteri statistici relativi a un viaggio di istruzione e classificali:

1. Paese di destinazione.

2. Numero di giorni di durata.

3. Distanza percorsa in chilometri.

4. Grado di soddisfazione (Molto basso, Basso, Medio, Alto).

Se in uno studio statistico la popolazione è formata da tutte le auto di una città e la variabile è il "colore dell'auto", individua:

1. a) L'individuo.
2. b) Il tipo di variabile (qualitativa o quantitativa).
3. c) Proponi tre valori possibili che questa variabile può assumere.

Ugo ha classificato quattro variabili statistiche raccolte tra i suoi compagni di $2.º$ media, ma ha commesso un errore concettuale in ciascuna di esse:

1. Taglia della maglietta ($\text{XS}$, $\text{S}$, $\text{M}$, $\text{L}$, $\text{XL}$): «È quantitativa continua perché le misure del corpo aumentano progressivamente».

2. Numero di fratelli: «È qualitativa ordinale perché i fratelli si possono ordinare dal maggiore al minore».

3. Tempo giornaliero impiegato per arrivare a scuola: «È quantitativa discreta perché diciamo sempre minuti interi, come $15$ minuti o $20$ minuti».

4. CAP del domicilio: «È quantitativa discreta perché è formato da un numero di $5$ cifre».

Per ciascuna delle quattro variabili:

1. a) Spiega con chiarezza qual è l'errore di ragionamento commesso da Ugo.
2. b) Scrivi la classificazione corretta e giustificala usando le definizioni di variabile qualitativa (nominale od ordinale) e quantitativa (discreta o continua).

Una rivista per ragazzi vuole realizzare un reportage sul tempo libero e sulle abitudini di vita degli adolescenti della tua città. Per questo, ti chiedono di ideare tu le domande del sondaggio.

1. a) Scrivi una variabile statistica diversa per ciascuna delle seguenti quattro condizioni:

• Variabile A: deve essere qualitativa nominale.

• Variabile B: deve essere qualitativa ordinale.

• Variabile C: deve essere quantitativa discreta.

• Variabile D: deve essere quantitativa continua.

1. b) Per la variabile quantitativa continua che hai proposto, indica tre possibili valori numerici che potrebbe rispondere uno studente e spiega perché non avrebbe senso considerarla discreta.
2. c) Definisci con precisione chi costituirebbe la popolazione di questo studio e chi sarebbe un individuo.

Il comune di una città vuole conoscere le abitudini di svago digitale degli adolescenti tra i 12 e i 16 anni. Per farlo, seleziona a caso 400 alunni di tre scuole diverse e chiede loro quante ore al giorno trascorrono in media sui social network (TikTok, Instagram, ecc.).

Indica i seguenti elementi dello studio statistico:

1. a) La popolazione.
2. b) Il campione.
3. c) L'individuo.
4. d) Il carattere statistico studiato e la sua classificazione.

In un canile hanno registrato l'età (in anni) dei cani che sono stati adottati nell'ultimo mese. I dati ottenuti sono i seguenti:

$$2, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 2, 3$$

Costruisci una tabella delle frequenze che comprenda:

• Variabile ($x_i$)

• Frequenza assoluta ($n_i$)

• Frequenza relativa ($f_i$)

• Frequenza assoluta cumulata ($N_i$)

• Percentuale ($\%$)

Osserva il seguente grafico che rappresenta il numero di libri letti da un gruppo di alunni durante le vacanze estive:

A partire dal grafico precedente, rispondi:

1. a) Quanti alunni sono stati intervistati in totale?
2. b) Qual è il valore della variabile più frequente? Come si chiama questo indice?
3. c) Quale percentuale di alunni ha letto esattamente 2 libri?

In un club di e-sports è stato misurato il tempo di reazione (in millisecondi) dei suoi giocatori. Poiché si tratta di una variabile continua, i dati sono stati raggruppati nei seguenti intervalli:

Tempo (ms)	Frequenza ($n_i$)
$[150, 170)$	$6$
$[170, 190)$	$12$
$[190, 210)$	$18$
$[210, 230)$	$4$

1. a) Calcola i valori centrali di ciascun intervallo.
2. b) Rappresenta i dati con un istogramma.
3. c) In quale intervallo si trova il tempo di reazione della maggior parte dei giocatori?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Uno studente ha ottenuto i seguenti voti nelle verifiche di matematica del secondo quadrimestre:

$$7,5; \quad 8,2; \quad 9,0; \quad 2,1; \quad 8,7$$

1. a) Calcola la media aritmetica ($\bar{x}$) e la mediana ($Me$).
2. b) Se l'insegnante decide che il voto del quadrimestre sia la mediana anziché la media, affinché una "giornata no" non penalizzi troppo, quale sarebbe il suo voto?
3. c) Spiega perché la mediana è, in questo caso, più rappresentativa della media.

In una classe seconda media è stato realizzato un sondaggio sul tipo di musica preferito in base al sesso. I risultati sono mostrati in questa tabella a doppia entrata:

	Pop	Rock	Trap	Totale
Ragazze	$8$	$3$	$4$	$15$
Ragazzi	$5$	$6$		$15$
Totale		$9$		30

1. a) Completa i dati mancanti nella tabella.
2. b) Quale percentuale del totale della classe preferisce il Rock?
3. c) Se scegliamo un ragazzo a caso, qual è la probabilità che la sua musica preferita sia il Pop? Usa la definizione classica di probabilità.

Due squadre di pallacanestro hanno segnato i seguenti punti nelle ultime 5 partite:

• Squadra A: $72, 75, 74, 73, 76$

• Squadra B: $50, 95, 60, 110, 55$

1. a) Calcola la media e il campo di variazione di entrambe le squadre.
2. b) Osservando i risultati, quale delle due squadre è più regolare nei punteggi? Giustifica la tua risposta collegando la media alla dispersione dei dati.

In uno studio sul colore degli occhi degli alunni di una scuola sono stati ottenuti i seguenti dati:

Colore	$n_i$
Castani	$120$
Azzurri	$30$
Verdi	$50$

1. a) Che tipo di variabile è "Colore degli occhi"?
2. b) Si può calcolare la media di questi dati? Perché?
3. c) Se volessimo rappresentare questi dati con un diagramma a torta, calcola l'ampiezza dell'angolo al centro (in gradi) che corrisponderebbe al settore degli "Occhi verdi".

In un ospedale di zona che serve $35\,000$ persone si prevedono due diverse indagini statistiche:

• Studio 1: Verificare il funzionamento, la taratura e la disinfezione dei $18$ respiratori meccanici del reparto di terapia intensiva.

• Studio 2: Conoscere il grado di soddisfazione generale degli utenti per il servizio di pronto soccorso nell'arco di un intero anno.

1. a) Per ciascuno dei due studi, scegli motivando se si debba effettuare un censimento o selezionare un campione. Confronta in ogni caso fattori come la dimensione del gruppo, il costo, il tempo necessario e il rischio di omettere elementi.
2. b) Se nello Studio 2 si decidesse di selezionare un campione di $200$ pazienti intervistando soltanto chi esce dal pronto soccorso un martedì tra le $10:00$ e le $13:00$, spiega perché questo metodo di selezione non darebbe un campione rappresentativo e quali gruppi di pazienti verrebbero esclusi o sottorappresentati.

In una scuola secondaria sono iscritti $500$ studenti così ripartiti: $150$ in $1.º$ media, $125$ in $2.º$ media, $125$ in $3.º$ media e $100$ in $4.º$ media. Il Consiglio d'Istituto vuole realizzare un sondaggio sul cibo della mensa selezionando un campione rappresentativo di $40$ studenti.

Il rappresentante d'istituto propone di selezionare a caso esattamente $10$ alunni per ogni classe affinché «tutti i livelli abbiano la stessa voce».

1. a) Stima: prima di eseguire calcoli esatti, spiega se la proposta del rappresentante rappresenta in modo equo tutta la popolazione della scuola o se favorisce gli studenti di qualche classe rispetto ad altre.
2. b) Verifica: calcola quanti alunni di ciascuna classe dovrebbero essere selezionati esattamente affinché il campione sia proporzionale al numero reale di studenti di ciascun livello.
3. c) Valuta: a partire dai risultati numerici ottenuti, spiega se la tua stima iniziale era corretta e spiega quale problema metodologico presenta la ripartizione proposta dal rappresentante.

Il comune di una città vuole realizzare un'indagine sull'uso della pista ciclabile tra i giovani. Per farlo, seleziona $450$ studenti di tre istituti diversi in modo proporzionale al numero totale di alunni di ciascuna scuola. Nell'Istituto A ci sono $600$ alunni, nell'Istituto B ci sono $400$ alunni e nell'Istituto C ci sono $500$ alunni.

1. a) Indica qual è la popolazione, qual è il campione e qual è l'individuo in questo studio statistico.
2. b) Quanti alunni devono essere selezionati da ciascun istituto affinché il campione sia rappresentativo e proporzionale?
3. c) Classifica il carattere «tempo giornaliero (in minuti) in cui ciascun giovane usa la bicicletta» in base alla sua natura.

Una piattaforma di streaming analizza i dati dei suoi utenti adolescenti per migliorare il proprio algoritmo. Classifica le seguenti variabili raccolte nello studio:

1. a) Numero di dispositivi collegati contemporaneamente in casa.
2. b) Genere cinematografico preferito (horror, commedia, azione, ecc.).
3. c) Tempo totale (in ore e minuti) di visione settimanale.
4. d) Valutazione assegnata a una serie (1 stella, 2 stelle, 3 stelle, 4 stelle o 5 stelle).
5. e) Marca del dispositivo principale usato per guardare i contenuti.

Stabilisci se qualcuna di queste variabili quantitative potrebbe essere trattata come qualitativa in un determinato contesto.

È stata condotta un'indagine sul numero di ore di sonno degli alunni di seconda media in un giorno feriale. Disponiamo dei seguenti dati incompleti della tabella delle frequenze, dove $x_i$ è il numero di ore, $n_i$ la frequenza assoluta, $h_i$ la frequenza relativa e $H_i$ la frequenza relativa cumulata:

$x_i$	$n_i$	$h_i$	$H_i$
6	4		0,16
7		0,24
8	10
9
10	2		1,00

1. a) Calcola la dimensione totale del campione ($N$).
2. b) Completa tutte le caselle vuote della tabella delle frequenze.
3. c) Quale percentuale di alunni dorme 8 ore o più?

Il seguente istogramma rappresenta il tempo (in minuti) che gli alunni impiegano per arrivare da casa a scuola. I dati sono stati raggruppati in intervalli della forma $[a, b)$.

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute a partire dal grafico, individuando i valori centrali di ciascun intervallo.
2. b) Calcola il tempo medio che gli alunni impiegano per arrivare a scuola utilizzando i valori centrali delle classi.
3. c) In quale intervallo si trova la mediana dei dati? Spiega il tuo ragionamento.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La media aritmetica dei voti di un gruppo di 12 alunni in un compito di matematica era $6,5$. Dopo aver rivisto i compiti, l'insegnante si accorge di aver commesso un errore con due alunni: a uno aveva assegnato $4$ mentre in realtà aveva $7$, e a un altro aveva assegnato $9$ mentre in realtà aveva $6$.

1. a) Qual è la somma totale dei voti dei 12 alunni prima della correzione?
2. b) Qual è la nuova media aritmetica del gruppo dopo aver corretto gli errori?
3. c) Possiamo sapere se la mediana è cambiata con questi dati? Giustifica la tua risposta.

Osserva i due grafici seguenti che rappresentano l'andamento del prezzo di un modello di scarpe da ginnastica in due negozi diversi durante lo stesso periodo di 4 mesi.

1. a) Spiega perché il grafico del Negozio B sembra mostrare un aumento di prezzo molto più brusco rispetto a quello del Negozio A, anche se i dati reali dei prezzi sono identici in entrambi.
2. b) Come si chiama questo effetto visivo in statistica e perché è considerato una pratica ingannevole?
3. c) Ridisegna mentalmente (o descrivi) come dovrebbe essere l'asse verticale del Negozio B affinché il confronto sia oggettivo.

In un concorso di talenti, un partecipante riceve i seguenti punteggi da 5 giurati: $8, 7, 9, 8$ e un quinto voto sconosciuto ($x$).

1. a) Se la media dei cinque voti è $8,2$, qual è il punteggio del quinto giurato?
2. b) Se il regolamento del concorso prevede che per calcolare il voto finale si eliminino il punteggio maggiore e quello minore e si faccia la media dei tre restanti, quale sarebbe il voto finale del partecipante con il valore di $x$ trovato prima?
3. c) Come cambierebbe la mediana dei cinque voti originali se il quinto giurato avesse assegnato $10$ invece del valore $x$?

Uno studio sul tempo libero digitale negli adolescenti di 13 anni fornisce i seguenti dati sul numero di ore giornaliere trascorse davanti a uno schermo:

$$3, 5, 2, 4, 3, 2, 8, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 3, 10, 2, 3, 4, 1$$

1. a) Calcola i tre indici di posizione centrale: media, mediana e moda.
2. b) Osservando i valori della media e della mediana, diresti che la distribuzione è simmetrica o che ci sono valori estremi che spostano la media? Giustifica la tua risposta indicando tali valori.
3. c) Se eliminiamo i due utenti con il maggior numero di ore, quale sarebbe la nuova mediana? Spiega se questo indice è sensibile ai valori estremi allo stesso modo della media.

L'Assessorato all'Istruzione di una regione vuole modellizzare il tempo che gli studenti della scuola secondaria dedicano agli schermi e allo studio. In tale regione ci sono $120\,000$ alunni di scuola media, iscritti a tre tipi di scuole: scuole statali ($65\,\%$), paritarie ($30\,\%$) e private ($5\,\%$). Si decide di estrarre un campione di $1\,200$ studenti.

1. a) Modella il disegno campionario: definisci la popolazione, l'individuo e calcola quanti alunni devono essere selezionati da ciascun tipo di scuola affinché il campione sia rappresentativo e proporzionale alla realtà scolastica.
2. b) Proponi quattro domande per il questionario che raccolgano, rispettivamente: una variabile qualitativa nominale, una qualitativa ordinale, una quantitativa discreta e una quantitativa continua legate all'oggetto dello studio. Giustifica la classificazione di ciascuna variabile.
3. c) Un tecnico propone di ridurre i costi inviando un link al questionario tramite i social network e analizzando le prime $1\,200$ risposte che arrivano volontariamente. Spiega due motivi matematici o statistici per cui questo campione non sarebbe più rappresentativo e produrrebbe distorsione nei risultati.

Il comitato organizzatore di alcune olimpiadi scolastiche di matematica svolte in una provincia pubblica una relazione con i seguenti tre dati su uno studio interno:

1. È stato effettuato un censimento e non un campionamento, anche se hanno partecipato alunni di $15$ scuole diverse.

2. La variabile $X$ analizzata era quantitativa continua e i valori ottenuti variavano tra $42,5$ e $118,4$.

3. La variabile $Y$ analizzata era qualitativa ordinale e nessun individuo ha raggiunto la categoria più alta possibile.

1. a) Ricostruisci un contesto reale e coerente per questo studio: definisci chi è la popolazione, chi è l'individuo e che cosa potrebbero misurare esattamente le variabili $X$ e $Y$ affinché le tre affermazioni siano vere contemporaneamente.
2. b) Spiega perché in questa situazione concreta è stato possibile effettuare un censimento invece di prendere un campione, e che cosa cambierebbe se l'obiettivo fosse conoscere le stesse variabili per tutti i giovani della provincia.
3. c) Un quotidiano provinciale titola: «I giovani della provincia ottengono un punteggio medio notevole nel ragionamento logico». Individua il grave errore concettuale che commette il giornalista confondendo la popolazione studiata nel censimento con la popolazione generale dei giovani, e spiega quale distorsione invalida questa conclusione.