Esercizi: Frazione generatrice di un numero decimale

Classifica i seguenti numeri in decimali finiti, periodici semplici o periodici misti. Poi indica per ciascuno la parte intera e, se ci sono, il periodo e l'antiperiodo.

1. a) $2,75$

1. b) $1,\widehat{6}$

1. c) $0,1\widehat{25}$

1. d) $34,\widehat{09}$

Calcola la frazione generatrice di questi decimali finiti. Non dimenticare di semplificare la frazione fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.

1. a) $0,8$
2. b) $1,25$
3. c) $0,064$
4. d) $12,5$

Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali periodici semplici:

1. a) $0,\widehat{4}$
2. b) $0,\widehat{15}$
3. c) $2,\widehat{3}$
4. d) $1,\widehat{72}$

Esprimi sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini i seguenti decimali periodici misti:

1. a) $0,1\widehat{6}$
2. b) $1,2\widehat{3}$
3. c) $0,0\widehat{5}$
4. d) $2,1\widehat{45}$

Uno smartwatch indica che hai completato il $0,65$ del tuo obiettivo giornaliero di passi, come mostra l'anello in figura. Quale frazione del totale dei passi rappresenta questa quantità? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Ieri ha piovuto molto e il pluviometro della scuola ha raccolto un totale di $3,\widehat{3}$ litri per metro quadrato. Come esprimeresti questa quantità esatta di acqua usando una frazione?

Amina e Marco stanno confrontando quanto sono avanzati nella lettura di un libro. Amina dice di aver letto $\frac{3}{4}$ del libro, e Marco dice di aver letto $0,75$ parti.

Calcola la frazione generatrice del numero di Marco e verifica se hanno davvero letto la stessa quantità.

Calcola il risultato della seguente operazione trasformando prima i numeri decimali in frazione generatrice e operando poi:

Per trovare la frazione generatrice del numero decimale periodico misto $0,2\widehat{5}$, Marco scrive alla lavagna il seguente procedimento:

Quando l'insegnante glielo chiede, Marco si giustifica dicendo: «Il numeratore è la sottrazione tra le cifre senza virgola e la parte non periodica, e al denominatore metto due nove perché dopo la virgola ci sono in tutto due cifre decimali».

1. a) Spiega in modo ragionato quale errore concettuale ha commesso Marco nel determinare il denominatore della frazione.
2. b) Scrivi la regola corretta per questo tipo di numeri e calcola la frazione generatrice ridotta ai minimi termini di $0,2\widehat{5}$.
3. c) Verifica che il tuo risultato sia corretto eseguendo a mano la divisione del tuo numeratore per il tuo denominatore fino a ottenere almeno tre cifre decimali.

Si vuole calcolare il valore esatto della seguente somma di numeri decimali periodici semplici:

1. a) Senza usare carta e penna per operare, fai una rapida stima mentale del risultato arrotondando ogni addendo ai decimi (una sola cifra decimale). Quale valore approssimato ottieni?
2. b) Determina la frazione generatrice di ciascuno dei due addendi e sommale per ottenere il risultato esatto sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.
3. c) Scrivi il risultato esatto come numero intero o decimale. Confrontalo con la tua stima del punto a) e spiega perché in matematica è indispensabile usare le frazioni generatrici quando si opera con infinite cifre decimali periodiche.

In un popolare videogioco di strategia, la velocità di attacco di un eroe aumenta di un fattore $1,75$ e la sua difesa viene moltiplicata per $0,\hat{6}$. Per eseguire calcoli precisi nel motore del gioco, i programmatori devono lavorare con le frazioni. Ottieni le frazioni generatrici ridotte ai minimi termini di entrambi i numeri per aiutarli.

Osserva la seguente retta numerica in cui sono stati segnati due punti, $A$ e $B$. Il punto $A$ rappresenta il numero decimale $0,8\hat{3}$ e il punto $B$ rappresenta il numero $1,\hat{2}$.

Calcola la frazione generatrice di ciascun punto e trova la distanza esatta tra $A$ e $B$ espressa come un'unica frazione ridotta ai minimi termini.

Uno "streamer" di Twitch ha calcolato che la durata media dei suoi abbonamenti è di $2,41\hat{6}$ mesi. Se vuole esprimere questo tempo in modo esatto per il suo rapporto trimestrale:

1. Individua di che tipo di numero decimale si tratta.

2. Calcola la sua frazione generatrice seguendo i passaggi del metodo delle potenze di 10.

3. Semplifica la frazione fino a renderla ridotta ai minimi termini.

In una lezione di Educazione fisica, tre alunni hanno cronometrato quanto impiegano a percorrere 100 metri piani. I tempi ottenuti sono:

• Sara: $12,5$ secondi.

• Ivan: $12,\hat{5}$ secondi.

• Kenia: $12,0\hat{5}$ secondi.

Esprimi il tempo di ciascun alunno sotto forma di frazione generatrice ridotta ai minimi termini e ordinali dal più veloce al più lento.

Calcola il valore della seguente espressione in modo esatto. Per farlo, devi prima trasformare ogni numero decimale nella rispettiva frazione generatrice ridotta ai minimi termini:

L'archivio di un'app di messaggistica occupa attualmente $3,875$ GB della memoria di un telefono. L'utente decide di cancellare dei file e libera uno spazio equivalente a $1,\hat{45}$ GB.

1. Calcola la frazione generatrice dello spazio inizialmente occupato.

2. Calcola la frazione generatrice dello spazio liberato.

3. Quale frazione di GB rimane occupata nel telefono? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Un giovane grafico sta creando un logo basato su cerchi concentrici. Il raggio del cerchio interno deve essere esattamente $\frac{7}{9}$ del raggio del cerchio esterno. Se il raggio del cerchio esterno misura $4,5$ cm:

1. Esprimi il raggio del cerchio interno come numero decimale finito.

2. Se l'area del cerchio esterno si calcola come $A = \pi \cdot r^2$, e usiamo l'approssimazione $\pi \approx 3,14$, calcola l'area del cerchio piccolo usando sempre la frazione generatrice per ottenere la massima precisione possibile.

Si dice che un numero è "curioso" se, sommando le cifre del numeratore e del denominatore nella frazione generatrice ridotta ai minimi termini, si ottiene lo stesso valore. Verifica se i numeri $0,4\hat{6}$ e $1,\hat{3}$ sono numeri "curiosi" calcolando le loro frazioni generatrici.

Trova la frazione generatrice del numero decimale periodico semplice $12,\widehat{3}$. Per farlo, segui il metodo algebrico: chiama $x$ il numero e moltiplicalo per la potenza di 10 adeguata, in modo da sottrarre le espressioni ed eliminare la parte decimale. Non dimenticare di semplificare il risultato.

Associa nel quaderno ogni numero decimale alla sua frazione generatrice ridotta ai minimi termini. Fai attenzione: c'è una frazione che non corrisponde a nessuno dei numeri:

Un sarto deve comprare della stoffa per confezionare dei costumi. Il modello richiede esattamente $2,0\widehat{4}$ metri di stoffa blu. Nel negozio i tagli di stoffa si vendono solo in misure frazionarie. Quale dei seguenti tagli deve scegliere il sarto se vuole la misura esatta?

1. a) $\frac{202}{99}$ metri.
2. b) $\frac{37}{18}$ metri.
3. c) $\frac{92}{45}$ metri.

Osserva la seguente retta numerica su cui sono stati segnati tre punti: $A$, $B$ e $C$. Il punto $B$ rappresenta il numero decimale $1,2\widehat{7}$. Trova la sua frazione generatrice ridotta ai minimi termini e stabilisci tra quali due numeri interi si trova questo punto.

Nella bolletta dell'acqua di un comune italiano, il contatore telematico di un'abitazione ha registrato un consumo bimestrale di $12,8\widehat{3}\text{ m}^3$. La tariffa del comune stabilisce un prezzo di $1,80\text{ €}$ per ogni metro cubo consumato, a cui si aggiunge una quota fissa di servizio di $5,50\text{ €}$.

1. a) Perché la bolletta non contenga errori dovuti all'arrotondamento di cifre infinite, il sistema informatico deve convertire la lettura del contatore nella sua frazione generatrice. Trova tale frazione ridotta ai minimi termini, in metri cubi.
2. b) Esprimi il prezzo del metro cubo ($1,80\text{ €}$) come frazione ridotta ai minimi termini e calcola il costo esatto del consumo di acqua (senza la quota fissa) moltiplicando le due frazioni.
3. c) Aggiungi la quota fissa per ottenere l'importo totale esatto della bolletta.
4. d) Se l'azienda avesse approssimato il consumo a due cifre decimali ($12,83\text{ m}^3$), quale sarebbe stato l'importo finale addebitato? Ne avrebbe beneficiato la famiglia o l'azienda fornitrice? Giustifica la risposta calcolando la differenza esatta.

Si cerca un numero decimale periodico semplice $D = 0,\widehat{a}$ (dove $a$ è una cifra da $1$ a $9$) che soddisfi la seguente condizione: moltiplicandolo per il decimale finito $1,5$ e sommando poi la frazione $\frac{1}{6}$, si ottiene esattamente il numero intero $1$.

1. a) Scrivi la frazione generatrice del numero $D$ in funzione dell'incognita $a$.
2. b) Converti il numero decimale finito $1,5$ in frazione ridotta ai minimi termini e imposta un'equazione, con tutte le frazioni generatrici, che traduca il testo.
3. c) Risolvi l'equazione per trovare il valore della cifra $a$ e scrivi il numero decimale periodico $D$ cercato.
4. d) Verifica il risultato sostituendo il valore trovato nell'operazione originale e risolvendola passo dopo passo.

Calcola il valore esatto della seguente espressione. Per evitare errori di approssimazione, trasforma ogni numero decimale nella rispettiva frazione generatrice prima di operare e semplifica il risultato fino a ottenere una frazione ridotta ai minimi termini:

Un giovane programmatore sta progettando un videogioco e deve definire la probabilità che compaia un oggetto raro. Il codice richiede che la probabilità venga inserita come frazione ridotta ai minimi termini, ma il motore grafico restituisce il valore in formato decimale periodico misto: $P = 0,02\widehat{45}$.

Trova la frazione generatrice che il programmatore deve inserire e giustifica se tale probabilità è maggiore o minore di $\frac{1}{40}$.

In uno scavo archeologico nell'antico Egitto è stata trovata una piastrella quadrata la cui superficie misura esattamente $5,4\widehat{4}$ decimetri quadrati. Gli archeologi devono conoscere la misura del lato della piastrella per ricostruire il mosaico originale.

Determina la lunghezza del lato in forma di frazione e, successivamente, calcola il perimetro della piastrella esprimendolo come numero decimale.

Trova una cifra $x$ affinché il numero decimale periodico semplice $0,\widehat{x7}$ abbia come frazione generatrice un'espressione il cui denominatore semplificato sia $33$. Esiste più di una soluzione? Giustifica la risposta analizzando la somma delle cifre del numeratore.

Un drone di sorveglianza percorre una distanza di $14,2\widehat{7}$ chilometri in un tempo di $0,3\widehat{8}$ ore. Per calcolare la velocità media con totale precisione (senza arrotondare nei passaggi intermedi), il sistema di controllo deve operare con le frazioni.

Calcola la velocità media del drone in km/h usando le frazioni generatrici. Esprimi il risultato finale come numero intero o come frazione ridotta ai minimi termini.

Due serbatoi di prodotti chimici contengono miscele diverse. Il primo contiene $2,1\widehat{6}$ litri di un reagente e il secondo $1,8\widehat{3}$ litri. Se mescoliamo i due contenuti in un terzo recipiente e, a causa dell'evaporazione, si perde un quarto del totale della miscela:

1. a) Quale volume di liquido rimane nel recipiente? (Usa le frazioni generatrici per il calcolo).
2. b) Il risultato è un decimale finito o periodico?

Sappiamo che nel sistema di numerazione decimale il numero $0,\widehat{9}$ è uguale a $1$. Dimostralo usando l'algoritmo della frazione generatrice.

Poi usa la stessa logica per ragionare a quale numero decimale finito equivale il decimale periodico misto $4,2\widehat{9}$ e verifica la tua risposta eseguendo la somma $4,2 + 0,0\widehat{9}$ mediante frazioni.

Un satellite invia dati in raffiche di microsecondi. Una raffica dura $0,\widehat{142857}$ secondi. Il centro di controllo riceve $2,1$ raffiche per ogni ciclo di clock.

Se un ciclo di clock dura esattamente quanto indica la somma di quelle raffiche, calcola la durata di un ciclo esprimendola come frazione ridotta ai minimi termini.

Calcola il risultato esatto della seguente operazione. Per farlo è indispensabile che ottenga prima le frazioni generatrici di ogni numero decimale e semplifichi i risultati intermedi:

Un agricoltore biologico ha progettato una vasca per l'irrigazione con base rettangolare. Le dimensioni della base sono $2,\widehat{6}$ metri di lunghezza e $1,125$ metri di larghezza. Se vuole installare un telo protettivo che copra esattamente tutta la superficie della base, quale deve essere l'area di tale telo? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini di metro quadrato.

In una prova di laboratorio uno scienziato mescola tre sostanze. La prima pesa $\frac{5}{9}$ di grammo, la seconda pesa $0,\widehat{4}$ grammi e la terza pesa $0,\widehat{09}$ grammi. Dimostra, usando le frazioni generatrici, che la somma totale delle tre sostanze è esattamente $\frac{12}{11}$ di grammo.

Trova il valore dell'incognita $x$ nella seguente uguaglianza, esprimendo prima i numeri decimali come frazioni:

Un quiz televisivo propone la seguente sfida: "Trova il più piccolo numero naturale diverso da zero che, moltiplicato per il decimale periodico misto $0,1\widehat{36}$, dia come risultato un numero intero". Qual è il numero cercato? Spiega i passaggi seguiti.

Tre fratelli hanno ereditato un terreno e se lo dividono nel modo seguente: il maggiore si tiene $0,4\widehat{6}$ del terreno, quello di mezzo $0,3\widehat{18}$ e il più piccolo il resto.

1. a) Calcola la frazione generatrice della parte che spetta a ciascuno dei due fratelli maggiori.
2. b) Quale frazione del totale resta al fratello più piccolo? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Ordina dal minore al maggiore i seguenti numeri reali. Per poterli confrontare con precisione, trasforma tutti i decimali nelle rispettive frazioni generatrici e cerca un denominatore comune:

Si sa che un'autocisterna trasporta $12.000$ litri di latte. Alla prima sosta scarica $0,2\widehat{3}$ del totale. Alla seconda sosta scarica $\frac{3}{11}$ di quello che restava.

1. a) Quanti litri restano nell'autocisterna dopo la seconda sosta?
2. b) Esprimi la quantità totale scaricata nelle due soste, in litri, come numero decimale periodico indicando se è semplice o misto.

Per calcolare il valore esatto dell'espressione:

Tre studenti di seconda media discutono su quale sia la strategia migliore:

• Daniele (Scorciatoia decimale): Osserva che $1,\widehat{6}$ e $0,\widehat{6}$ hanno esattamente lo stesso periodo, quindi propone di sottrarli direttamente in forma decimale ($1,\widehat{6} - 0,\widehat{6} = 1$) prima di passare alla frazione.

• Sara (Metodo standard): Propone di trasformare fin dall'inizio ciascuno dei quattro numeri decimali periodici nella sua frazione generatrice ridotta e di operare solo con frazioni rispettando la gerarchia delle operazioni.

• Luca (Approssimazione decimale): Propone di arrotondare ogni numero a due cifre decimali ($1,67$; $0,67$; $0,33$; $2,17$), calcolare il risultato con i decimali e poi cercare a quale frazione somiglia.

1. a) Sviluppa il procedimento completo secondo il metodo di Sara e trova il risultato esatto come frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Applica la scorciatoia di Daniele al numeratore e completa il resto dell'operazione. Si arriva allo stesso risultato del metodo di Sara? Giustifica matematicamente perché la scorciatoia di Daniele è lecita in questo caso specifico e avverti del pericolo che comporterebbe se i periodi non fossero identici.
3. c) Calcola il risultato numerico che otterrebbe Luca con le sue approssimazioni. Confronta il suo valore con il risultato esatto ottenuto nei punti precedenti e argomenta perché il metodo di Luca non è accettabile in un calcolo esatto.

Consideriamo due numeri decimali periodici semplici minori di $1$, formati da due cifre nel periodo che sono invertite tra loro: $N_1 = 0,\widehat{ab}$ e $N_2 = 0,\widehat{ba}$, dove $a$ e $b$ sono cifre distinte e non nulle tali che $a > b$.

1. a) Scrivi la frazione generatrice di $N_1$ in funzione delle cifre $a$ e $b$. Ricorda che il numero formato da due cifre $ab$ equivale a $10a + b$.
2. b) Esprimi la somma $N_1 + N_2$ mediante un'unica frazione algebrica e dimostra che tale somma si può sempre semplificare in modo che il suo denominatore sia $9$, indipendentemente da quali siano le cifre $a$ e $b$.
3. c) Si sa che la somma esatta dei due numeri è $N_1 + N_2 = 1,\widehat{2}$ e che la loro differenza esatta è $N_1 - N_2 = 0,\widehat{27}$.

1. Imposta un sistema di due equazioni in due incognite ($a$ e $b$) a partire dalle frazioni generatrici di tali risultati.

2. Risolvi il sistema per determinare in modo univoco i valori delle cifre $a$ e $b$.

3. Scrivi i numeri decimali periodici originali $N_1$ e $N_2$ e verifica che siano soddisfatte tutte le condizioni iniziali.