Esercizi: Operazioni con le frazioni

A una merenda con gli amici sono state comprate diverse pizze della stessa dimensione, tutte tagliate in 8 fette uguali.

• Marco ha mangiato $\frac{3}{8}$ di una pizza.

• Sara ha mangiato $\frac{2}{8}$ di una pizza.

Calcola quale frazione di pizza hanno mangiato in tutto i due e quante fette rimangono se era stata aperta una sola pizza.

Per un progetto di Arte, un gruppo di alunni ha una scatola con $60$ pennarelli. Se hanno consumato $\frac{2}{5}$ dei pennarelli per realizzare un cartellone, quanti pennarelli hanno utilizzato in totale?

Calcola le seguenti addizioni e sottrazioni di frazioni con lo stesso denominatore, semplificando il risultato quando è possibile:

1. a) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

1. b) $\frac{11}{15} - \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9}$

Una giovane influencer dedica il pomeriggio a organizzare i suoi video. Impiega $\frac{1}{4}$ del tempo a registrare, $\frac{1}{3}$ a montare e il resto del tempo lo usa per rispondere ai commenti. Calcola quale frazione del tempo totale dedica a registrare e montare (ricorda di cercare un denominatore comune).

Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni e semplifica i risultati fino ad arrivare alla frazione irriducibile:

1. a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

1. b) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$

1. c) $5 \cdot \frac{3}{10}$

Nella cucina di un bar vogliono distribuire $3$ litri di succo d'arancia in bicchieri da $\frac{1}{4}$ di litro ciascuno. Quanti bicchieri potranno riempire completamente? Illustra il tuo ragionamento dividendo ogni litro in parti. Nella figura hai i $3$ litri in tre bottiglie da $1$ L; puoi copiarla sul quaderno e dividere ogni bottiglia.

Risolvi queste divisioni utilizzando il prodotto in croce:

1. a) $\frac{4}{5} : \frac{2}{3}$

1. b) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{7} : 3$

La batteria di un tablet indica che le rimane $\frac{7}{10}$ di carica. Se dopo aver guardato dei video ha consumato $\frac{2}{5}$ della carica totale, quale frazione di batteria le rimane ancora? (Aiuto: trasforma $\frac{2}{5}$ in una frazione con denominatore $10$).

A una festa di compleanno sono avanzati due vassoi con porzioni di frittata di patate della stessa dimensione: in uno resta $\frac{1}{2}$ di frittata e nell'altro resta $\frac{1}{4}$. Sergio vuole calcolare quanta frittata resta in totale e scrive sul quaderno:

1. a) Senza fare operazioni scritte, spiega perché il risultato di Sergio è impossibile nella realtà (pensa se unendo del cibo è logico ottenere meno della metà della frittata che avevi già nel primo vassoio).
2. b) Spiega quale è stato l'errore matematico di Sergio nell'operare con le frazioni.
3. c) Risolvi correttamente la somma riducendo a denominatore comune ed esprimi il risultato come frazione irriducibile.

Per preparare una bevanda isotonica nel laboratorio della scuola, versi in una caraffa della capacità di $2$ litri prima $\frac{4}{5}$ di litro di acqua minerale e, successivamente, aggiungi $\frac{7}{10}$ di litro di succo d'arancia.

1. a) Stima: Prima di calcolare con esattezza, spiega se la caraffa traboccherà (cioè se la somma supererà i $2$ litri) e se il volume finale sarà maggiore, minore o uguale a $1$ litro e mezzo ($\frac{3}{2}$ di litro). Giustifica la tua stima confrontando mentalmente ogni frazione con l'unità o con la metà.
2. b) Calcola: Trova la quantità esatta di liquido nella caraffa sommando le frazioni con il minimo comune multiplo. Esprimi il risultato come frazione irriducibile.
3. c) Verifica: Converti la tua frazione in numero decimale e verifica se conferma la tua stima del punto a).

Per preparare una bibita tropicale, un gruppo di amici mescola $\frac{3}{4}$ di litro di succo di ananas, $\frac{1}{3}$ di litro di succo d'arancia e $\frac{5}{6}$ di litro di acqua gassata. Se dopo aver mescolato tutto ne bevono $\frac{2}{5}$ di litro prima di metterla in frigorifero, quanta bibita rimane in totale? Esprimi il risultato semplificato in litri.

Una piattaforma di streaming divide il suo catalogo di serie in tre parti: $\frac{2}{5}$ sono d'azione, $\frac{1}{3}$ sono commedie e le restanti sono documentari. Se un utente ha già visto $\frac{3}{4}$ di tutte le serie d'azione disponibili, quale frazione del totale del catalogo rappresentano le serie d'azione che non ha ancora visto?

Calcola il risultato della seguente operazione mista, rispettando la priorità delle operazioni e semplificando il risultato finale fino a ottenere la frazione irriducibile:

Un giardiniere ha speso $\frac{2}{9}$ dei risparmi che aveva per gli attrezzi per comprare un tagliaerba e $\frac{3}{10}$ del budget iniziale per delle forbici da potatura. Se gli restano ancora $172$ € nel budget, quanti soldi aveva all'inizio?

(Suggerimento: calcola prima quale frazione del totale ha speso sommando le due quantità).

Applica le proprietà delle potenze e delle radici per semplificare la seguente espressione numerica:

Nel laboratorio di tecnologia si stanno tagliando dei listelli di legno. Abbiamo un listello lungo $\frac{15}{2}$ metri e vogliamo dividerlo in pezzi uguali che misurino $\frac{3}{4}$ di metro ciascuno. Quanti pezzi interi otterremo? Avanzerà del legno?

Trova il valore dell'incognita $x$ nella seguente uguaglianza di operazioni con le frazioni:

Un drone decolla da terra e sale fino a un'altezza di $12$ metri. Poi, a causa di una raffica di vento, scende di $\frac{14}{3}$ di metro. Se dopo risale di un'altezza pari a $\frac{2}{5}$ della posizione in cui si trovava dopo la discesa, a quale altezza dal suolo si trova infine il drone?

In classe di Matematica si propone di risolvere la seguente operazione mista:

Due compagni di classe sostengono strategie diverse:

• Sofia moltiplica prima in linea i numeratori e i denominatori della parentesi, e poi applica la divisione moltiplicando in croce i numeri grandi per semplificare solo alla fine.

• Lucia trasforma la divisione in una moltiplicazione per l'inverso, scompone i numeri in fattori primi per semplificare i fattori comuni sopra e sotto prima di moltiplicare, e calcola alla fine.

1. a) Risolvi l'operazione seguendo passo dopo passo il procedimento di Sofia.
2. b) Risolvi l'operazione seguendo il procedimento di Lucia, indicando chiaramente come semplifichi prima di operare.
3. c) Confronta i due percorsi: quale dei due risulta più efficace e riduce il rischio di commettere errori di calcolo con numeri grandi? Giustifica la tua risposta.

Vogliamo risolvere una sfida di logica con le frazioni: trova due frazioni unitarie distinte (cioè della forma $\frac{1}{a}$ e $\frac{1}{b}$, con numeratori uguali a $1$ e denominatori naturali diversi) che soddisfino contemporaneamente queste due condizioni:

1. Il loro prodotto sia esattamente $\frac{1}{12}$.

2. La loro differenza (la maggiore meno la minore) sia esattamente $\frac{1}{12}$.

1. a) Deduci con ragionamento quali numeri devono essere $a$ e $b$ analizzando i divisori del denominatore comune.
2. b) Esegui le operazioni e verifica che entrambe le frazioni soddisfino contemporaneamente la condizione del prodotto e quella della sottrazione.
3. c) Spiega perché sarebbe impossibile che la somma di due frazioni positive desse come risultato una frazione minore di una qualsiasi delle due frazioni iniziali.

La redazione di una rivista per ragazzi sta analizzando la provenienza dei suoi lettori. Sa che $\frac{2}{5}$ del totale vive in Italia. Del resto dei lettori, $\frac{3}{8}$ vive in paesi dell'America Latina. Se rimangono ancora $1.500$ lettori che vivono nel resto del mondo, quanti lettori ha in totale la rivista?

Calcola il risultato della seguente operazione combinata, semplificando il risultato fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini:

In un laboratorio di chimica, un recipiente $A$ contiene $\frac{3}{4}$ di litro di alcol, e un recipiente $B$ contiene $\frac{2}{3}$ di litro di acqua. Si travasa la metà del contenuto del recipiente $A$ nel recipiente $B$. Quale frazione di litro di miscela c'è ora nel recipiente $B$? Se poi si versa per terra $\frac{1}{5}$ della miscela totale di $B$, quanti litri rimangono in quel recipiente?

Un architetto sta progettando una casa sostenibile. Il giardino occupa i $\frac{2}{7}$ del terreno totale. La casa occupa i $\frac{3}{5}$ della superficie restante. Se il garage e la piscina occupano gli ultimi $120$ $m^2$, qual è la superficie totale del terreno?

Trova il valore della seguente espressione con potenze e radici di numeri razionali. Ricorda di applicare la priorità delle operazioni e di semplificare al massimo:

Tre amici, Alba, Bruno e Carla, comprano una pizza gigante per cena. Alba mangia $\frac{1}{4}$ della pizza. Bruno mangia $\frac{1}{3}$ di quella che rimane. Carla mangia i $\frac{2}{5}$ di quella che rimane dopo che hanno mangiato Alba e Bruno.

1. a) Quale frazione della pizza è avanzata?

1. b) Se la pizza pesava $1,2$ kg, quanti grammi ha mangiato ciascuno?

Un ciclista percorre una tappa di $120$ km in tre tratti. Nella prima ora percorre $\frac{2}{5}$ del tragitto. Nella seconda ora, a causa della stanchezza, la sua velocità diminuisce e percorre solo $\frac{1}{3}$ della distanza che gli mancava. Quanti chilometri gli restano da percorrere per la terza ora? Quale frazione del totale rappresenta quest'ultimo tratto?

Calcola il valore dell'incognita $x$ nella seguente uguaglianza di operazioni con le frazioni:

Secondo i dati di gestione di un'autorità di bacino in Italia, un invaso inizia l'autunno con una certa riserva d'acqua. Durante il mese di ottobre si registrano i seguenti movimenti:

• Viene rilasciato $\frac{3}{8}$ dell'acqua iniziale per l'irrigazione agricola e il deflusso ecologico del fiume.

• Dell'acqua che rimane nell'invaso dopo l'irrigazione, evapora $\frac{1}{5}$ a causa delle alte temperature tardive.

• A fine mese, un'ondata di maltempo apporta un volume d'acqua equivalente a $\frac{1}{4}$ dell'acqua che c'era inizialmente a inizio mese.

Dopo questi cambiamenti, l'invaso contiene esattamente $150\text{ hm}^3$ (ettometri cubi) di acqua.

1. a) Scrivi un'unica espressione combinata con frazioni che rappresenti la frazione dell'acqua iniziale che restava subito prima che iniziasse il maltempo.
2. b) Determina quale frazione del volume iniziale c'è nell'invaso alla fine di ottobre.
3. c) Calcola quanti ettometri cubi di acqua conteneva l'invaso all'inizio del mese.
4. d) Giustifica se nel corso del mese l'invaso ha guadagnato o perso acqua rispetto al livello iniziale confrontando la frazione ottenuta con l'unità.

Un treno ad alta velocità di Trenitalia parte da Roma diretto a Napoli con tutti i posti occupati e effettua solo due fermate intermedie durante il percorso:

• Alla prima fermata (Firenze), scende esattamente $\frac{1}{4}$ dei viaggiatori e non sale nessuno.

• Alla seconda fermata (Bologna), scende una frazione incognita $\frac{a}{b}$ delle persone che in quel momento viaggiavano sul treno e non sale nessuno nemmeno qui.

• Il treno arriva a destinazione a Napoli con $120$ passeggeri, che rappresentano esattamente $\frac{2}{5}$ del totale dei viaggiatori che hanno iniziato il viaggio a Roma.

1. a) Deduci quanti viaggiatori c'erano in totale sul treno alla partenza da Roma.
2. b) Calcola quante persone viaggiavano sul treno subito dopo la partenza dalla fermata di Firenze.
3. c) Quale frazione dei passeggeri iniziali di Roma rappresentano i viaggiatori scesi a Bologna?
4. d) Determina il valore della frazione incognita $\frac{a}{b}$, cioè quale frazione dei viaggiatori che in quel momento erano sul treno è scesa a Bologna. Esprimi il risultato come frazione irriducibile e giustifica ogni passaggio.

Sfida del tema. Come gestisce le risorse la tua casa? Diventa un revisore ambientale analizzando il consumo di acqua di casa tua e confrontandolo con i dati ufficiali.

1. Raccolta dei dati: Consulta sul sito dell'ISTAT il consumo medio di acqua in Italia (circa $133$ litri per persona al giorno) oppure annota la lettura del contatore di casa tua per due giorni consecutivi per calcolare il consumo giornaliero reale.

2. Frazioni e numeri razionali: Stima e classifica la ripartizione dell'acqua per attività (doccia, sciacquone, cucina, pulizie). Esprimi ogni uso come frazione del totale e semplificala fino a ottenere la frazione irriducibile, giustificando la sua appartenenza all'insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$). Ottieni inoltre due frazioni equivalenti per ogni caso amplificando i valori.

3. Calcolo con i decimali: In un foglio di calcolo, sapendo che il prezzo medio del $m^3$ ($1000$ litri) è di $1,97$ €, opera con i decimali per calcolare il costo giornaliero di ogni uso e la bolletta stimata di un mese ($30$ giorni).

4. Proposta motivata: Scrivi una breve relazione proponendo un piano per ridurre $2/15$ del consumo e calcola con i decimali il risparmio mensile in euro.

Verrà valutato:

• L'ottenimento rigoroso di frazioni irriducibili ed equivalenti a partire da dati reali.

• La correttezza nelle operazioni miste con numeri decimali.

• La chiara organizzazione dei dati nel foglio di calcolo e la fattibilità della proposta.