Esercizi: Massa

Nello studio della materia è fondamentale non confondere ciò che misuriamo con lo strumento che usiamo. Classifica i seguenti termini nella tabella in base al fatto che corrispondano a una grandezza, a una unità di misura o a uno strumento di misura:

Massa, Grammo, Bilancia, Chilogrammo, Pesa, Capacità, Tonnellata, Dinamometro.

Per passare da un'unità all'altra nel sistema metrico decimale, dobbiamo moltiplicare o dividere per l'unità seguita da zeri. Completa le seguenti uguaglianze eseguendo le equivalenze indicate:

1. a) $45\text{ kg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
2. b) $1.200\text{ mg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
3. c) $0,5\text{ hg} = \dots\dots\dots\text{ dag}$
4. d) $34,7\text{ dg} = \dots\dots\dots\text{ cg}$

È molto importante saper scegliere l'unità adatta all'oggetto che stiamo pesando. Associa ciascuno dei seguenti oggetti alla misura che ti sembra più realistica:

1. Una formica operaia.

2. Una lattina di bibita piena.

3. Un computer portatile.

4. Un camion per le consegne.

Misure possibili: $2\text{ kg}$, $8\text{ t}$, $3\text{ mg}$, $330\text{ g}$.

In un laboratorio di scienze, tre studenti hanno pesato lo stesso campione di roccia. Ognuno ha annotato il risultato in un'unità diversa:

• Studente A: $0,45\text{ kg}$

• Studente B: $4.200\text{ dg}$

• Studente C: $46\text{ dag}$

Esprimi tutte le misure in grammi e ordina gli studenti dal minore al maggiore in base alla massa ottenuta.

Sapevi che il chilogrammo è stato definito originariamente a partire dall'acqua? Un litro di acqua pura ha una massa di esattamente un chilogrammo. Se hai uno zaino che sopporta un peso massimo di $6\text{ kg}$ e dentro hai già dei libri che pesano $2500\text{ g}$, quante bottiglie d'acqua da $1,5$ litri puoi aggiungere al massimo senza che lo zaino si rompa?

Per preparare una torta al cioccolato per il compleanno di sua sorella, Giulia ha comprato i seguenti ingredienti:

• Un pacco di farina da $0,75\text{ kg}$.

• Una tavoletta di cioccolato da $200\text{ g}$.

• Un pacco di zucchero da $4,5\text{ hg}$.

Qual è la massa totale degli ingredienti in grammi?

Esprimi le seguenti quantità in forma incomplessa (usando una sola unità), convertendole nell'unità indicata in ciascun caso:

1. a) $3\text{ kg y } 450\text{ g}$ $\rightarrow$ in grammi.
2. b) $5\text{ dag, } 2\text{ g y } 8\text{ dg}$ $\rightarrow$ in decigrammi.
3. c) $1\text{ t y } 200\text{ kg}$ $\rightarrow$ in chilogrammi.
4. d) $4\text{ hg y } 5\text{ cg}$ $\rightarrow$ in centigrammi.

Un furgone ha una capacità massima di carico di $1,5$ tonnellate ($t$). Se vogliamo caricare cassette di arance che pesano $25\text{ kg}$ ciascuna, quante cassette potremo trasportare al massimo in un solo viaggio? (Ricorda che $1\text{ t} = 1.000\text{ kg}$).

Sergio vuole preparare un impasto per il pane e deve convertire $4,5\ kg$ di farina in grammi. Sul suo quaderno scrive la seguente risoluzione: «Per passare dai chilogrammi ai grammi scendo di 3 gradini nella scala del sistema metrico, quindi moltiplico per $30$: $4,5 \cdot 30 = 135\ g$».

1. a) Spiega con parole tue quale errore concettuale ha commesso Sergio sul funzionamento del sistema metrico decimale.
2. b) Giustifica perché deve moltiplicare per $1\,000$ (cioè $10 \cdot 10 \cdot 10$) e non per $30$.
3. c) Correggi il calcolo di Sergio e indica la massa reale di farina, in grammi, che deve usare per la ricetta.

Nella zona euro, una moneta da $1$ euro ha una massa ufficiale di $7,5\ g$. Immagina di avere un sacchetto che contiene esattamente $60$ monete da $1$ euro.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo esatto, arrotonda la massa di una moneta a un numero intero semplice e stima mentalmente quanti grammi e quanti chilogrammi peseranno circa le $60$ monete. Scrivi come hai fatto questa stima mentale.
2. b) Esegui il calcolo esatto della massa totale delle monete ed esprimi il risultato sia in grammi ($g$) sia in chilogrammi ($kg$).
3. c) Confronta la tua stima iniziale con il risultato esatto: è stata un'approssimazione ragionevole? Spiega se la tua stima era per eccesso o per difetto rispetto al valore reale e perché.

Per evitare problemi alla schiena, si raccomanda che lo zaino scolastico non superi il $10 \%$ del peso dello studente. Luca pesa $45\ kg$ e ha pesato gli oggetti che porta oggi a scuola:

• Libri e quaderni: $2,8\ kg$

• Astuccio con il materiale: $350\ g$

• Dizionario di inglese: $6,5\ hg$

• Bottiglia d'acqua piena: $75\ dag$

Calcola la massa totale dello zaino in chilogrammi e determina se Luca sta trasportando un peso sicuro per la sua schiena.

Una nota pasticceria del tuo quartiere utilizza le seguenti quantità di massa per preparare la sua famosa "Torta Imperiale":

• Farina: $0,55\ kg$

• Zucchero: $22,5\ dag$

• Burro: $1.250\ dg$

• Cioccolato: $3\ hg$

Esprimi in grammi ciascuno degli ingredienti e calcola la massa totale della torta (senza contare il ripieno né la decorazione) in forma complessa (utilizzando chilogrammi e grammi).

Nell'orto scolastico dell'istituto sono state raccolte $4,2$ tonnellate di mele. Per il trasporto si utilizzano sacchi che contengono un quintale ($q$) ciascuno.

1. a) Quanti sacchi servono per trasportare tutto il raccolto?
2. b) Se da ogni $5\ kg$ di mele si ottiene $1\ kg$ di composta, quanti chilogrammi di composta produrrà l'istituto con quel raccolto?

Sapendo che un decimetro cubo ($1\ dm^3$) di acqua distillata ha una massa di esattamente $1\ kg$, risolvi il seguente problema:

Un acquario ha forma di parallelepipedo rettangolo con dimensioni di $60\ cm$ di lunghezza, $30\ cm$ di larghezza e $40\ cm$ di altezza. Se viene riempito d'acqua fino a $\frac{3}{4}$ della sua capacità totale, qual è la massa dell'acqua contenuta nell'acquario espressa in chilogrammi?

Un camion per le consegne ha un carico massimo autorizzato di $3,5\ t$. Attualmente ha caricati $18$ bancali di cartoni di latte che pesano $125\ kg$ ciascuno. L'autista deve ritirare in un magazzino $12$ sacchi di mangime da $450\ hg$ ciascuno.

Potrà caricare i sacchi di mangime senza superare il limite di massa del camion? Giustifica la risposta eseguendo i calcoli in chilogrammi.

In un negozio di caramelle sfuse, il prezzo dei marshmallow è $1,20\ €$ per ogni ettogrammo ($hg$).

1. a) Quanto costerà un sacchetto che contiene $250\ g$ di marshmallow?
2. b) Se per un altro sacchetto di marshmallow abbiamo pagato $6\ €$, quanti grammi di marshmallow abbiamo comprato?

Ordina dalla più piccola alla più grande le seguenti masse di componenti elettronici utilizzati nella fabbricazione di uno smartphone. Per confrontarle, trasforma tutte le unità in milligrammi ($mg$):

• Sensore della fotocamera: $0,0042\ kg$

• Microchip principale: $1,85\ g$

• Vite di fissaggio: $85\ cg$

• Connettore di ricarica: $12,4\ dg$

Una farmacia riceve una spedizione di $5$ scatole di un medicinale. Ogni scatola contiene $12$ flaconi e ogni flacone pesa $150\ g$ quando è vuoto. In ogni flacone ci sono $60$ capsule e ogni capsula ha una massa di $500\ mg$.

Calcola la massa totale della spedizione (inclusi flaconi e capsule) espressa in chilogrammi.

Nel laboratorio di Scienze dovete collocare tre campioni minerali su un vassoio che sopporta un carico massimo di $1,5\ kg$. Le masse dei campioni sono: pirite ($520\ g$), quarzo ($4,8\ hg$) e calcite ($55\,000\ cg$). Per scoprire se il vassoio sopporterà i tre campioni contemporaneamente, due compagne propongono strade diverse:

• Rosa propone di convertire tutte le masse in grammi ($g$) per sommare soltanto numeri interi e confrontare il totale con la capacità del vassoio espressa anch'essa in grammi.

• Irene propone di passare tutte le masse direttamente in chilogrammi ($kg$) utilizzando numeri decimali e confrontare la somma direttamente con $1,5\ kg$.

1. a) Risolvi il problema applicando il metodo di Rosa.
2. b) Risolvi il problema applicando il metodo di Irene.
3. c) Analizza i due procedimenti: quale dei due ti sembra più pratico e con minor rischio di errore in questo caso specifico? Giustifica la risposta valutando il lavoro con i numeri interi rispetto all'uso della virgola decimale.

Secondo i dati sulla raccolta differenziata dei rifiuti in Italia, si stima che uno studente produca in media $35\ g$ di rifiuti di plastica e imballaggi leggeri durante una giornata scolastica. In una scuola secondaria studiano $500$ alunni.

1. a) Modella la situazione e calcola quanti chilogrammi di plastica producono in totale gli alunni della scuola in un giorno di lezione e in un'intera settimana scolastica (dal lunedì al venerdì).
2. b) Per conservare questi imballaggi, la scuola dispone di un contenitore il cui carico massimo raccomandato è $0,7\ q$ (quintali). Avrà capacità sufficiente per accumulare i rifiuti prodotti durante due intere settimane scolastiche (10 giorni) senza essere svuotato? Giustifica la risposta indicando quanti chilogrammi avanzano o mancano per raggiungere il limite del contenitore.
3. c) Se dopo una campagna ambientale la scuola riduce la produzione giornaliera totale a $14\ kg$, calcola quanti grammi di plastica risparmia in media ogni alunno al giorno rispetto alla situazione iniziale.

Un camion per le consegne ha una capacità di carico massima di $3,5$ tonnellate. In magazzino sono state caricate $12$ casse di macchinari che pesano $1,45$ quintali ciascuna e $45$ sacchi di mangime da $25$ $kg$ ciascuno. Se manca ancora da caricare un contenitore di pezzi metallici la cui massa è $875.000$ grammi, il camion potrà trasportare tutto il carico in un solo viaggio senza superare il limite? Giustifica la risposta calcolando quanti chilogrammi mancano o avanzano per raggiungere il massimo.

Un'azienda farmaceutica produce capsule di un integratore vitaminico. Ogni capsula contiene $150$ $mg$ di principio attivo, $0,025$ $dg$ di eccipiente e $4.500$ $\mu g$ (microgrammi) di rivestimento gelatinoso. Sapendo che $1$ $mg = 1.000$ $\mu g$, calcola la massa totale di un barattolo che contiene $120$ capsule, esprimendo il risultato finale in grammi. Non dimenticare di sommare i $12$ $g$ che pesa il barattolo di plastica vuoto.

In un oleificio, una macchina riempie bottiglie da $0,75$ litri. Sappiamo che $1$ litro di questo olio ha una massa di $920$ $g$. Se un camion trasporta $150$ scatole e ogni scatola contiene $12$ bottiglie, qual è la massa totale del carico di olio in tonnellate? Se ogni bottiglia vuota ha una massa di $35$ $dag$ e ogni scatola di cartone pesa $0,4$ $kg$, calcola anche la massa totale del trasporto (olio + contenitori + scatole) in chilogrammi.

Per eseguire un esperimento di chimica, uno studente deve mescolare tre sostanze. Della sostanza A ha $0,045$ $kg$, della sostanza B ha $12,4$ $dag$ e della sostanza C ha $7.800$ $cg$. Dopo averle mescolate, avviene una reazione che libera un gas, facendo perdere alla miscela un centesimo della sua massa totale iniziale. Qual sarà la massa finale della miscela liquida risultante espressa in grammi?

Il club di robotica ha una barra di alluminio di $1,2$ $kg$. Vuole fabbricare il maggior numero possibile di pezzi da $12$ $g$ e $500$ $mg$ ciascuno.

• Quanti pezzi potrà fabbricare al massimo?

• Se il grammo di alluminio costa $3,50$ €, quanto costerà il materiale di tutti i pezzi fabbricati?

• Quanto alluminio avanzerà in milligrammi?

Un negozio di prodotti sfusi riceve un ordine di riso in sacchi da un miriagrammo ($1$ $mag = 10$ $kg$). Il proprietario vuole riconfezionare il riso in sacchetti più piccoli di tre formati diversi:

• Metà del riso verrà confezionata in sacchetti da $500$ $g$.

• Due quinti del riso rimanente verranno confezionati in sacchetti da $250$ $g$.

• Quello che resta verrà confezionato in sacchetti da $100$ $g$.

Se hanno ricevuto $12$ sacchi da un miriagrammo ciascuno, quanti sacchetti di ogni tipo otterranno?

È stata misurata la massa di un cubo metallico pieno di $5$ $cm$ di spigolo ed è stato ottenuto un valore di $343,75$ $g$.

• Qual è la massa di questo metallo per ogni centimetro cubo ($cm^3$)?

• Se abbiamo un altro blocco dello stesso metallo con un volume di $1,2$ $dm^3$, qual sarà la sua massa espressa in chilogrammi?

(Dato: il volume di un cubo si calcola come $V = arista \cdot arista \cdot arista$)

Una bilancia a due piatti è in equilibrio. Sul piatto di sinistra c'è un vasetto di miele pieno che pesa $1,25$ $kg$. Sul piatto di destra c'è un peso da $5$ $hg$, un altro da $25$ $dag$ e lo stesso vasetto di miele ma vuoto. Calcola separatamente la massa del miele contenuto nel vasetto e la massa del vasetto vuoto, esprimendo entrambi i risultati in grammi.

Un'orafa progetta un lingotto cerimoniale formato da tre metalli preziosi (oro, argento e rame) la cui massa totale complessiva deve essere esattamente $0,48\ kg$. Per esigenze di progetto, le masse dei metalli devono soddisfare le seguenti condizioni:

• La massa dell'argento deve essere il quadruplo della massa del rame.

• La massa dell'oro deve superare di esattamente $60\ g$ la massa dell'argento.

1. a) Esprimi tutte le quantità in una stessa unità e imposta un ragionamento passo dopo passo (o un'equazione) per ricavare la massa esatta, in grammi, che deve avere ciascuno dei tre metalli nel lingotto.
2. b) Verifica che le masse calcolate soddisfino tutte le condizioni imposte e che la loro somma coincida con la massa totale del lingotto in chilogrammi.
3. c) Per tarare la porzione di rame ottenuta su una bilancia classica a due piatti, l'orafa dispone solo di pesi da $1\ dag$, $1\ g$, $1\ dg$ e $1\ cg$. Determina quale combinazione utilizza il minor numero possibile di pesi per equilibrare la massa di rame calcolata, arrotondata al centigrammo.

Un frantoio della Puglia prepara la spedizione di olio d'oliva su un camion la cui tara (massa del camion vuoto) è $3,8\ t$ e la cui massa massima autorizzata (MMA) è $10\ t$. Vengono caricati $16$ bancali di legno da $20\ kg$ ciascuno. Su ogni bancale sono sistemate $30$ scatole di cartone e ogni scatola contiene $12$ bottiglie. Ogni bottiglia piena d'olio ha una massa di $950\ g$ e ogni scatola di cartone vuota pesa $25\ dag$.

L'addetto alla logistica consegna all'autista il seguente foglio:

«Massa delle bottiglie: $16 \cdot 30 \cdot 12 \cdot 950 = 5\,472\,000\ g = 54,72\ kg$.

Massa delle scatole: $16 \cdot 30 \cdot 25 = 12\,000\ dag = 12\ kg$.

Massa dei bancali: $16 \cdot 20 = 320\ kg$.

Massa totale del carico: $54,72 + 12 + 320 = 386,72\ kg = 0,38672\ t$.

Poiché $3,8\ t + 0,38672\ t \approx 4,19\ t$, il camion è quasi vuoto e possiamo caricarne il doppio senza problemi».

1. a) Individua e spiega i due gravi errori di cambio di unità commessi dall'addetto. Spiega perché il suo risultato finale è del tutto privo di senso fisico per un carico di migliaia di bottiglie.
2. b) Esegui il calcolo corretto della massa totale reale del camion carico (tara, bancali, scatole e bottiglie), esprimendo il risultato sia in chilogrammi ($kg$) sia in tonnellate ($t$).
3. c) Determina se il camion può circolare legalmente o se supera la MMA. Se non la supera, calcola con precisione quante scatole intere in più si potrebbero caricare al massimo senza superare il limite legale di $10\ t$.