Esercizi: Lunghezza

Nello studio della matematica e della fisica è fondamentale distinguere tra ciò che misuriamo e l'unità che utilizziamo. Classifica i seguenti concetti sul quaderno in base al fatto che siano una grandezza o una unità di misura:

• Lunghezza

• Metro ($m$)

• Centimetro ($cm$)

• Larghezza di un tavolo

• Chilometro ($km$)

• Distanza tra due città

Per misurare con precisione dobbiamo scegliere l'unità più adatta. Indica quale unità del Sistema Metrico Decimale ($mm$, $cm$, $m$ o $km$) useresti per misurare i seguenti oggetti:

1. a) La lunghezza di una graffetta.
2. b) L'altezza del tuo migliore amico o della tua migliore amica.
3. c) La distanza percorsa da uno scuolabus tra due paesi.
4. d) Lo spessore dello schermo di uno smartphone di ultima generazione.

Il Sistema Metrico Decimale è decimale perché ogni unità è $10$ volte maggiore della precedente. Completa le seguenti uguaglianze passando all'unità indicata:

1. a) $7\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ dm}$
2. b) $25\text{ cm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$
3. c) $1,5\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ cm}$
4. d) $0,8\text{ dm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$

Quando misuriamo distanze grandi, usiamo i multipli del metro. Esegui le seguenti conversioni:

1. a) $3.000\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ km}$
2. b) $450\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ hm}$
3. c) $12\text{ dam} = \dots\dots\dots\text{ m}$
4. d) $0,5\text{ km} = \dots\dots\dots\text{ hm}$

Tre amici confrontano la lunghezza dei cavi delle loro cuffiette per vedere qual è il più lungo. Le misure sono:

• Marco: $1,2\text{ m}$

• Lucia: $125\text{ cm}$

• Ugo: $11,5\text{ dm}$

Esprimi tutte le misure in centimetri e ordinale dalla più piccola alla più grande usando il simbolo $<$.

Una tappa di un percorso escursionistico sulle Alpi è divisa in due tratti. Il primo tratto misura $3\text{ km y } 450\text{ m}$ e il secondo tratto misura $2.100\text{ m}$. Quanti chilometri misura l'intera tappa?

Sara sta progettando una custodia per il suo tablet. Con un righello osserva che la lunghezza del tablet è $24,5\text{ cm}$. Se vuole mettere un bordo di protezione di $5\text{ mm}$ a ciascuna delle due estremità della lunghezza, qual sarà la lunghezza totale della custodia in centimetri?

Calcola il perimetro (la somma di tutti i lati) di un campo di calcio a 5 le cui misure sono $40\text{ m}$ di lunghezza e $200\text{ dm}$ di larghezza. Esprimi il risultato finale in metri.

(Suggerimento: ricorda che per sommare delle misure queste devono essere tutte nella stessa unità).

Matteo deve tagliare una striscia di legno per un progetto di Tecnologia e ha bisogno esattamente di $4\text{ m y } 5\text{ cm}$. Per annotare la misura sul quaderno in una sola unità (forma incomplessa in metri), scrive direttamente $4,5\text{ m}$.\na) Spiega con un ragionamento perché l'annotazione di Matteo è sbagliata, basandoti sul valore posizionale di ogni cifra nel sistema metrico decimale.\nb) Qual è l'espressione corretta in metri della misura che gli serve?\nc) Quale lunghezza reale in centimetri avrebbe la striscia se Matteo tagliasse i $4,5\text{ m}$ che ha annotato per errore? Calcola la differenza in centimetri tra ciò che gli serve e ciò che taglierebbe.

In una scuola vogliono installare uno zoccolino protettivo in una delle aule di prima media. L'aula è rettangolare e misura $82\text{ dm}$ di lunghezza e $580\text{ cm}$ di larghezza. La porta d'ingresso è larga $9\text{ dm}$ e, ovviamente, non avrà lo zoccolino.\na) Prima di calcolare con esattezza, stima mentalmente quanti metri di zoccolino serviranno arrotondando le misure delle pareti al metro più vicino. Pensi che basterà comprare una confezione standard da $25\text{ m}$ di battiscopa? Giustifica la risposta.\nb) Esprimi tutte le dimensioni in metri e calcola la lunghezza esatta di zoccolino necessaria.\nc) Confronta la tua stima iniziale con il risultato esatto e spiega se la stima iniziale era sufficiente per prendere una decisione sull'acquisto.

Tre amici stanno confrontando le distanze che hanno percorso stamattina allenandosi per una corsa solidale. Lucia dice di aver corso $4,2 \text{ km}$, Marco afferma di aver fatto $38 \text{ hm}$ e $15 \text{ dam}$, e Sofia ha registrato sul suo smartwatch un totale di $4.050 \text{ m}$.

Ordina i tre amici dalla distanza percorsa maggiore a quella minore, esprimendo tutte le misure in metri per poterle confrontare.

Un drone per le consegne compie un tragitto diviso in tre tappe. Nella prima tappa percorre una distanza di $1 \text{ km}$ e $25 \text{ m}$. Nella seconda vola per $85 \text{ hm}$ e $7 \text{ dam}$. Nell'ultima tappa percorre altri $450 \text{ m}$.

Calcola la distanza totale del tragitto esprimendo il risultato in forma incomplessa (una sola unità) in chilometri.

In un negozio di tecnologia, gli schermi dei monitor si misurano con la lunghezza della diagonale in pollici. Sappiamo che $1 \text{ pollice} = 2,54 \text{ cm}$.

Se compriamo un monitor la cui diagonale misura $27 \text{ pollici}$, qual è la sua misura approssimata in millimetri?

Un falegname ha un listello di legno lungo $3 \text{ m}$. Deve tagliare pezzi da $35 \text{ cm}$ ciascuno per realizzare le gambe di alcuni sgabelli.

1. a) Quanti pezzi interi da $35 \text{ cm}$ potrà ricavare dal listello?
2. b) Quanti millimetri di legno gli avanzeranno dopo aver eseguito i tagli?

Il perimetro di una pista di kart misura $0,85 \text{ km}$. Durante una gara, un pilota ha completato $12$ giri della pista.

Calcola la distanza totale percorsa dal pilota ed esprimila in forma complessa (utilizzando chilometri, ettometri e decametri).

Un biologo sta studiando la crescita di una radice al microscopio. Il primo giorno la radice misurava $12 \text{ mm}$. Dopo una settimana la radice misura $4,5 \text{ cm}$.

Di quanti micron ($\mu m$) è cresciuta in totale la radice durante quella settimana? (Ricorda che $1 \text{ mm} = 1.000 \mu m$).

Per installare la fibra ottica in un edificio servono $3$ rotoli di cavo da $1,2 \text{ hm}$ ciascuno. Se il tecnico ha già utilizzato $245 \text{ m}$ di cavo, quanti decametri di cavo gli restano ancora a disposizione?

Una formica percorre il bordo di un tavolo rettangolare lungo $1,2 \text{ m}$ e largo $80 \text{ cm}$. Se la formica compie $5$ giri completi intorno al bordo del tavolo:

1. a) Quanti metri percorre in totale?
2. b) Esprimi il risultato precedente in ettometri.

Nella gara di salto in lungo della settimana sportiva della scuola, Ugo ha ottenuto una misura di $3\text{ m y } 8\text{ cm}$, mentre la sua compagna Daniela ha realizzato un salto di $2\text{ m, } 7\text{ dm y } 5\text{ cm}$. Per scoprire di quanto Ugo ha superato la misura di Daniela, l'insegnante propone tre strade possibili:\n- Metodo A: convertire entrambe le misure in metri usando numeri decimali e sottrarre.\n- Metodo B: esprimere entrambe le misure in centimetri come numeri interi e sottrarre.\n- Metodo C: operare direttamente in forma complessa sottraendo unità dello stesso ordine ($3\text{ m} - 2\text{ m}$, ecc.) e trasformando le unità quando necessario.\na) Risolvi la sottrazione utilizzando il Metodo A e il Metodo B, verificando di ottenere lo stesso risultato.\nb) Analizza vantaggi e svantaggi dei tre metodi e giustifica quale ritieni più consigliabile per evitare errori di calcolo in questo caso specifico.

Il libro di percorso ufficiale di una tappa ciclistica che attraversa strade di montagna indica una distanza totale prevista di $164,8\text{ km}$. Il tracciato è diviso in quattro settori:\n- Settore 1 (partenza e pianura): $42\text{ km y } 600\text{ m}$.\n- Settore 2 (passo di montagna): $185\text{ hm}$.\n- Settore 3 (valle): $6.400\text{ dam}$.\n- Settore 4 (salita finale verso il traguardo): lunghezza ancora da confermare.\nA causa di lavori imprevisti nella valle, l'organizzazione deve aggiungere una deviazione obbligatoria di $3.250\text{ m}$ all'interno del Settore 3.\na) Imposta le operazioni necessarie in una stessa unità per determinare la lunghezza originale del Settore 4 prima dei lavori e scrivi il risultato in forma complessa utilizzando chilometri e metri.\nb) Modella la lunghezza definitiva dell'intera tappa dopo aver inserito la deviazione, esprimendo il risultato finale in ettometri ($hm$).

Un club di escursionismo sta progettando un nuovo percorso circolare sulle Alpi. Sulla mappa (scala $1:25.000$), il percorso è diviso in tre tratti: il primo misura $12,4$ $cm$, il secondo $85$ $mm$ e il terzo $0,06$ $dm$. Se un escursionista cammina a velocità costante e ciascuno dei suoi passi misura esattamente $75$ $cm$, calcola quanti passi farà per completare l'intero percorso nella realtà. Esprimi anche la distanza totale del percorso in ettometri ($hm$).

In un laboratorio di nanotecnologia, uno scienziato osserva una fibra sintetica il cui spessore è $450$ nanometri ($nm$). Per un esperimento, deve affiancare queste fibre fino a coprire una distanza di $0,27$ millimetri ($mm$). Sapendo che $1$ micrometro ($\mu m$) sono $1.000$ $nm$ e che $1$ $mm$ sono $1.000$ $\mu m$, quante fibre dovrà mettere lo scienziato? Se ogni fibra costasse $0,002$ euro, quale sarebbe il costo totale del campione?

Anticamente in Spagna si usava la "vara castellana", che equivale approssimativamente a $83,59$ $cm$. Un agricoltore legge in un documento antico che il suo terreno ha una facciata di $120$ vare. Per rispettare la normativa attuale, deve installare una recinzione che costa $15,50$ euro al metro lineare. Tuttavia, per ogni $5$ decametri ($dam$) di recinzione, il negozio gli fa uno sconto del $10\%$ sul prezzo di quei metri. Quanto denaro gli costerà recintare l'intera facciata del suo terreno?

Un drone da competizione percorre un circuito a forma di esagono irregolare. Le lunghezze dei suoi lati sono: $0,15$ $km$, $2,4$ $hm$, $35$ $dam$, $1.200$ $dm$, $8.500$ $cm$ e $95.000$ $mm$. Il drone deve completare un totale di $15$ giri del circuito. Qual è la distanza totale che percorrerà il drone in chilometri? Se la batteria del drone dura abbastanza da percorrere $185$ ettometri, potrà terminare tutti i giri o rimarrà senza batteria prima? Giustifica la risposta con dei calcoli.

Un libro di testo di Matematica ha uno spessore totale (senza contare le copertine) di $2,4$ $cm$. Se il libro ha esattamente $400$ pagine ($200$ fogli), qual è lo spessore di un solo foglio espresso in micron ($\mu m$)? Sapendo che un capello umano ha uno spessore medio di $0,08$ $mm$, quanti capelli umani bisognerebbe impilare per eguagliare lo spessore di un solo foglio di questo libro?

Una progettista di merchandising della scuola deve bordare $12$ bandierine circolari identiche con un nastro decorativo. Il contorno di ogni bandierina è $37,5$ decimetri ($dm$). Il nastro si vende in rotoli da $0,5$ ettometri ($hm$).

1. a) Quanti rotoli interi deve comprare come minimo la progettista perché non le manchi il nastro?
2. b) Una volta finite le $12$ bandierine, quanti centimetri di nastro le avanzeranno in totale?
3. c) Se ogni metro di nastro costa $1,20$ euro, qual è il prezzo di un rotolo intero?

La distanza tra due città, A e B, è $145,6$ $km$. Nel punto medio esatto della strada che le collega, c'è un cartello che indica la distanza da una terza città C, situata a $34.500$ metri da quel punto medio. Se un'auto viaggia da A verso B e si ferma dopo aver percorso $820$ ettometri ($hm$):

1. a) A quale distanza si trova dalla città B?
2. b) A quale distanza si trova dal cartello che indica la strada per la città C?

Esprimi tutti i risultati in metri.

Un satellite artificiale orbita attorno alla Terra a un'altezza costante di $350$ $km$. Tuttavia, a causa dell'attrito con l'atmosfera, ogni giorno perde $450$ metri di altezza.

1. a) A quale altezza in chilometri si troverà il satellite dopo $3$ settimane di orbita?
2. b) Se il satellite smette di funzionare quando scende sotto i $330$ $km$ di altezza, per quanti giorni interi potrà restare operativo?
3. c) Esprimi l'altezza iniziale del satellite in un'espressione complessa usando chilometri, ettometri e metri.

Un terreno comunitario ha forma di quadrilatero e il suo perimetro totale misura esattamente $0,15\text{ km}$. Non conosciamo tutte le misure dirette, ma si hanno i seguenti dati:\n- Il lato $A$ misura $35\text{ m y } 40\text{ dm}$.\n- I quattro lati misurano un numero esatto e intero di metri.\n- Il lato $D$ ha una lunghezza che, espressa in decametri ($dam$), è un numero intero esatto, e si sa che misura più di $20\text{ m}$ ma meno di $45\text{ m}$.\n- Il lato $B$ misura esattamente il doppio del lato $C$.\na) Deduci in modo ragionato qual è l'unica lunghezza possibile per il lato $D$ scartando le opzioni che non soddisfano tutte le condizioni.\nb) Partendo dal valore trovato per $D$, calcola la misura esatta dei lati $B$ e $C$, ed esprimile in forma complessa combinando decametri e metri.\nc) Verifica che la somma dei quattro lati riproduca esattamente il perimetro iniziale in chilometri.

Una squadra dell'Istituto Geografico Militare sta segnalando un sentiero di montagna di $14,4\text{ km}$ di lunghezza totale tra due rifugi. Per motivi di sicurezza e di visibilità in caso di nebbia, si installano ometti di pietra lungo il cammino seguendo queste regole:\n- Tratto basso (i primi $4\text{ km y } 8\text{ hm}$): il cammino è largo e si colloca un ometto ogni $120\text{ m}$.\n- Tratto intermedio (dalla fine del tratto basso fino al punto chilometrico $11,2\text{ km}$ del sentiero): si colloca un ometto ogni $8\text{ dam}$.\n- Tratto alto di cresta (dal punto chilometrico $11,2\text{ km}$ fino alla fine del sentiero): il sentiero è pietroso e si colloca un ometto ogni $2.500\text{ cm}$.\nSi colloca un ometto all'inizio del sentiero ($0\text{ m}$), uno a ogni cambio di tratto e uno al rifugio finale.\na) Calcola la lunghezza esatta di ciascuno dei tre tratti espressa in metri.\nb) Determina il numero totale di ometti necessari per segnalare tutto il sentiero dall'inizio alla fine.\nc) Uno degli escursionisti afferma: «Poiché il tratto alto di cresta è il più corto dei tre in distanza, sicuramente è il tratto in cui bisogna portare e collocare meno ometti». Analizza in modo critico e numerico se la sua affermazione è vera o falsa, giustificando quale grandezza influisce di più sul risultato.