Esercizi: Variabile casuale. Funzione di probabilità, funzione di ripartizione e parametri

Un'app di fortuna genera numeri interi da $1$ a $4$, tutti con la stessa probabilità. Sia $X$ il numero generato.

1. a) Scrivi la funzione di probabilità di $X$ sotto forma di tabella.
2. b) Calcola la media $\mu$.
3. c) Calcola la deviazione standard $\sigma$, arrotondando ai centesimi.

Una variabile casuale discreta $X$ assume i valori $1$, $2$, $3$ e $4$ con questa funzione di probabilità incompleta:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Calcola il valore di $k$.
2. b) Trova $P[X \ge 3]$.
3. c) Trova $P[X < 2]$.

Indica, motivando la risposta, quali delle seguenti tabelle possono essere la funzione di probabilità di una variabile casuale discreta:

• Tabella 1: valori $1$, $2$, $3$ con probabilità $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Tabella 2: valori $1$, $2$, $3$, $4$ con probabilità $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Tabella 3: valori $1$, $2$, $3$, $4$ con probabilità $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

In ogni caso, enuncia la condizione (o le condizioni) che sono soddisfatte o violate.

Si lanciano due monete e si conta il numero di teste ottenute, $X$.

1. a) Scrivi lo spazio campionario dell'esperimento e ricava la funzione di probabilità di $X$.
2. b) Calcola la media $\mu$ e interpretala.
3. c) Calcola $P[X \ge 1]$.

La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta $X$ è data da:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calcola $P[X \le 2]$.
2. b) Calcola $P[X = 2]$.
3. c) Calcola $P[X > 1]$.

In un campionato scolastico di scacchi rapidi a Roma, il punteggio ottenuto per partita è modellizzato da una variabile casuale discreta $X$ con media $\mu_X = 4$ punti e deviazione standard $\sigma_X = 1,2$ punti. Per la fase finale di qualificazione, l'organizzazione applica un coefficiente correttivo definito dalla trasformazione lineare $Y = 20 - 3X$.

Marco afferma nella consegna degli esercizi: «La nuova media è $\mu_Y = 20 - 3 \cdot 4 = 8$ punti e la nuova deviazione standard è $\sigma_Y = -3 \cdot 1,2 = -3,6$ punti; quindi i punteggi sono meno dispersi, poiché il segno della scala è stato invertito».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco nel calcolo della deviazione standard.
2. b) Correggi i calcoli trovando i valori corretti di $\mu_Y$ e $\sigma_Y$.
3. c) Giustifica con parole tue perché una deviazione standard non può mai assumere un valore negativo, basandoti sulla sua definizione statistica come misura di dispersione.

A partire da dati semplificati dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) sulla dotazione delle famiglie in Italia, il numero di automobili $X$ possedute da una famiglia è modellizzato dalla seguente funzione di probabilità:

$P[X = 0] = 0,20$, $P[X = 1] = 0,55$, $P[X = 2] = 0,20$ e $P[X = 3] = 0,05$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico, fai una stima motivata: tra quali due valori interi deve necessariamente trovarsi la media $\mu$ e a quale dei due ritieni che sarà più vicina? Giustificalo analizzando dove si concentra la probabilità maggiore.
2. b) Calcola esattamente la media $\mu$ e la deviazione standard $\sigma$, e confronta il valore ottenuto per la media con la tua stima precedente.
3. c) Un portavoce di quartiere afferma: «Poiché il valore medio non è un numero intero di auto, la media non ha senso concreto per descrivere una famiglia reale». Confuta la sua affermazione spiegando con precisione che cosa rappresenta il valore atteso a lungo termine.

In un sacchetto di un gioco da tavolo ci sono $20$ tessere punteggio: $6$ tessere con un $1$, $4$ tessere con un $2$ e $10$ tessere con un $3$. Si estrae una tessera a caso e se ne annota il punteggio $X$.

1. a) Scrivi la funzione di probabilità di $X$ sotto forma di tabella.
2. b) Calcola la media $\mu$ e interpretala: quale punteggio medio per tessera ci si può aspettare a lungo termine?
3. c) Calcola la deviazione standard $\sigma$, arrotondando ai centesimi.

La figura mostra la funzione di ripartizione $F(x)$ di una variabile casuale discreta $X$ che assume i valori $0$, $1$, $2$ e $3$.

1. a) Deduci dal grafico la funzione di probabilità di $X$ (i valori $p_i = P[X = x_i]$) e scrivila sotto forma di tabella.
2. b) Calcola $P[1 \le X < 3]$ a partire dalla funzione di ripartizione.
3. c) Trova la media di $X$.

Una ruota della fortuna di una fiera ha $8$ settori uguali con i premi visibili nella figura: un settore da $10\ \text{€}$, due da $5\ \text{€}$, tre da $2\ \text{€}$ e due senza premio.

1. a) Scrivi la funzione di probabilità della variabile $X$ = "premio ottenuto in un lancio".
2. b) Calcola il premio medio per lancio, $\mu$.
3. c) Giocare costa $3\ \text{€}$ a lancio. Definisci la variabile $G$ = "guadagno netto del giocatore" (premio meno quanto pagato), calcola il suo valore atteso e decidi motivando se conviene giocare.

L'associazione dei genitori di un liceo organizza una lotteria solidale: vende $200$ biglietti a $2\ \text{€}$ ciascuno, con un premio da $100\ \text{€}$, quattro premi da $25\ \text{€}$ e dieci premi da $5\ \text{€}$.

1. a) Scrivi la funzione di probabilità della variabile $G$ = "guadagno netto acquistando un biglietto" (valore del premio meno i $2\ \text{€}$ che costa).
2. b) Calcola il valore atteso di $G$.
3. c) Interpreta il segno del risultato: se il valore atteso è negativo, dove va a finire quel denaro? Ciò contraddice lo scopo solidale della lotteria?

Una variabile casuale discreta $X$ assume i valori $1$, $2$, $3$ e $4$ con probabilità proporzionali al valore stesso: $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Calcola il valore della costante $k$.
2. b) Trova la media $\mu$.
3. c) Verifica che la varianza vale esattamente $1$ e deduci la deviazione standard.

Il tempo di attesa $X$ (in minuti) dello scuolabus a una fermata è distribuito uniformemente tra $0$ e $10$ minuti, cioè la sua funzione di densità è costante: $f(x) = k$ per $x \in [0, 10]$ e $f(x) = 0$ altrove.

1. a) Calcola il valore di $k$ sapendo che l'area sotto la funzione di densità deve essere $1$.
2. b) Trova la probabilità di attendere tra $2$ e $5$ minuti.
3. c) Trova la probabilità di attendere più di $8$ minuti e spiega perché $P[X = 8] = 0$ anche se attendere esattamente $8$ minuti non è impossibile.

Per finanziare il viaggio di istruzione dell'ultimo anno di liceo, gli studenti progettano una ruota della fortuna benefica. La variabile casuale $X$ rappresenta il guadagno netto in euro di una persona dopo un lancio, e assume soltanto i valori $-3$ € (se perde la puntata), $+1$ € (premio minore) e $+k$ € (premio maggiore, con $k > 1$). Si è stabilito che la probabilità di perdere è $P[X = -3] = 0,40$ e quella di vincere un euro è $P[X = 1] = 0,45$.

1. a) Determina la probabilità $P[X = k]$ di ottenere il premio maggiore, giustificando quale proprietà delle distribuzioni di probabilità utilizzi.
2. b) Imposta l'equazione del valore atteso e calcola il valore esatto di $k$ affinché il gioco sia equo ($E[X] = 0$).
3. c) Se il gruppo organizzatore vuole garantire un incasso medio atteso per il viaggio di $0,45$ € per ogni lancio venduto (cioè che il guadagno netto medio del giocatore sia $E[X] = -0,45$ €), quale valore intero deve essere assegnato al premio $k$?

Un'azienda di corrieri espressi che opera a Napoli analizza il numero di tentativi di consegna falliti $X$ prima di poter consegnare un pacco a mano. Il modello di probabilità stimato per ogni spedizione è il seguente:

$P[X = 0] = 0,60$; $P[X = 1] = 0,25$; $P[X = 2] = 0,10$; $P[X = 3] = 0,05$, senza che si verifichi mai un quarto tentativo fallito.

1. a) Scrivi la funzione di ripartizione $F(x) = P[X \le x]$ per ogni numero reale $x \in \mathbb{R}$, indicando con chiarezza gli intervalli e individuando il valore del salto che si ha in ciascun valore possibile della variabile.
2. b) Ogni tentativo fallito comporta un costo operativo di $3$ € per carburante e tempo del corriere, a cui si aggiunge un costo fisso di gestione di $2$ € per pacco consegnato. Esprimi il costo totale per pacco $C$ come trasformazione lineare di $X$ ($C = aX + b$) e calcola il suo costo medio $E[C]$ e la sua deviazione standard $\sigma_C$.
3. c) Se l'azienda consegna $1.000$ pacchi in una giornata, quale budget totale prevede di destinare a questi costi? Spiega quale principio probabilistico assicura che il costo medio reale di quella giornata si avvicinerà molto a $E[C]$.

Il tempo (in minuti) che un server impiega ad avviarsi dopo un riavvio è una variabile casuale continua $X$ con funzione di densità $f(x) = k \cdot x$ per $x \in [0, 4]$ e $f(x) = 0$ altrove, rappresentata nella figura.

1. a) Calcola il valore di $k$ sapendo che l'area totale sotto la funzione di densità deve essere $1$.
2. b) Trova la probabilità che il server impieghi meno di $2$ minuti ad avviarsi.
3. c) Calcola la mediana di $X$ (il valore $m$ tale che $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) e la media $\mu$. Quale delle due è maggiore? A cosa credi sia dovuto?

Amina studia la variabile $X$ = "numero di guasti settimanali di una fotocopiatrice", con questa distribuzione di probabilità:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Ha calcolato la media, $\mu = 1,7$, e poi ha scritto:

«$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$»

1. a) Rivedi il suo calcolo di $\sum p_i \cdot x_i^2$ e verifica che sia corretto.
2. b) Individua l'errore nella formula che ha applicato per la varianza e correggilo.
3. c) Calcola la deviazione standard corretta.

In un chiosco di una fiera si gioca con due dadi cubici: si vincono $12\ \text{€}$ se escono due numeri uguali (i due dadi uguali), $6\ \text{€}$ se la somma è $7$, e niente in ogni altro caso.

1. a) Calcola la probabilità di ciascun premio e quella di non vincere niente. (Tieni presente che ottenere due numeri uguali e ottenere somma $7$ sono eventi incompatibili; perché?)
2. b) Trova il valore atteso del premio per partita e deduci quale dovrebbe essere il prezzo della puntata perché il gioco sia equo.
3. c) Se il chiosco fa pagare $4\ \text{€}$ a partita, a chi conviene il gioco? Quanto si aspetta di vincere o perdere un giocatore che gioca $100$ partite?

Una variabile casuale discreta $X$ assume i valori $0$, $1$, $2$ e $4$, e la sua funzione di ripartizione soddisfa:

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Sapendo che la media della distribuzione è $\mu = 2,2$, imposta l'equazione che permette di trovare $a$ e calcola il suo valore.
2. b) Scrivi la funzione di probabilità completa di $X$.
3. c) Calcola la varianza e la deviazione standard di $X$, arrotondando ai centesimi.

Sia $X$ una variabile casuale discreta con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$, e sia $Y = a \cdot X + b$ una nuova variabile ottenuta applicando a $X$ una trasformazione lineare.

1. a) Dimostra, a partire dalla definizione di media, che $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Dimostra che $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. Perché la costante $b$ non influisce sulla dispersione?
3. c) Applicazione: in un compito, i voti hanno media $6,2$ e deviazione standard $1,4$. L'insegnante decide di trasformare ogni voto $X$ in $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calcola la nuova media e la nuova deviazione standard.

Per analizzare la variabilità dei punteggi in una prova di selezione, si definisce una variabile discreta $X$ che assume solo quattro valori elevati: $200$, $204$, $208$ e $212$, con probabilità associate rispettivamente $0,15$, $0,35$, $0,30$ e $0,20$. Per calcolare la deviazione standard $\sigma_X$ si discutono due metodi:

• Metodo A (calcolo diretto): calcolare $\mu_X = \sum x_i p_i$, poi $\sum x_i^2 p_i$ (maneggiando quantità superiori a $40.000$) e applicare $\sigma_X = \sqrt{\sum x_i^2 p_i - \mu_X^2}$.

• Metodo B (cambio di variabile lineare): definire una variabile ridotta $Y = \frac{X - 200}{4}$, calcolare la media $\mu_Y$ e la deviazione standard $\sigma_Y$ di questa variabile semplificata (i cui valori sono soltanto $0, 1, 2, 3$), e a partire da esse ricavare $\mu_X$ e $\sigma_X$.

1. a) Applica il Metodo B: scrivi la distribuzione di probabilità di $Y$, calcola $\mu_Y$ e $\sigma_Y$, e determina a partire da esse $\mu_X$ e $\sigma_X$ utilizzando le proprietà delle trasformazioni lineari.
2. b) Applica il Metodo A per verificare il risultato e confronta i due procedimenti: quale rischio di errore di arrotondamento o perdita di precisione numerica presenta il Metodo A rispetto al Metodo B quando si lavora con calcolatrici a precisione limitata?
3. c) Giustifica teoricamente perché la sottrazione $-200$ sposta la media ma non altera affatto la dispersione, mentre la divisione per $4$ scala sia la media sia la deviazione standard.

La funzione di ripartizione del numero giornaliero di guasti tecnici $X$ su una linea ferroviaria suburbana è data da:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,95 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 1 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

1. a) Ricostruisci la funzione di probabilità di $X$ (indicando il valore di $P[X = x_i]$ per ogni valore possibile) a partire dai salti di $F(x)$, e verifica che soddisfi le due condizioni necessarie per essere valida.
2. b) Si sa che in una giornata determinata si è verificato almeno un guasto ($X \ge 1$). Calcola la probabilità condizionata che in quella giornata siano stati registrati esattamente $2$ guasti.
3. c) L'azienda di manutenzione applica una quota fissa giornaliera di $100$ € che copre fino a un guasto (se ci sono $0$ o $1$ guasto non si paga nessun extra); invece, a partire dal secondo guasto (cioè per il secondo e per il terzo), ciascuno genera un costo supplementare di $150$ €. Modellizza la variabile casuale $G$ (spesa giornaliera in euro), determina la sua funzione di probabilità, calcola la spesa media attesa $E[G]$ e spiega perché $G$ non può essere espressa come trasformazione lineare globale della forma $aX + b$ per tutti i valori di $X$.