Esercizi: Le interazioni fondamentali e gli acceleratori

La fisica attuale riconosce quattro interazioni fondamentali: la gravitazionale, l'elettromagnetica, la nucleare debole e la nucleare forte.

1. a) Ordinale dalla più intensa alla meno intensa alla scala del nucleo atomico.
2. b) Quale di esse è, con enorme differenza, la più debole?
3. c) Quali delle quattro possono mantenere due corpi legati in un sistema stabile? Fai un esempio per ciascun caso.

Le quattro interazioni fondamentali differiscono molto per portata, cioè per la distanza a cui sono apprezzabili.

1. a) Quali due interazioni hanno portata infinita, diminuendo con la distanza ma senza annullarsi mai del tutto?
2. b) Quale agisce solo a distanze dell'ordine delle dimensioni di un nucleo atomico, circa $10^{-15}\ \text{m}$?
3. c) Quale ha la portata più corta di tutte, dell'ordine di $10^{-18}\ \text{m}$?

Ogni fenomeno della natura è governato da una delle quattro interazioni fondamentali. Identificala in ciascun caso:

1. a) I protoni e i neutroni restano uniti all'interno del nucleo nonostante l'intensa repulsione elettrica tra i protoni.
2. b) Gli elettroni di un atomo restano legati al nucleo.
3. c) Un nucleo instabile emette un elettrone in un decadimento beta.
4. d) La Terra descrive la sua orbita attorno al Sole e gli oggetti cadono al suolo.

Nel modello standard, ogni interazione è trasmessa dallo scambio di particelle mediatrici chiamate bosoni.

1. a) Quale bosone media l'interazione elettromagnetica?
2. b) Quali bosoni mediano l'interazione nucleare debole?
3. c) Quali bosoni trasmettono l'interazione forte tra i quark?
4. d) Quale particella ipotetica, non ancora rivelata, si postula come mediatrice dell'interazione gravitazionale?

L'interazione gravitazionale e quella elettromagnetica condividono la portata infinita, ma differiscono in aspetti essenziali.

1. a) Quale delle due può essere attrattiva o repulsiva e quale è sempre attrattiva?
2. b) Su quale proprietà dei corpi agisce ciascuna?
3. c) Se quella elettromagnetica è molto più intensa di quella gravitazionale, perché avvertiamo il peso che la Terra esercita su di noi ma nessuna forza elettrica da parte sua? Motiva la risposta pensando alle cariche e alle masse dei corpi macroscopici.

L'interazione nucleare forte è la più intensa delle quattro interazioni fondamentali e, tuttavia, non la percepiamo mai direttamente nella vita quotidiana.

1. a) Qual è la sua portata approssimativa?
2. b) Spiega, a partire da questo dato, perché i suoi effetti restano confinati all'interno dei nuclei atomici.
3. c) Che cosa accadrebbe ai nuclei con più di un protone se l'interazione forte cessasse improvvisamente di esistere? Quali elementi chimici potrebbero esistere?

Per studiare le particelle elementari, i fisici costruiscono acceleratori sempre più grandi e potenti.

1. a) Spiega, usando l'equivalenza $E = m \cdot c^2$, perché produrre in laboratorio particelle molto massive richiede energie di collisione enormi.
2. b) Spiega, usando la relazione di de Broglie $\lambda = \frac{h}{p}$, perché «vedere» strutture sempre più piccole richiede particelle-proiettile sempre più veloci.
3. c) Quale vantaggio energetico ha far scontrare frontalmente due fasci che circolano in versi opposti rispetto a lanciare un solo fascio contro un bersaglio fisso?

L'LHC (Large Hadron Collider) del CERN, vicino a Ginevra, è un anello di $27\ \text{km}$ di circonferenza scavato a circa $100\ \text{m}$ sotto terra, tra Svizzera e Francia. Osserva lo schema dell'anello:

1. a) Quali particelle fa scontrare principalmente l'LHC e da quale elemento chimico si ottengono?
2. b) A che cosa servono le migliaia di magneti superconduttori che rivestono l'anello?
3. c) Indica il traguardo scientifico più noto dell'LHC e l'anno in cui è stato annunciato.

Confronteremo le forze elettrica e gravitazionale tra due protoni separati da una distanza $r$ qualsiasi. Dati: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ e $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Scrivi le espressioni della forza elettrica $F_e = K\,\frac{e^2}{r^2}$ e della forza gravitazionale $F_g = G\,\frac{m_p^2}{r^2}$, e verifica che il loro rapporto non dipende dalla distanza $r$.
2. b) Calcola il valore numerico del rapporto $\frac{F_e}{F_g}$ ed esprimilo in notazione scientifica.
3. c) Spiega quale conclusione si ricava da questo risultato sul ruolo della gravità nella fisica delle particelle.

Pur essendo la più debole delle quattro, l'interazione gravitazionale domina completamente il comportamento dell'universo su larga scala.

1. a) Spiega perché l'interazione elettromagnetica, molto più intensa, influisce appena sul moto di pianeti e stelle. Pensa alla carica elettrica netta dei corpi astronomici.
2. b) Perché la massa, a differenza della carica, non si «compensa» mai sommando quella di molti corpi?
3. c) Ordina le quattro interazioni secondo la loro importanza nella dinamica del sistema solare e giustifica brevemente l'ordine scelto.

Nell'LHC ogni protone raggiunge un'energia di $6,5\ \text{TeV}$ ($1\ \text{TeV} = 10^{12}\ \text{eV}$). Dati: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; l'energia cinetica di una zanzara in volo è di circa $10^{-6}\ \text{J}$.

1. a) Esprimi in joule l'energia di un protone dell'LHC.
2. b) Confrontala con l'energia cinetica della zanzara e commenta come sia possibile che una singola particella subatomica concentri un'energia di quest'ordine.
3. c) In ogni collisione frontale si sommano le energie dei due protoni, $13\ \text{TeV}$ in totale. Se tutta questa energia si convertisse in massa a riposo di nuovi protoni ($E_0 = 938\ \text{MeV}$ ciascuno), quanti protoni potrebbero essere creati al massimo? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

La risoluzione con cui un fascio di particelle può esplorare una struttura è limitata dalla sua lunghezza d'onda di de Broglie: si «vedono» solo dettagli maggiori di $\lambda$. Per particelle ultrarelativistiche vale $\lambda \approx \frac{h \cdot c}{E}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola $\lambda$ per un protone dell'LHC con energia $6,5\ \text{TeV}$.
2. b) La dimensione di un protone è di circa $10^{-15}\ \text{m}$: confrontala con il tuo risultato e spiega se il fascio può risolvere la struttura interna del protone.
3. c) Stima, con la stessa formula, la $\lambda$ degli elettroni di un microscopio elettronico accelerati con $100\ \text{kV}$ (energia di $100\ \text{keV}$) e spiega perché questo strumento non può servire a studiare i quark.

I neutrini partecipano solo all'interazione nucleare debole (e a quella gravitazionale, del tutto trascurabile alla loro scala). La portata dell'interazione debole è appena $10^{-18}\ \text{m}$.

1. a) Spiega quale conseguenza ha una portata così corta sulla probabilità che un neutrino interagisca con un atomo attraversando la materia.
2. b) Un reattore nucleare emette dell'ordine di $10^{20}$ antineutrini al secondo, ma in un rivelatore vicino se ne registrano solo pochi al giorno: collega questo fatto alle proprietà dell'interazione debole.
3. c) Proprio per la stessa ragione si dice che i neutrini sono «messaggeri ideali» dell'interno del Sole o di una supernova lontana: spiega a che cosa si riferisce questa espressione.

In un acceleratore circolare, una particella carica costretta a curvare la sua traiettoria emette radiazione (radiazione di sincrotrone) e perde energia. A parità di energia, queste perdite sono enormemente maggiori quanto minore è la massa della particella. Dati: $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$ e $m_p = 938\ \text{MeV}/c^2$.

1. a) Calcola quante volte è più massivo il protone dell'elettrone e spiega perché l'LHC accelera protoni e non elettroni per raggiungere le energie maggiori.
2. b) Quale vantaggio avrebbe, tuttavia, un collisore di elettroni? Pensa alla struttura interna di ciascuna particella.
3. c) Gli acceleratori lineari riducono molto il problema della radiazione di sincrotrone: spiega perché, pensando alla traiettoria delle particelle.

Nell'LHC i fasci si incrociano circa $4\cdot10^{7}$ volte al secondo, ma solo una frazione minuscola delle collisioni contiene processi davvero interessanti. Il bosone di Higgs, per esempio, si produce approssimativamente una volta ogni $10^{10}$ collisioni.

1. a) Stima quanti bosoni di Higgs si producono al secondo e quanto tempo occorre, in media, per produrne uno.
2. b) Spiega perché sono serviti mesi di acquisizione dati per accumulare un campione sufficiente di Higgs e annunciare la scoperta.
3. c) I rivelatori non possono registrare tutti gli eventi e devono filtrarli in tempo reale, scartandone quasi la totalità: spiega quale problema pratico (volume di dati) lo rende necessario.

L'immagine dello scambio di bosoni spiega qualitativamente la portata di ciascuna interazione: quanto più massivo è il bosone mediatore, tanto più corta è la portata, poiché la particella virtuale può «esistere» solo per un tempo brevissimo secondo il principio di indeterminazione.

1. a) Il fotone non ha massa: quale portata prevede questa idea per l'interazione elettromagnetica?
2. b) I bosoni $\text{W}$ e $\text{Z}$ hanno masse enormi, di $80\ \text{GeV}/c^2$ e $91\ \text{GeV}/c^2$: che cosa implica ciò sulla portata dell'interazione debole?
3. c) I gluoni non hanno massa e, tuttavia, l'interazione forte ha portata corta ($10^{-15}\ \text{m}$): spiega a quale fenomeno, studiato nel tema, è dovuto questo caso particolare.

Negli anni Venti, gli esperimenti sul decadimento beta mostrarono un risultato sconcertante: gli elettroni emessi non uscivano tutti con la stessa energia, come richiederebbe un processo a due corpi, ma con uno spettro continuo di energie. Osserva il grafico:

1. a) Spiega quali principi di conservazione (energia e quantità di moto) sembravano violati se nel decadimento fosse emesso solo l'elettrone.
2. b) Quale ipotesi formulò Wolfgang Pauli nel 1930 per salvare tali principi e quali proprietà (carica, massa, interazione con la materia) doveva avere la particella proposta?
3. c) Questa particella, il neutrino, non fu rivelata sperimentalmente fino al 1956: collega questo ritardo di 26 anni alla portata dell'interazione debole e alle proprietà che Pauli le attribuì.

Negli anni Sessanta, Glashow, Weinberg e Salam dimostrarono che le interazioni elettromagnetica e debole sono due manifestazioni di un'unica interazione, quella elettrodebole, il che valse loro il premio Nobel.

1. a) Spiega che cosa significa «unificare» due interazioni e in quale regime di energie (molto alte o quotidiane) si manifesterebbero come una sola.
2. b) Se i bosoni $\text{W}$ e $\text{Z}$ hanno massa e il fotone no, spiega perché alle energie della vita quotidiana le due interazioni sembrano completamente diverse per portata e intensità.
3. c) L'interazione gravitazionale non è ancora stata unificata con le altre: commenta quale difficoltà fondamentale la separa dalle altre tre (pensa all'esistenza o meno di una teoria quantistica della gravità e alla rivelazione del gravitone).

Per mantenere i protoni dell'LHC sulla loro orbita circolare si usano magneti dipolari superconduttori. Il raggio magnetico effettivo dell'anello è $r = 2,8\ \text{km}$. Per una particella carica ultrarelativistica vale $p \approx \frac{E}{c}$ e il raggio della traiettoria in un campo magnetico perpendicolare è $r = \frac{p}{q \cdot B}$. Dati: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola la quantità di moto di un protone di $7\ \text{TeV}$ in $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
2. b) Ricava il campo magnetico dall'espressione del raggio e calcola il valore necessario per curvare questi protoni nell'anello.
3. c) Il campo massimo ottenibile con un elettromagnete convenzionale a nucleo di ferro è di circa $2\ \text{T}$: confrontalo con il tuo risultato e giustifica perché l'LHC ha bisogno di magneti superconduttori raffreddati con elio liquido a $1,9\ \text{K}$.

Tra due protoni, la forza elettrica è circa $1,2\cdot10^{36}$ volte maggiore della forza gravitazionale.

1. a) Stabilisci se è lecito trascurare completamente la gravità nell'analizzare una collisione tra particelle in un acceleratore.
2. b) All'interno di una stella, invece, la gravità comprime la materia fino a vincere la repulsione elettrica tra i nuclei e ad innescare la fusione: spiega come sia possibile che l'interazione più debole imponga la sua legge a scala stellare. Pensa a che cosa accade sommando la massa di $10^{57}$ particelle rispetto alla compensazione delle loro cariche.
3. c) All'interno di un buco nero la gravità domina persino sull'interazione forte: commenta perché si afferma che in questi estremi la fisica attuale non dispone di una teoria completa.

Il bosone di Higgs ha una vita media di appena $10^{-22}\ \text{s}$: decade molto prima di poter raggiungere un qualsiasi rivelatore. Dato: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la distanza massima che percorrerebbe in quel tempo anche viaggiando praticamente alla velocità della luce, e concludi perché è impossibile osservarlo direttamente.
2. b) Come si «rivela» allora una particella simile? Spiega il ruolo dei prodotti del suo decadimento (per esempio due fotoni o quattro leptoni) e delle leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto per ricostruirne la massa.
3. c) Il segnale dell'Higgs era un piccolo eccesso statistico su un enorme fondo di eventi simili: spiega perché l'annuncio del 2012 richiese di accumulare milioni di collisioni e di applicare un criterio statistico così esigente come quello delle «cinque sigma».

I raggi cosmici raggiungono energie molto superiori a quelle di qualsiasi acceleratore: nel 1991 l'osservatorio Fly's Eye (Utah) rivelò una particella, battezzata «Oh-My-God», con un'energia di circa $3\cdot10^{20}\ \text{eV}$. Dati: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; nell'LHC ogni protone porta $6,5\ \text{TeV}$.

1. a) Esprimi in joule l'energia di questa particella e commenta perché il risultato è sorprendente trattandosi di una singola particella subatomica.
2. b) Quante volte era più energetica di un protone dell'LHC? Esprimilo in notazione scientifica.
3. c) Se i raggi cosmici sono così energetici e arrivano gratis dallo spazio, spiega con almeno due argomenti perché si continuano a costruire acceleratori come l'LHC (pensa alla frequenza di arrivo, al controllo del punto e delle condizioni di collisione e alla possibilità di ripetere l'esperimento).

In un urto di un fascio contro un bersaglio fisso, gran parte dell'energia viene impiegata per conservare la quantità di moto del sistema e non resta disponibile per creare nuove particelle. Dati: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Osserva i due montaggi:

1. a) Spiega, usando la conservazione della quantità di moto, perché in una collisione frontale di due fasci uguali (quantità di moto totale nulla) tutta l'energia è disponibile per creare massa secondo $E = m \cdot c^2$.
2. b) L'LHC fa scontrare protoni di $6,5\ \text{TeV}$ contro protoni di $6,5\ \text{TeV}$: qual è l'energia nel centro di massa di ogni collisione? Esprimila in $\text{TeV}$ e in joule.
3. c) Spiega quali inconvenienti pratici ha la modalità a collisore rispetto al bersaglio fisso (pensa alla probabilità che due fasci minuscoli si scontrino e alla precisione tecnologica richiesta).

Elaborato di sintesi: «Quattro interazioni per un universo».

1. a) Riassumi in uno schema le quattro interazioni fondamentali indicando, per ciascuna: bosone mediatore, portata, intensità relativa e un fenomeno quotidiano o astronomico che governa.
2. b) Spiega perché i fenomeni a scala umana (la chimica, la luce, l'elettricità, i materiali) sono governati essenzialmente dall'interazione elettromagnetica, nonostante ne esistano altre tre.
3. c) Concludi discutendo il ruolo dei grandi acceleratori nella verifica sperimentale di queste idee e perché la fisica di frontiera (l'Higgs, l'antimateria, l'unificazione) ha valore anche se non offre applicazioni immediate.

Sfida del tema. Diventa un ricercatore del CERN realizzando una relazione sulle collisioni e sul rilevamento delle particelle subatomiche.

1. Consulta sul portale ufficiale CERN Open Data la massa del bosone $Z$ ($M_Z \approx 91,2\text{ GeV}/c^2$). Identifica in una breve scheda la sua interazione fondamentale, il bosone mediatore e le particelle fondamentali (quark o leptoni) in cui può decadere secondo il Modello Standard.

2. Modella la diffusione nei collisori: fai rotolare una biglia lungo una rampa fatta in casa verso un ostacolo cilindrico fisso e misura con un righello la deviazione laterale $y$ dopo l'urto, a una distanza fissa $L$ dall'ostacolo ($10$ ripetizioni), stimando un'incertezza di $\Delta y = \pm 0,1\text{ cm}$.

3. Costruisci una tabella con i tuoi valori ($y_i \pm \Delta y$) e realizza un grafico di dispersione delle frequenze in base all'angolo di deviazione stimato $\theta_i \approx \arctan(y_i/L)$.

4. Redigi una proposta argomentata che colleghi il tuo esperimento al funzionamento degli acceleratori attuali: spiega come l'LHC curva e rivela i leptoni carichi mediante campi magnetici ($F = q \cdot v \cdot B$) per ricostruire eventi come quello del bosone $Z$.

Sarà valutato:

• Identificazione rigorosa delle particelle e delle interazioni del Modello Standard usando dati del CERN.

• Correttezza metodologica nella raccolta delle misure, nel calcolo delle incertezze, nella tabella e nel grafico.

• Qualità della relazione nel collegare l'esperimento casalingo con la fisica degli acceleratori e dei rivelatori.