Esercizi: Combinazioni lineari di vettori. Basi

Dati i vettori $\vec{u} = (2, -3)$ e $\vec{v} = (-4, 6)$, giustifica matematicamente se possono formare una base dello spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$.

Calcola le coordinate del vettore risultante della combinazione lineare $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sapendo che $\vec{a} = (1, 4)$ e $\vec{b} = (-2, 5)$.

Determina il valore del parametro $m$ affinché i vettori $\vec{p} = (m, 4)$ e $\vec{q} = (3, -2)$ siano linearmente dipendenti.

Esprimi il vettore $\vec{c} = (5, -2)$ come combinazione lineare dei vettori della base canonica $\vec{i} = (1, 0)$ e $\vec{j} = (0, 1)$.

Verifica se l'insieme di vettori $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonale del piano.

Sapendo che $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, con $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ e $\vec{w} = (2, 7)$, trova il valore dello scalare $k$.

Verifica se i vettori $\vec{u} = (3, 0)$ e $\vec{v} = (0, -2)$ formano una base ortogonale di $\mathbb{R}^2$.

Motiva se tre vettori non nulli nel piano, ad esempio $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ e $\vec{w} = (3, 0)$, possono essere contemporaneamente linearmente indipendenti.

Uno studente, Marco, deve scoprire se i vettori $\vec{u} = (2, -1)$ e $\vec{v} = (-6, 3)$ formano una base del piano $\mathbb{R}^2$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Calcoliamo il prodotto scalare: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 3 = -12 - 3 = -15$. Poiché il prodotto scalare non è zero, i vettori non sono perpendicolari e, quindi, non hanno la stessa direzione; questo significa che sono linearmente indipendenti e formano una base di $\mathbb{R}^2$».

Individua l'errore concettuale commesso da Marco, spiega con rigore perché la sua deduzione è falsa e scrivi la giustificazione matematica corretta per determinare se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ formano o no una base.

Considera i vettori $\vec{u} = (2, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 2)$, che formano una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ di $\mathbb{R}^2$, e il vettore obiettivo $\vec{w} = (3, 4)$.

1. a) Senza risolvere alcun sistema di equazioni, stima in modo motivato il segno degli scalari $a$ e $b$ nella combinazione lineare $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ e argomenta quale dei due coefficienti dovrebbe avere valore assoluto maggiore osservando i quadranti verso cui punta ciascun vettore.
2. b) Imposta il sistema di equazioni lineari, calcola con esattezza le coordinate $(a, b)_B$ di $\vec{w}$ in tale base e verifica se il risultato numerico concorda con la tua stima precedente.

Due rimorchiatori trainano una nave in avaria con forze $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N e $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un terzo rimorchiatore si aggiunge applicando una forza $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Esprimi la forza $\vec{F}_3$ come combinazione lineare dei vettori $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$, trovando le coordinate di $\vec{F}_3$ nella base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Nel motore fisico di un videogioco, il movimento di un personaggio è definito in una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, dove $\vec{u} = (2, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 3)$. Se il personaggio deve spostarsi al punto indicato dal vettore $\vec{d} = (8, -3)$ rispetto alla base canonica, quali saranno le coordinate del vettore di spostamento nella base $B$?

Dato il parallelogramma $ABCD$ in figura, esprimi i vettori corrispondenti alle diagonali $\vec{AC}$ e $\vec{BD}$ come combinazione lineare dei vettori dei lati $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AD}$.

Un'azienda di logistica utilizza due tipi di furgoni. La capacità di carico del furgone di tipo A è rappresentata dal vettore $\vec{a} = (3, 2)$, che indica 3 pallet di frutta e 2 di verdura. Il tipo B è rappresentato da $\vec{b} = (1, 4)$. Se un centro commerciale effettua un ordine esatto di 11 pallet di frutta e 14 di verdura, rappresentato da $\vec{p} = (11, 14)$, trova gli scalari della combinazione lineare $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ per determinare quanti viaggi di ciascun furgone sono necessari.

Determina un vettore $\vec{v}$ tale che l'insieme $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ formi una base ortonormale, sapendo che $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. La soluzione è unica? Giustifica la risposta.

Un drone sottomarino si muove in un ambiente con correnti marine. Il suo sistema di navigazione autonoma utilizza una base formata dai vettori $\vec{c}_1 = (1, 2)$ e $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. Il drone registra uno spostamento $\vec{w}$ le cui coordinate in questa base sono $(4, -1)_B$. Calcola le coordinate del vettore $\vec{w}$ nella base canonica.

Trova i valori di $a$ e $b$ affinché i vettori $\vec{u} = (a, 3)$ e $\vec{v} = (-2, b)$ formino una base ortogonale, sapendo inoltre che il modulo del vettore $\vec{u}$ è esattamente $5$.

Nel piano in figura sono mostrati i vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Determina le coordinate nella base canonica del vettore risultante $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

Nel centro di controllo della Guardia Costiera a Messina, un operatore monitora un drone di soccorso nello Stretto. A causa delle condizioni ambientali locali, il pilota automatico scompone i movimenti in due direzioni di riferimento: quella del vento dominante di Levante $\vec{v}_L = (4, 1)$ e quella della corrente marina superficiale $\vec{v}_C = (-1, 3)$ (entrambe le velocità espresse in $\text{m/s}$ rispetto a degli assi canonici ortonormali).

1. a) Giustifica analiticamente che $B = \{\vec{v}_L, \vec{v}_C\}$ forma una base di $\mathbb{R}^2$ e verifica se si tratta di una base ortogonale.
2. b) Il drone deve raggiungere una velocità risultante rispetto al suolo di $\vec{v}_{req} = (11, 6)\text{ m/s}$. Modella questa situazione esprimendo $\vec{v}_{req}$ come combinazione lineare di $\vec{v}_L$ e $\vec{v}_C$ per ottenere le sue coordinate nella base $B$.
3. c) I propulsori del drone possono fornire solo un fattore di spinta nella direzione della corrente compreso tra $-1$ e $2$ unità. Alla luce delle coordinate ottenute, interpreta se la manovra è fisicamente realizzabile con questa configurazione.

Si vuole esprimere il vettore $\vec{w} = (2, 11)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B = \{\vec{u} = (3, 4), \vec{v} = (-4, 3)\}$ per trovarne le coordinate $(a, b)_B$.

Per risolvere il problema si propongono due strade:

• Metodo 1 (algebrico generale): impostare il sistema $a(3, 4) + b(-4, 3) = (2, 11)$ e risolverlo per sostituzione, confronto o riduzione.

• Metodo 2 (sfruttare l'ortogonalità): verificare che $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ e applicare il fatto che, in una base ortogonale, facendo il prodotto scalare di entrambi i membri di $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ con ciascun vettore della base si ottengono direttamente $a = \frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}$ e $b = \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}$.

1. a) Esegui i calcoli completi applicando entrambi i metodi e verifica che portano allo stesso risultato.
2. b) Confronta i due procedimenti: giustifica quale risulta più vantaggioso in termini di rapidità e minore probabilità di errore di calcolo, e spiega perché il Metodo 2 non funzionerebbe se la base non fosse ortogonale.

Dimostra analiticamente che se $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ è una base dei vettori del piano, allora anche l'insieme $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ forma una base. Se un vettore $\vec{w}$ ha coordinate $(3, 5)$ nella base $B$, trova le sue coordinate nella nuova base $B'$.

Per garantire la stabilità di un nodo in una struttura reticolare piana, i vettori direttori di due aste concorrenti devono essere linearmente indipendenti. I vettori di progetto sono $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ e $\vec{d}_2 = (2, k)$. Determina per quali valori del parametro $k$ il nodo è instabile (i vettori non formano una base). Successivamente, supponendo $k=0$, esprimi il vettore di carico esterno $\vec{P} = (4, -6)$ come combinazione lineare di $\vec{d}_1$ e $\vec{d}_2$.

Nell'esagono regolare $ABCDEF$ di centro $O$ mostrato in figura, si definiscono i vettori di base $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AF}$. Esprimi i vettori $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ e $\vec{BC}$ come combinazione lineare della base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

Nello studio di un reticolo cristallino bidimensionale si definiscono due basi per il piano: la base primitiva $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ e una base secondaria $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sapendo che $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ e $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, trova le coordinate nella base $B_1$ di un difetto puntiforme il cui vettore posizione nella base $B_2$ è $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.

Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ due vettori non nulli tali che l'angolo da essi formato è $60^\circ$, con $|\vec{u}| = 2$ e $|\vec{v}| = 3$. Se si definisce il vettore $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcola la relazione che deve sussistere tra i parametri $m$ e $n$ affinché il vettore $\vec{w}$ sia perpendicolare al vettore $\vec{u}$.

Il braccio di un robot industriale si muove in un piano definito da una base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ ortogonale ma non ortonormale, dove $|\vec{e}_1| = 2$ e $|\vec{e}_2| = 4$. Un comando di traiettoria gli indica di spostarsi secondo il vettore $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcola il modulo esatto del vettore spostamento $\vec{v}$ e il coseno dell'angolo che forma con il vettore di base $\vec{e}_1$.

Trova tutti i vettori $\vec{x} = (x_1, x_2)$ che, espressi come combinazione lineare della base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, hanno coordinate $(a, b)_B$ tali che $a = b$ e, inoltre, il cui modulo nella base canonica è esattamente $\sqrt{45}$.

Dati i punti $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ e $C(x, y)$, determina le coordinate del punto $C$ sapendo che i vettori $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AC}$ formano una base del piano nella quale il vettore $\vec{w} = (0, -6)$ ha per coordinate $(2, -1)_B$.

Un progettista tecnico deve configurare un sistema di coordinate oblique $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ nel piano di lavoro. Sono noti i seguenti requisiti:

1. Il primo vettore della base ha la forma $\vec{u} = (1, k)$ e il secondo vettore ha la forma $\vec{v} = (m, 1)$, con $k, m \in \mathbb{R}$.

2. I vettori devono essere perpendicolari tra loro, in modo che la base $B$ sia ortogonale.

3. Un punto di ancoraggio situato nella posizione canonica $\vec{w} = (5, 5)$ deve avere come coordinate nella base $B$ esattamente $(a, b)_B = (3, -1)$.

1. a) Imposta e risolvi il sistema di equazioni che permette di determinare i valori numerici di $k$ e $m$.
2. b) Determina se la base ottenuta $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ è ortonormale. In caso negativo, costruisci a partire da essa una base ortonormale $B' = \{\vec{u}', \vec{v}'\}$ mantenendo gli stessi versi e calcola le nuove coordinate di $\vec{w}$ in $B'$.
3. c) Dimostra che il modulo del vettore $\vec{w}$ coincide sia se calcolato con le sue componenti canoniche sia se calcolato mediante la usuale formula euclidea applicata alle sue coordinate nella base ortonormale $B'$, e rifletti brevemente sul perché ciò non avviene con le sue coordinate nella base $B$.

In una base operativa del 118 sulle Alpi, il team di navigazione aerea studia le traiettorie di un elicottero di soccorso. Due venti di valle abituali sono descritti dai vettori $\vec{v}_1 = (2, 1)$ e $\vec{v}_2 = (k, 3)$, misurati in nodi.

1. a) Trova il valore del parametro reale $k$ per il quale i vettori $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ sono linearmente dipendenti. Spiega quale limitazione geometrica e operativa comporterebbe per la navigazione dell'elicottero il fatto che $k$ assumesse quel valore critico.
2. b) Per $k = -1$, dimostra che $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ è una base di $\mathbb{R}^2$ e trova le coordinate in tale base del vettore di manovra $\vec{w} = (5, 6)$.
3. c) Un copilota formula la seguente ipotesi generale: «Se ai due vettori di una qualsiasi base $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ di $\mathbb{R}^2$ si somma uno stesso vento di raffica non nullo $\vec{r} = (1, 2)$, il nuovo insieme ottenuto $B' = \{\vec{v}_1 + \vec{r}, \vec{v}_2 + \vec{r}\}$ continuerà sempre a essere una base di $\mathbb{R}^2$». Dimostra se l'affermazione del copilota è vera o falsa analizzando algebricamente la dipendenza lineare di $B'$ in funzione di $k$ e fornendo, se opportuno, un controesempio esplicito.