Esercizi: Teorema del coseno

In un triangolo $ABC$ sono noti i lati $b=5$ cm, $c=8$ cm e l'angolo compreso $A=60^\circ$. Calcola la lunghezza del lato $a$.

In un triangolo $ABC$ le lunghezze dei lati sono $a=3$ cm, $b=5$ cm e $c=7$ cm. Calcola l'ampiezza dell'angolo $C$.

In un triangolo $ABC$ i lati misurano $a=10$ cm, $b=12$ cm e l'angolo compreso è $C=45^\circ$. Imposta il teorema del coseno per calcolare il valore esatto del lato $c$.

Determina la misura dell'angolo $B$ in un triangolo i cui lati sono $a=7$ cm, $b=8$ cm e $c=9$ cm.

Un parallelogramma ha due lati adiacenti che misurano 4 cm e 6 cm. Se l'angolo compreso tra essi è di $120^\circ$, calcola la lunghezza della diagonale maggiore.

Calcola la distanza tra due punti inaccessibili $A$ e $B$, sapendo che da un punto di osservazione $C$ sono state misurate le distanze $CA = 15$ m e $CB = 20$ m, e che l'angolo visuale $ACB$ è di $40^\circ$.

In un triangolo isoscele $ABC$ i lati $a$ e $b$ misurano 6 cm ciascuno, e l'angolo al vertice $C=30^\circ$. Calcola il valore esatto del lato $c$ lasciando il risultato con i radicali.

Determina l'angolo maggiore di un triangolo i cui lati misurano 4 cm, 5 cm e 6 cm.

Lucia deve calcolare la distanza tra due boe, $B$ e $C$, conoscendo le distanze dalla sua posizione di osservazione $A$ ($b = AC = 6\text{ m}$ e $c = AB = 10\text{ m}$) e l'angolo formato dalle visuali, $\widehat{A} = 120^\circ$. Nella sua verifica scrive il seguente svolgimento:

1. a) Senza rifare all'inizio i calcoli numerici, ragiona geometricamente sul perché il risultato di Lucia non può essere corretto confrontando la figura con un triangolo rettangolo di cateti $6\text{ m}$ e $10\text{ m}$.
2. b) Individua l'errore matematico specifico commesso da Lucia, spiega quale proprietà dei rapporti trigonometrici non ha considerato e calcola il valore corretto del lato $a$ arrotondato a due cifre decimali.

Due tratti rettilinei di un sentiero omologato nella zona di Cortina misurano $b = 7\text{ km}$ e $c = 8\text{ km}$, e si biforcano formando un angolo $\widehat{A} = 58^\circ$. Il comitato del parco vuole tracciare un percorso rettilineo diretto che colleghi i due estremi liberi (lato $a$).

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo con la calcolatrice: tenendo conto che $58^\circ$ è molto vicino a $60^\circ$ e che i lati sono quasi uguali ($7\text{ km}$ e $8\text{ km}$), fai una stima ragionata di quanto misurerà approssimativamente il lato $a$. Tra quali due valori estremi deve necessariamente trovarsi per la disuguaglianza triangolare?
2. b) Applica il teorema del coseno con $\cos(58^\circ) \approx 0,530$ per calcolare la lunghezza esatta di $a$ arrotondando a due cifre decimali.
3. c) Confronta la tua stima iniziale con il risultato ottenuto e giustifica se il valore è fisicamente verosimile.

Due aerei partono dallo stesso aeroporto contemporaneamente. L'aereo A vola a $800$ km/h con una rotta di $040^\circ$ e l'aereo B vola a $650$ km/h con una rotta di $115^\circ$. Quale distanza in linea retta li separa dopo 1,5 ore di volo?

Per misurare la distanza attraverso un lago tra i punti $A$ e $B$, un topografo si colloca nel punto $C$. Misura le distanze $CA = 125,5$ m e $CB = 180,2$ m, e l'angolo $ACB = 75^\circ$. Calcola la distanza $AB$.

Due forze di 45 N e 60 N agiscono su uno stesso punto materiale formando tra loro un angolo di $50^\circ$. Calcola l'intensità della forza risultante.

Le diagonali di un parallelogramma misurano 12 cm e 16 cm, e si intersecano formando un angolo di $65^\circ$. Calcola la lunghezza dei quattro lati del parallelogramma.

Una capriata triangolare di un tetto ha lati di 5 m, 7 m e 9 m. Calcola l'angolo opposto al lato più lungo.

In un campo di calcio un giocatore si trova a 25 m da un palo della porta e a 28 m dall'altro palo. Sapendo che la porta ha una larghezza regolamentare di 7,32 m, sotto quale angolo il giocatore vede la porta da un estremo all'altro?

Due satelliti orbitano attorno alla Terra. Da una stazione di tracciamento, le distanze in linea retta dai satelliti sono 400 km e 600 km, e l'angolo tra le loro linee di vista è di $35^\circ$. A che distanza si trovano i satelliti l'uno dall'altro?

In una circonferenza di raggio 10 cm, una corda sottende un angolo al centro di $100^\circ$. Calcola la lunghezza della corda utilizzando il teorema del coseno nel triangolo formato dai raggi e dalla corda.

In un triangolo di lati noti $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ e $c = 9\text{ cm}$, si vuole trovare l'ampiezza dei suoi tre angoli combinando il teorema del coseno con il teorema dei seni per risparmiare tempo di calcolo. Due compagni propongono strategie diverse per il primo passo:

• Marco propone: «Calcoliamo prima l'angolo minore, $\widehat{A}$, usando il teorema del coseno e, poi, ricaviamo l'angolo maggiore, $\widehat{C}$, mediante il teorema dei seni».

• Sara replica: «È molto più sicuro calcolare prima l'angolo maggiore, $\widehat{C}$, mediante il teorema del coseno e, a partire da esso, trovare $\widehat{A}$ con il teorema dei seni».

1. a) Giustifica matematicamente quale dei due metodi è preferibile e spiega quale rischio o ambiguità matematica comporta l'altro nell'uso della funzione inversa $\operatorname{arcsen}$ nell'intervallo $[0^\circ, 180^\circ]$.
2. b) Seguendo la strategia corretta, determina con ragionamento se il triangolo è acutangolo od ottusangolo esaminando soltanto il segno di $\cos \widehat{C}$, e calcola il valore dei tre angoli del triangolo arrotondati al grado più vicino.

Durante le attività di sorveglianza antincendio nel Parco nazionale del Gran Sasso, una torre di controllo situata nel punto di osservazione $P$ avvista due colonne di fumo in punti tra loro inaccessibili, $F_1$ e $F_2$.

Con il telemetro laser e il goniometro della stazione si ottengono le seguenti misure:

• Distanza dalla prima colonna: $d(P, F_1) = 3,4\text{ km}$.

• Distanza dalla seconda colonna: $d(P, F_2) = 5,2\text{ km}$.

• Angolo orizzontale formato dalle due visuali: $\widehat{F_1 P F_2} = 115^\circ$.

1. a) Modella la disposizione dei tre punti mediante un triangolo, individua gli elementi noti e calcola la distanza in linea retta che separa i due focolai di fumo (arrotonda a due cifre decimali).
2. b) La squadra eliportata dispone di una manichetta di emergenza a stesa rapida di $7\text{ km}$. Giustifica se con questa attrezzatura sarebbe possibile collegare direttamente i due focolai senza passare per il posto di osservazione $P$.

In un triangolo, le lunghezze dei lati sono $x$, $x+2$ e $x+4$. Se il maggiore degli angoli misura $120^\circ$, imposta l'equazione corrispondente, determina il valore di $x$ e le lunghezze esatte dei tre lati.

Dimostra algebricamente che in qualsiasi triangolo $ABC$ vale la seguente relazione:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

In un triangolo $ABC$, i lati misurano $a=8$ cm, $b=10$ cm e $c=12$ cm. Calcola la lunghezza esatta della mediana $m_a$ condotta dal vertice $A$ al punto medio del lato $a$.

Un quadrilatero inscrivibile (ciclico) $ABCD$ ha lati di lunghezza $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm e $DA=6$ cm. Tenendo conto delle proprietà degli angoli opposti in un quadrilatero ciclico, imposta un sistema utilizzando il teorema del coseno nei triangoli $ABC$ e $ADC$ per calcolare la lunghezza esatta della diagonale $AC$.

Se in un triangolo $ABC$ vale la relazione algebrica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la misura esatta dell'angolo $A$ senza usare la calcolatrice.

Un triangolo ha una base fissa $c = 10$ cm e un perimetro costante $p = 26$ cm. Se l'angolo $C$ opposto alla base misura $60^\circ$, imposta un sistema di equazioni e trova le lunghezze esatte degli altri due lati $a$ e $b$.

Due circonferenze di raggio 5 cm e 8 cm si intersecano in due punti. La distanza tra i loro centri è di 10 cm. Calcola la lunghezza della corda comune alle due circonferenze. (Suggerimento: usa il teorema del coseno per trovare l'angolo al centro nel triangolo formato dai raggi e dalla linea dei centri, e da lì ricava l'altezza del triangolo).

Calcola l'angolo acuto formato da due diagonali principali di un cubo. Per farlo, esprimi la lunghezza della diagonale in funzione dello spigolo $a$ e applica il teorema del coseno nel triangolo formato dalle metà di due diagonali e da uno spigolo del cubo.

Si progetta una capriata triangolare in acciaio per il tetto di un capannone industriale. Due delle travi strutturali hanno lunghezze fisse di $b = 5\text{ m}$ e $c = 8\text{ m}$.

1. a) Scrivi una disequazione in funzione della lunghezza del terzo lato, $a$, che garantisca che l'angolo $\widehat{A}$ compreso tra le due travi date sia strettamente ottuso ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Determina l'intervallo dei valori reali possibili per la lunghezza $a$.
2. b) Supponi ora che il capitolato venga modificato fissando la trave $a = 7\text{ m}$ e l'angolo $\widehat{A} = 60^\circ$, mantenendo $c = 8\text{ m}$, ma lasciando come incognita da dimensionare la lunghezza della trave $b$. Imposta l'equazione di secondo grado che $b$ deve soddisfare applicando il teorema del coseno.
3. c) Risolvi l'equazione ottenuta, verifica se le soluzioni trovate sono geometricamente accettabili mediante la disuguaglianza triangolare e spiega perché questo caso fornisce due configurazioni triangolari distinte e valide con gli stessi dati iniziali.

Durante le manovre di attracco nel porto esterno di Genova, due rimorchiatori tirano contemporaneamente una nave mercantile applicando forze complanari di intensità fisse $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ e $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. I cavi di traino formano tra loro un angolo $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Stima in modo motivato tra quali due valori estremi deve trovarsi il modulo della forza risultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ considerando le situazioni limite in cui i cavi tirassero nella stessa direzione e verso, oppure in versi opposti.
2. b) Rappresentando la somma vettoriale con la regola del parallelogramma, si ottiene un triangolo i cui lati contigui sono $|\vec{F}_1|$ e $|\vec{F}_2|$, e il cui terzo lato rappresenta il vettore risultante $\vec{R}$. Giustifica geometricamente perché l'angolo opposto a $\vec{R}$ in tale triangolo misura $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, e non $40^\circ$.
3. c) Applica il teorema del coseno per determinare il modulo esatto della forza risultante $\vec{R}$ (in $\text{kN}$, arrotondato a una cifra decimale) e verifica la precisione della tua stima.
4. d) Per esigenze di sicurezza strutturale dello scafo, la forza risultante totale non può superare $105\text{ kN}$. Imposta la disequazione corrispondente e ricava l'angolo minimo $\alpha$ che devono formare i cavi dei rimorchiatori per non superare tale limite.