Esercizi: Tecniche di conteggio

In un club di sport elettronici (eSports) si analizza la specializzazione dei suoi 100 soci. Si sa che 65 di loro giocano abitualmente a League of Legends (evento $L$), 40 giocano a Valorant (evento $V$) e 15 giocano a entrambi i videogiochi.

Calcola la probabilità che, scegliendo un socio a caso:

1. a) Giochi ad almeno uno dei due videogiochi ($L \cup V$).

1. b) Non giochi a nessuno dei due.

1. c) Giochi solo a League of Legends.

Illustra la situazione mediante un diagramma di Venn. Ecco lo schema di partenza, che devi completare con il numero di soci di ciascuna regione:

Per migliorare la sicurezza di un'applicazione mobile, uno sviluppatore decide di creare codici di accesso formati da una lettera maiuscola (considerando le 26 lettere dell'alfabeto standard) seguita da tre cifre (da 0 a 9).

• Quanti codici diversi si possono creare se le cifre possono ripetersi?

• Quanti codici diversi ci sarebbero se le tre cifre dovessero essere distinte tra loro?

• Se si genera un codice a caso con cifre ripetibili, qual è la probabilità che la lettera sia una 'Z'?

Un'urna contiene 12 sfere di vetro per un esperimento di ottica: 5 sono blu, 4 sono rosse e 3 sono gialle. Se estraiamo una sfera a caso, calcola le seguenti probabilità utilizzando la definizione classica di probabilità:

• Che la sfera sia rossa o gialla.

• Che la sfera non sia blu.

• Che la sfera sia bianca.

In un laboratorio di robotica sono stati mescolati in una scatola 8 sensori di prossimità perfettamente funzionanti e 2 sensori difettosi. Uno studente estrae due sensori consecutivamente e senza reinserimento (senza rimettere il primo nella scatola).

Calcola la probabilità che:

• Entrambi i sensori funzionino correttamente.

• Il primo sia difettoso e il secondo sia funzionante.

È stato condotto un sondaggio tra i 60 studenti di quinta di un istituto tecnologico sull'uso dei social network per informarsi su notizie scientifiche. I risultati sono mostrati nella seguente tabella di contingenza:

	Usano X (Twitter)	Usano Instagram	Totale
Studenti	18	12	30
Studentesse	10	20	30
Totale	28	32	60

Se scegliamo uno studente a caso, calcola la probabilità che:

• Sia una studentessa.

• Usi Instagram per informarsi.

• Sapendo che è uno studente maschio, preferisca informarsi tramite il social network X.

Uno studente ha due esami nello stesso giorno: Matematica e Inglese. Dal suo storico dei voti, stima che la probabilità di superare Matematica ($M$) sia $0,7$, quella di superare Inglese ($I$) sia $0,8$ e quella di superare entrambi sia $0,6$.

• Gli eventi "Superare Matematica" e "Superare Inglese" sono indipendenti? Giustifica la tua risposta matematicamente.

• Calcola la probabilità che superi almeno uno dei due esami.

Nel laboratorio di un ospedale, due analizzatori automatici, $A$ e $B$, elaborano i campioni di sangue. L'analizzatore $A$ elabora il $60 \%$ dei campioni e il $B$ il restante $40 \%$. Si sa che il $2 \%$ dei campioni dell'analizzatore $A$ deve essere ripetuto per errore di lettura, mentre in $B$ tale percentuale è del $5 \%$.

Disegna il diagramma ad albero corrispondente e calcola la probabilità che un campione scelto a caso debba essere ripetuto.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una classe di ingegneria deve eleggere una commissione di 3 rappresentanti. Se nella classe ci sono 20 studenti, calcola:

• In quanti modi si può scegliere la commissione se i tre incarichi (delegato, vicedelegato e segretario) sono distinti?

• In quanti modi si può scegliere se i tre rappresentanti hanno lo stesso ruolo e l'ordine non conta?

• Se ci sono 12 maschi e 8 femmine, qual è la probabilità che la commissione (senza incarichi differenziati) sia formata solo da femmine? (Imposta la frazione mediante coefficienti binomiali).

In un liceo, il consiglio dei delegati di quinta è composto da 10 studenti: 6 ragazze e 4 ragazzi. Per formare una commissione di convivenza si deve scegliere per sorteggio un gruppo di 3 delegati.

Marco vuole calcolare la probabilità che la commissione sia formata esattamente da 2 ragazze e 1 ragazzo, e ragiona così:

«Per la prima ragazza ci sono 6 possibilità, per la seconda ce ne sono 5, e per il ragazzo ce ne sono 4. Quindi i casi favorevoli sono $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Poiché i casi possibili di scegliere 3 persone in ordine tra le 10 sono $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, la probabilità cercata è $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Individua con precisione l'errore concettuale di Marco nel calcolo dei casi favorevoli e spiega perché la sua impostazione distorce il calcolo dello spazio campionario.
2. b) Risolvi correttamente il problema utilizzando le combinazioni $\binom{n}{r}$ mediante la definizione classica di probabilità e confronta il tuo risultato con quello ottenuto da Marco.

In un gruppo di 15 studenti di quinta che seguono Matematica ci sono tre amici inseparabili: Lucia, Matteo e Sofia. Il dipartimento selezionerà a caso una squadra di 4 studenti per rappresentare la scuola alle Olimpiadi della Matematica dell'università locale.

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo matematico, fai una stima qualitativa e intuitiva: pensi che la probabilità che almeno due dei tre amici si ritrovino nella squadra di 4 persone sia superiore al $50\,\%$, si collochi intorno al $15\,\%-20\,\%$ o sia un evento molto improbabile (inferiore al $5\,\%$)? Giustifica brevemente l'intuizione su cui ti basi.
2. b) Modella il problema mediante tecniche combinatorie e calcola il valore esatto di tale probabilità come frazione ridotta ai minimi termini e in percentuale.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima iniziale e argomenta perché l'intuizione umana sulle coincidenze di gruppo tende a sbagliare in questo tipo di sorteggi.

Per migliorare la sicurezza di una piattaforma di e-sports, si richiede che gli utenti creino una password di 6 caratteri. I primi due devono essere lettere maiuscole dell'alfabeto spagnolo (27 lettere) e i quattro restanti devono essere cifre da $0$ a $9$.

Calcola quante password diverse si possono generare se:

1. a) Sono permesse ripetizioni di lettere e numeri.
2. b) Non è permesso ripetere nessuna lettera, ma si possono ripetere le cifre.
3. c) Le lettere devono essere distinte e le cifre devono formare una sequenza strettamente crescente (per esempio: $1258$, ma non $1225$ né $4321$).

Nello studio delle prestazioni di una nuova scheda grafica si definiscono gli eventi $A$: "il processore supera i $100$ FPS in ultra" e $B$: "il processore mantiene una temperatura inferiore a $70^\circ$C". Si conoscono le seguenti probabilità:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Determina, motivando:

1. a) La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi contemporaneamente.
2. b) La probabilità che si verifichi solo l'evento $A$.
3. c) Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Giustifica la tua risposta.

Un laboratorio di robotica ha due scatole di componenti. La Scatola 1 contiene $8$ sensori di prossimità e $4$ attuatori. La Scatola 2 contiene $5$ sensori di prossimità e $7$ attuatori. Si sceglie una scatola a caso e si estraggono successivamente due componenti senza reinserimento.

1. a) Calcola la probabilità che i due componenti estratti siano attuatori.
2. b) Se sappiamo che i due componenti estratti sono sensori di prossimità, qual è la probabilità che provengano dalla Scatola 1?

Un'azienda di sviluppo software utilizza tre server per ospitare la propria API: il server $S_1$ gestisce il $45\%$ del traffico, il $S_2$ il $35\%$ e il $S_3$ il resto. A causa del carico, il server $S_1$ va in errore (errore 500) nel $2\%$ delle richieste, $S_2$ nel $3\%$ e $S_3$ nel $5\%$.

1. a) Se un utente effettua una richiesta, qual è la probabilità che il server restituisca un errore?
2. b) Se una richiesta è fallita, qual è la probabilità che sia stata gestita dal server $S_3$?

Un ingegnere delle telecomunicazioni stima che la probabilità che un pacchetto di dati vada perso durante una trasmissione wireless in condizioni di interferenza sia $0,15$. Si invia una sequenza di $10$ pacchetti in modo indipendente.

1. a) Qual è la probabilità che vadano persi esattamente $3$ pacchetti?
2. b) Calcola la probabilità che vadano persi almeno $2$ pacchetti.
3. c) Qual è il numero atteso di pacchetti persi e la sua deviazione standard?

Il tempo di compilazione di un progetto complesso di ingegneria segue una distribuzione normale con media $120$ secondi e deviazione standard $15$ secondi.

1. a) Calcola la probabilità che il progetto venga compilato in meno di $100$ secondi.
2. b) Calcola la probabilità che il tempo di compilazione sia compreso tra $110$ e $140$ secondi.
3. c) Quale tempo di compilazione è superato solo dal $5\%$ dei processi più lenti?

In un esame di certificazione tecnica, i punteggi seguono una distribuzione $N(70, 12)$. L'istituzione decide di assegnare una "Menzione di eccellenza" agli studenti che ottengono un voto situato nel percentile $90$.

1. a) Qual è il voto minimo per ottenere tale menzione?
2. b) Se si presentano $250$ studenti, quanti ci si aspetta che ottengano la menzione?
3. c) Se scegliamo due studenti a caso, qual è la probabilità che entrambi abbiano la menzione?

Un social network rileva che il $10\%$ degli account creati sono "bot". Se in un'ora si registrano $400$ nuovi account:

1. a) Spiega perché il numero di bot si può approssimare mediante una distribuzione normale.
2. b) Calcola, usando l'approssimazione alla normale con correzione di continuità, la probabilità che ci siano tra $35$ e $50$ bot (estremi inclusi).
3. c) Calcola la probabilità che il numero di bot sia superiore a $45$.

Un presidio sanitario rurale del Piemonte dispone di un organico di 11 professionisti dell'urgenza tra medici di famiglia e infermieri. Per organizzare il turno di guardia notturna del fine settimana, si sceglie a caso una squadra di reperibilità formata da 3 professionisti sugli 11 totali.

Si sa con certezza che la probabilità che la squadra sia composta da 2 medici e 1 infermiere è esattamente il doppio della probabilità che sia composta da 1 medico e 2 infermieri.

1. a) Se indichiamo con $m$ il numero di medici dell'organico (con $2 \le m \le 9$), imposta l'equazione combinatoria che modellizza la condizione data a partire dalla definizione classica di probabilità.
2. b) Risolvi algebricamente tale equazione per scoprire l'esatta composizione dell'organico (quanti medici e quanti infermieri ci sono nel presidio).
3. c) Con l'organico ormai determinato, calcola la probabilità che la guardia notturna sia costituita esclusivamente da professionisti dello stesso gruppo sanitario.

Un sistema ordinario di immatricolazione dei veicoli, gestito in questo scenario da Polizia Stradale e ACI, assegna a ogni automobile un codice composto da 4 cifre (da 0000 a 9999) seguite da un blocco di 3 lettere consonanti, avendo escluso le 5 vocali (A, E, I, O, U) per evitare acronimi e parole sconvenienti, nonché le lettere Ñ e Q per possibili confusioni visive. In questo modo si dispone di un insieme di 20 consonanti ammissibili.

1. a) Modella l'assegnazione delle targhe e calcola quanti veicoli diversi possono essere immatricolati in totale. Giustifica le tecniche di conteggio applicate in ciascun blocco della targa.
2. b) Una telecamera di controllo del traffico registra la targa di un trasgressore, ma l'immagine è parzialmente sfocata: l'agente verifica che il blocco numerico è palindromo di quattro cifre con prima e seconda cifra diverse (per esempio, 7337), e che le tre lettere sono diverse tra loro e compaiono in rigoroso ordine alfabetico crescente (per esempio, CFX). Quante targhe del parco teorico di questo sistema soddisfano questo schema?
3. c) Se si sceglie un veicolo a caso tra tutti quelli possibili nel sistema, determina la probabilità che la sua targa non contenga nessuna cifra ripetuta e neppure nessuna consonante ripetuta. Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini e con quattro cifre decimali.

Un'azienda di cybersicurezza genera chiavi di accesso mediante la permutazione dei caratteri della parola BLOCKCHAIN. Si sceglie a caso una di queste chiavi.

1. a) Calcola la probabilità che la chiave scelta inizi e termini con una vocale.
2. b) Determina la probabilità che tutte le vocali compaiano vicine nella chiave.
3. c) Se si sa che la chiave inizia con B, qual è la probabilità che la seconda lettera sia una L?

Un server di archiviazione dati riceve richieste da tre tipi di clienti: Bronzo ($50\%$), Argento ($30\%$) e Oro ($20\%$). A causa della saturazione, il server può rifiutare richieste. Si sa che la probabilità che una richiesta venga rifiutata è del $10\%$ per i clienti Bronzo, del $5\%$ per i clienti Argento e del $1\%$ per i clienti Oro.

1. a) Se si seleziona una richiesta a caso e risulta rifiutata, qual è la probabilità che provenga da un cliente di tipo Bronzo?
2. b) Dopo un aggiornamento del sistema, la probabilità totale di rifiuto è scesa al $4\%$. Se le probabilità dei clienti Argento e Oro rimangono invariate, qual è la nuova probabilità di rifiuto per i clienti Bronzo?

Si dispone di un'urna $A$ con 4 palline bianche e 6 palline nere, e di un'urna $B$ con 7 palline bianche e 3 nere. Si lancia un dado equilibrato: se esce un numero minore o uguale a 2, si estrae una pallina dall'urna $A$ e la si introduce nella $B$, per poi estrarre una pallina da $B$. Se esce un numero maggiore di 2, si estrae una pallina dall'urna $B$ e la si introduce nella $A$, per poi estrarre una pallina da $A$.

Calcola la probabilità che la pallina estratta per seconda sia bianca.

Un sistema di puntamento laser per la chirurgia oculare ha un errore di deviazione $X$, misurato in micron, che segue una funzione di densità data da:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{nel resto} \end{cases}$$

1. a) Determina il valore della costante $k$ affinché $f(x)$ sia una funzione di densità valida.
2. b) Calcola la probabilità che la deviazione sia superiore a 1 micron.
3. c) Ottieni il valore atteso della deviazione. Che significato ha questo valore nel contesto della chirurgia?

Un sistema di comunicazione satellitare trasmette pacchetti di dati. Ogni pacchetto ha una probabilità $p = 0,002$ di danneggiarsi durante la trasmissione, in modo indipendente. Per assicurare la ricezione, si invia un blocco di $2500$ pacchetti.

1. a) Giustifica perché il numero di pacchetti danneggiati si può approssimare mediante una distribuzione normale.
2. b) Calcola la probabilità che si danneggino tra 4 e 8 pacchetti (entrambi inclusi).
3. c) Se il sistema di correzione degli errori può riparare fino a 10 pacchetti per blocco, qual è la probabilità che il blocco sia irreparabile?

Il tempo di risposta di un sensore industriale segue una distribuzione normale $N(\mu, \sigma)$. Si sa che il $15,87\%$ delle risposte impiega più di $82$ millisecondi, e che solo il $2,28\%$ delle risposte è più veloce di $58$ millisecondi.

1. a) Calcola i parametri $\mu$ e $\sigma$ del tempo di risposta.
2. b) Se il produttore garantisce che il sensore risponde in meno di $85$ ms, quale percentuale dei sensori non rispetterà la garanzia?

In un esame di ingegneria con 100 studenti, i voti seguono una distribuzione normale di media $6,2$ e deviazione standard $1,5$. Il professore decide che il $10\%$ degli studenti con i voti migliori otterrà la valutazione di "Ottimo", mentre quelli il cui voto è inferiore di una deviazione standard alla media saranno respinti.

1. a) Qual è il voto minimo per ottenere "Ottimo"?
2. b) Quanti studenti ci si aspetta che vengano respinti all'esame?
3. c) Se scegliamo tre studenti a caso, qual è la probabilità che almeno uno di loro abbia un voto superiore a 7?

Un dispositivo elettronico è costituito da due componenti critici, $C_1$ e $C_2$, collegati in parallelo (il dispositivo funziona se almeno uno dei due funziona). La probabilità che $C_1$ si guasti in un anno è $0,15$, e quella che si guasti $C_2$ è $0,20$. Tuttavia, i guasti non sono indipendenti: se $C_1$ si guasta, la probabilità che si guasti anche $C_2$ aumenta a $0,60$.

1. a) Calcola la probabilità che il dispositivo si guasti entro un anno.
2. b) Gli eventi "Si guasta $C_1$" e "Si guasta $C_2$" sono dipendenti? Giustifica la risposta con dei calcoli.
3. c) Se il dispositivo si è guastato, qual è la probabilità che si sia guastato il componente $C_1$?

In un audit tecnico di cybersicurezza si analizzano 18 server di dati appartenenti a un istituto bancario. Si è rilevato che 4 di essi presentano un difetto critico di sicurezza non corretto, mentre i restanti 14 sono completamente sicuri. Il team di audit seleziona a caso un campione di 5 server per sottoporli a un test di penetrazione. Si vuole calcolare la probabilità dell'evento $A$: «nel campione estratto ci sono almeno due server vulnerabili».

1. a) Sviluppa il calcolo di $P(A)$ mediante due percorsi analitici distinti:

• Percorso 1 (Conteggio diretto): suddividere i casi favorevoli in base al numero esatto di server vulnerabili trovati.

• Percorso 2 (Passaggio all'evento contrario): calcolare la probabilità dell'evento complementare $A^c$.

Verifica che entrambi i procedimenti conducano alla stessa frazione ridotta ai minimi termini.

1. b) Se la dimensione del lotto aumentasse a 30 server e il campione da estrarre fosse di 10 server, analizza quale dei due metodi offre un vantaggio operativo reale rispetto agli errori di calcolo e giustificalo in base alla struttura combinatoria delle partizioni.
2. c) Un assistente del team propone di calcolare i casi favorevoli dell'evento $A$ nel seguente modo: «Scegliamo prima 2 server vulnerabili tra i 4 disponibili in $\binom{4}{2}$ modi; poi scegliamo i 3 server restanti tra i 16 che rimangono nel lotto in $\binom{16}{3}$ modi. Quindi i casi favorevoli sono $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Dimostra analiticamente perché questo ragionamento è errato e precisa se produce una sovrastima o una sottostima del numero reale di casi.

Per costituire una commissione esaminatrice di un concorso per docenti in una regione, l'amministrazione convoca per sorteggio rigoroso 5 commissari a partire da un elenco chiuso di 30 aspiranti qualificati, formato da 18 donne e 12 uomini. La normativa sulla funzione pubblica richiede il principio di presenza equilibrata: la commissione non può avere più del $60\,\%$ di commissari dello stesso sesso (cioè la commissione deve contare almeno 2 donne e almeno 2 uomini).

1. a) Modella la selezione della commissione mediante combinazioni e calcola la probabilità che una commissione estratta a caso rispetti direttamente la normativa sulla presenza equilibrata.
2. b) Supponiamo che nell'elenco di 30 persone figurino due docenti specifici (un uomo e una donna) legati da parentela di primo grado, per cui la legge sul regime giuridico vieta che entrambi facciano parte della stessa commissione. Se l'amministrazione esclude mediante sorteggio preliminare la possibilità che i due coincidano, restringendo lo spazio campionario alle sole commissioni in cui i due parenti non siano presenti insieme, determina se la probabilità che la commissione rispetti la parità aumenta o diminuisce rispetto a quella ottenuta nel punto a). Giustifica quantitativamente la tua conclusione.
3. c) Si propone come alternativa di modificare la procedura di sorteggio: invece di un unico sorteggio di 5 persone tra i 30 candidati, si effettuano due urne separate (una per le donne e una per gli uomini) e si sorteggiano casualmente 3 donne e 2 uomini con probabilità $0,5$, oppure 2 donne e 3 uomini con probabilità $0,5$. Giustifica matematicamente se questo nuovo meccanismo mantiene o altera la probabilità individuale che ogni docente ha di essere selezionato rispetto al sorteggio equiprobabile originale.