Esercizi: Algebra delle matrici con i determinanti

In uno scavo archeologico sono state registrate le coordinate di tre punti chiave che formano un settore di ricerca. Per calcolare l'area di questo settore, dobbiamo prima ottenere il valore del determinante della seguente matrice di posizione $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcola il valore di $|A|$ utilizzando la regola di Sarrus.

Un'azienda di corrieri utilizza un sistema di codifica basato sulle matrici. Perché un messaggio sia "decifrabile", la matrice utilizzata $M$ deve essere invertibile.

Data la matrice $M = \begin{pmatrix} k & 4 \\ 1 & k \end{pmatrix}$, determina per quali valori del parametro reale $k$ la matrice non ha inversa (cioè è una matrice singolare).

Senza eseguire lo sviluppo completo della matrice, applica le proprietà dei determinanti per giustificare perché il seguente determinante è uguale a $0$:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

(Suggerimento: osserva la relazione tra la prima e la seconda riga).

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = -2$. Utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare i seguenti valori:

1. a) $|A^t|$ (determinante della trasposta).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinante dell'inversa).
3. c) $|3A|$ (determinante della matrice moltiplicata per lo scalare $3$).

Calcola la matrice inversa $A^{-1}$ della matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ utilizzando il metodo della matrice aggiunta:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$

Segui questi passi:

1. Trova il determinante $|A|$.

2. Calcola la matrice dei complementi algebrici $\text{Adj}(A)$.

3. Traspondi e dividi per il determinante.

Determina il rango della seguente matrice $B$ studiandone i minori:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Indica in modo motivato se il rango è $1$, $2$ o $3$.

Risolvi la seguente equazione matriciale per trovare la matrice incognita $X$:

$A \cdot X = B$

Dove:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Ricorda: $X = A^{-1} \cdot B$. Devi calcolare prima $A^{-1}$).

Calcola il valore del determinante della seguente matrice $4 \times 4$ sviluppando secondo gli elementi della seconda riga (quella che ha più zeri):

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

In una verifica di Matematica, Matteo risolve il seguente esercizio:

«Sapendo che $A$ è una matrice quadrata di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = -2$, calcola in modo motivato il valore di $|-2\cdot A^{-1}|$ e di $|\operatorname{Adj}(A)|$.»

Lo svolgimento scritto da Matteo è il seguente:

1) Per il primo determinante: $|-2\cdot A^{-1}| = -2\cdot |A^{-1}| = -2\cdot \frac{1}{|A|} = -2\cdot \frac{1}{-2} = 1$.

2) Per il secondo determinante: Poiché vale la proprietà $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$, prendendo i determinanti in entrambi i membri ottengo $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|\cdot |I| = -2\cdot 1 = -2$.

Svolgi i seguenti compiti:

1. a) Individua e spiega in modo motivato i due errori concettuali commessi da Matteo, indicando con precisione quale proprietà dei determinanti ha applicato in modo errato in ciascun punto.
2. b) Correggi lo svolgimento di Matteo e calcola i valori corretti di $|-2\cdot A^{-1}|$ e $|\operatorname{Adj}(A)|$ giustificando ogni passaggio mediante le proprietà corrispondenti.
3. c) Deduci la formula generale che mette in relazione $|\operatorname{Adj}(A)|$ con $|A|$ per qualsiasi matrice quadrata invertibile di ordine $n$, partendo dall'identità fondamentale $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$.

Considera la matrice di Vandermonde $V$ associata ai valori reali ordinati $x = -1$, $y = 2$ e $z = 4$:

$$V = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix}$$

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo motivato il segno di $|V|$ basandoti sulla posizione relativa dei tre valori $x < y < z$ e sulla struttura scomposta del determinante di Vandermonde $(y - x)(z - x)(z - y)$. Giustifica se il determinante potrebbe essere nullo o negativo senza alterare l'ordine delle righe.
2. b) Calcola il valore numerico esatto di $|V|$ utilizzando le trasformazioni elementari sulle righe necessarie per ottenere zeri nella prima colonna, verificando se coincide con il risultato dell'espressione scomposta.
3. c) Se a partire da $V$ si costruisce una nuova matrice $W$ scambiando la prima e la terza riga e moltiplicando poi la seconda riga per $-3$: stima il segno del nuovo determinante $|W|$ prima di calcolarlo e verifica la tua stima applicando le proprietà dei determinanti al risultato ottenuto nel punto b).

Sapendo che il determinante di una matrice quadrata $A$ di ordine 3 è $|A| = -2$, utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare, in modo motivato, il valore dei seguenti determinanti:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) Il determinante della matrice ottenuta moltiplicando la prima riga di $A$ per $5$, scambiando la seconda e la terza riga e trasponendo la matrice.

Data la matrice $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determina i valori del parametro reale $k$ per i quali la matrice $M$ è singolare (non ha inversa).

1. b) Per il valore $k = 0$, calcola la matrice inversa $M^{-1}$ utilizzando il metodo della matrice aggiunta.

Risolvi la seguente equazione matriciale $A \cdot X \cdot B = C$, dove le matrici $A$, $B$ e $C$ sono:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Giustifica preliminarmente che le matrici $A$ e $B$ sono invertibili calcolandone i determinanti.

Considera la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcola il determinante di $A$ in funzione del parametro $m$.

1. b) Determina il rango della matrice $A$ al variare di $m$.

Data la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcola:

1. a) Il determinante di $A$ mediante la regola di Sarrus.

1. b) La matrice dei complementi algebrici $\text{Adj}(A)$.

1. c) Verifica che vale la proprietà $A \cdot \text{Adj}(A)^t = |A| \cdot I$, dove $I$ è la matrice identità di ordine 3.

Si sa che una matrice quadrata $B$ verifica l'equazione $B^2 - 3B + 2I = O$, dove $I$ è la matrice identità e $O$ è la matrice nulla.

1. a) Dimostra che $B$ è una matrice invertibile (ha inversa) ed esprimi $B^{-1}$ in funzione di $B$ e $I$.

1. b) Se $B$ è di ordine 2 e il suo determinante è $|B| = 2$, qual è il determinante della matrice aggiunta di $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Risolvi il sistema di equazioni matriciali per trovare le matrici $X$ e $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Una volta trovate, calcola il determinante della matrice prodotto $X \cdot Y$.

Un'azienda di componenti elettronici produce tre tipi di circuiti: $C_1$, $C_2$ e $C_3$. Il costo di produzione di ciascun circuito è determinato dal determinante della matrice dei materiali $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sapendo che $x$, $y$ e $z$ rappresentano rispettivamente le quantità di silicio, rame e stagno, dimostra che il determinante di questa matrice (di Vandermonde) è $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Se per un circuito specifico le quantità sono $x=1$, $y=2$ e $z=4$, la matrice $M$ è invertibile? Giustifica la risposta usando il risultato del punto precedente.

Si considera una matrice quadrata invertibile $A$ di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = -2$. Si vuole determinare il valore del determinante della matrice risultante $M = \operatorname{Adj}\big(2\cdot A^t \cdot A^{-1}\big)$.

Per risolvere questa questione, due studenti propongono strategie opposte:

• Percorso A (Costruttivo): Proporre una matrice diagonale concreta il cui determinante sia $-2$ (per esempio, con elementi $1$, $1$ e $-2$ sulla diagonale), calcolare esplicitamente la sua trasposta, la sua inversa, moltiplicarle per $2$, trovare i complementi algebrici della matrice risultante per costruirne l'aggiunta e infine calcolarne il determinante mediante la regola di Sarrus.

• Percorso B (Strutturale): Applicare in sequenza le proprietà algebriche dei determinanti (determinante del prodotto, della trasposta, dell'inversa, estrazione dello scalare $2$ in dimensione $3$ e la proprietà del determinante della matrice aggiunta).

1. a) Analizza criticamente il Percorso A: argomenta perché calcolare una matrice particolare non costituisce una dimostrazione valida per una qualsiasi matrice $A$ e quali rischi algebrici comporta.
2. b) Applica il Percorso B ricavando l'espressione semplificata di $|M|$ in funzione di $|A|$ e dell'ordine $n=3$, mostrando in dettaglio quale proprietà interviene in ogni uguaglianza.
3. c) Ottieni il valore numerico finale di $|M|$ e spiega perché questo risultato non dipende dal valore concreto $|A| = -2$, purché $|A| \neq 0$.

Terna monitora la produzione di energia solare fotovoltaica in un impianto della Puglia durante tre momenti di una giornata estiva: alle $t_1 = 10$ h si registrano $16\text{ MW}$, alle $t_2 = 13$ h si raggiungono $25\text{ MW}$ (picco di radiazione) e alle $t_3 = 16$ h la produzione scende a $16\text{ MW}$. Per adattare una curva continua di previsione quadratica della forma $P(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c$:

1. a) Imposta il modello in forma di sistema matriciale $M\cdot X = Y$, dove il vettore delle incognite è $X = \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix}$, il vettore dei termini noti è $Y = \begin{pmatrix} 16 \\ 25 \\ 16 \end{pmatrix}$ e la matrice dei coefficienti $M$ ha righe della forma $(1, t_i, t_i^2)$.
2. b) Dimostra che $M$ è una matrice di Vandermonde e calcola il suo determinante $|M|$ mediante trasformazioni elementari sulle righe (sottraendo a ogni riga la precedente), senza sviluppare direttamente con la regola di Sarrus.
3. c) Interpreta il significato matematico del fatto che $|M| \neq 0$: che cosa garantisce questo fatto sull'esistenza e sull'unicità della parabola di previsione? Che cosa accadrebbe all'invertibilità di $M$ se un guasto al sensore duplicasse la rilevazione dei dati alla stessa ora ($t_2 = t_1$)?

Si considera la matrice di ordine 4 dipendente dal parametro reale $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilizzando esclusivamente le proprietà dei determinanti, svolgi i seguenti compiti:

1. a) Trova il valore del determinante di $M$ in funzione di $k$, presentando il risultato in forma scomposta in fattori.

1. b) Determina i valori di $k$ per i quali la matrice $M$ non ha inversa.

1. c) Per il caso $k = 2$, calcola il valore del determinante della matrice aggiunta di $M$, cioè $|Adj(M)|$, senza calcolare esplicitamente gli elementi di tale matrice aggiunta.

Un'azienda di logistica utilizza un algoritmo di crittografia basato sull'algebra matriciale per proteggere i suoi percorsi. La chiave di sicurezza è una matrice $X$ che soddisfa la seguente equazione:

$$A \cdot X \cdot A^t = B - 2I$$

dove $I$ è la matrice identità di ordine 2 e le matrici $A$ e $B$ sono:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$$

1. a) Giustifica, utilizzando i determinanti, che la matrice $A$ è invertibile.

1. b) Ricava la matrice $X$ dall'equazione precedente.

1. c) Calcola esplicitamente la matrice $X$.

Data la matrice quadrata di ordine $n$:

$$D_n = \begin{pmatrix} x & a & a & \dots & a \\ a & x & a & \dots & a \\ a & a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \dots & x \end{pmatrix}$$

1. a) Per il caso $n = 3$, dimostra che il determinante della matrice è $|D_3| = (x+2a)(x-a)^2$.

1. b) Generalizza il risultato precedente per una matrice di ordine $n$ e deduci l'espressione di $|D_n|$ in funzione di $x, a$ e $n$.

1. c) Se $x = 5$ e $a = 2$, per quali valori di $n$ la matrice $D_n$ sarebbe singolare?

Studia il rango della matrice $A$ al variare dei parametri reali $a$ e $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Per svolgere lo studio, utilizza il metodo dei minori orlati e motiva in dettaglio a quali condizioni il rango è 1, 2 o 3.

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine 3 tali che $|A| = 2$ e $|B| = -1$. Calcola, giustificando ogni passaggio con le proprietà dei determinanti, il valore dei seguenti determinanti:

1. a) $|(A^t \cdot B)^{-1}|$

1. b) $|3 \cdot A^2 \cdot Adj(B)|$

1. c) Se sappiamo che una matrice $C$ verifica $C^2 = C$ (matrice idempotente), dimostra che il suo determinante può essere solo 0 o 1.

Si considera la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina i valori del parametro $m$ per i quali la matrice $A$ ha inversa.

1. b) Per $m = 2$, risolvi l'equazione matriciale $X \cdot A - 2 \cdot Adj(A) = |A| \cdot I$, dove $Adj(A)$ è la matrice aggiunta di $A$ e $I$ è la matrice identità.

Suggerimento: utilizza la relazione fondamentale tra una matrice e la sua aggiunta: $A \cdot (Adj(A))^t = |A| \cdot I$.

In un sistema di controllo del traffico aereo, la posizione di tre droni in un dato istante è definita dalle colonne di una matrice $P$. Nel modello semplificato utilizzato, si considera sicura la configurazione solo se il determinante di $P$ non si annulla. Data la matrice:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcola i valori di $k$ per i quali i droni si troverebbero in una configurazione "critica" (determinante nullo).

1. b) Per $k = 0$, verifica se la matrice è invertibile e, in caso affermativo, trova la sua inversa $P^{-1}$ mediante il metodo della matrice aggiunta.

1. c) Dimostra che per qualsiasi valore di $k \neq 1$ e $k \neq -2$ vale che $P(k)$ è regolare.

Risolvi il seguente sistema di equazioni matriciali per le matrici incognite $X$ e $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

dove le matrici dei coefficienti sono:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una volta trovate $X$ e $Y$:

1. a) Calcola $|X \cdot Y|$ e $|X + Y|$.
2. b) Determina se la matrice prodotto $X \cdot Y$ è invertibile utilizzando il suo determinante.

Si considera la famiglia di matrici quadrate di ordine $3$ dipendenti da due parametri reali $a$ e $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$$

1. a) Utilizzando esclusivamente le proprietà dei determinanti, ottieni l'espressione completamente scomposta in fattori di $|M(a, b)|$. Determina le equazioni delle rette del piano cartesiano $(a, b)$ che formano l'insieme dei punti in cui la matrice $M(a, b)$ non è invertibile.
2. b) PROBLEMA INVERSO: Trova tutte le coppie di numeri reali $(a, b)$ che soddisfano simultaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Vale l'ordinamento stretto $a < b < 3$.

2. La distanza tra i due parametri è unitaria: $b - a = 1$.

3. La matrice soddisfa l'equazione determinantale $|2\cdot (M(a, b))^{-1}| = \frac{4}{3}$.

1. c) Per la matrice concreta $M$ che risulta dalla coppia di valori ottenuta nel punto precedente, calcola, motivando, il determinante della sua matrice aggiunta, $|\operatorname{Adj}(M)|$, e il determinante della matrice inversa della sua trasposta, $|(M^t)^{-1}|$.

Data la matrice dipendente da due parametri reali $a$ e $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Per classificare il rango e l'invertibilità di $M(a, b)$ nel piano reale $(a, b)$, due studenti confrontano i loro metodi di lavoro:

• Metodo di Alba: Applicare l'algoritmo di riduzione di Gauss mediante operazioni elementari sulle righe ($F_2 \to F_2 - F_1$, $F_3 \to F_3 - a\cdot F_1$) per ottenere una matrice a scala e contare il numero di pivot non nulli.

• Metodo di Bruno: Calcolare e scomporre in fattori il determinante maggiore $|M(a, b)|$ mediante le proprietà, per individuare le regioni di rango 3, e studiare poi i luoghi geometrici in cui $|M(a, b)| = 0$ analizzando i minori di ordine inferiore.

1. a) Confronta criticamente i due metodi: spiega quali inconvenienti e quali rischi di biforcazione, dovuti ai parametri nei denominatori, presenta il metodo di Alba rispetto alla robustezza del metodo di Bruno.
2. b) Applicando il metodo di Bruno, dimostra che il determinante si scompone come $|M(a, b)| = (1 - a)\cdot [b\cdot(a + 1) - 2]$. Identifica geometricamente nel piano $(a, b)$ la retta e l'iperbole che formano la frontiera in cui la matrice non è invertibile.
3. c) Dimostra che in quasi tutti i punti di tale frontiera il rango della matrice è $2$, ma esiste un unico punto singolare $(a_0, b_0)$ in tutto il piano in cui il rango scende a $1$. Determina tale punto giustificando la risposta con il valore di tutti i suoi minori di ordine 2.

Sfida del tema. È possibile modellizzare e prevedere la ripartizione del mix energetico nazionale?

1. Raccolta dei dati: Accedi al sito di Terna o dell'ISTAT ed estrai la produzione giornaliera (in GWh) di tre fonti rinnovabili per 3 giorni consecutivi per costruire una matrice quadrata $A_{3\times 3}$.

2. Studio analitico: Calcola $|A|$ applicando la regola di Sarrus e determina il rango di $A$ mediante i minori. Inserisci un parametro di previsione climatica $t$ in una delle righe ($A(t)$); applica le proprietà dei determinanti e calcola il limite $\lim_{t \to 1} |A(t)|$ per identificare se il sistema si blocca per dipendenza lineare.

3. Algebra matriciale: Costruisci un vettore di domanda giornaliera $B$ (in GWh) come domanda attesa: assegna probabilità a diversi scenari di consumo (per esempio, probabilità $p = 0,35$ di picco invernale) e pondera la domanda di ciascuno scenario con la sua probabilità. Giustifica l'esistenza di $A^{-1}$ tramite i determinanti, calcolala con la matrice aggiunta e risolvi in un foglio di calcolo l'equazione $A \cdot X = B$ per trovare i fattori di ponderazione $X$ (uno per fonte, cioè per colonna di $A$, in modo che la produzione ponderata copra la domanda $B$).

4. Proposta finale: Redigi una relazione di una pagina che mostri la robustezza del modello di fronte alle fluttuazioni reali della rete.

Verranno valutati:

• Correttezza e abilità nel calcolo di $|A|$, $\text{rg}(A)$ e $A^{-1}$ mediante determinanti e Sarrus.

• Applicazione rigorosa dell'algebra matriciale, dei limiti e delle proprietà dei determinanti.

• Estrazione veritiera di dati ufficiali e giustificazione matematica delle conclusioni.