Esercizi: Trattazione vettoriale: cariche libere nei campi

Una carica di prova $q = 2\,\mu\text{C}$, posta in un punto di un dispositivo di laboratorio, subisce una forza elettrica di $0,06\ \text{N}$. La situazione è rappresentata nella figura.

1. a) Calcola l'intensità del campo elettrico in quel punto, $E = \frac{F}{q}$, e indica la sua unità di misura nel Sistema Internazionale.
2. b) Essendo la carica positiva, quale relazione hanno direzione e verso di $\vec{E}$ con quelli della forza $\vec{F}$?

Per misurare il campo elettrico in un punto si utilizza una carica di prova.

1. a) Spiega che cos'è una carica di prova e perché conviene che il suo valore sia piccolo, in modo che non perturbi le cariche che creano il campo.
2. b) Scrivi l'espressione del campo creato da una carica puntiforme $Q$ a una distanza $r$ e ragiona, a partire da essa, sul perché il campo non dipende dalla carica di prova usata per misurarlo.

Una piccola sfera carica con $Q = 5\,\mu\text{C}$ crea un campo elettrico intorno a sé (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Osserva lo schema:

1. a) Calcola il modulo del campo a $0,3\ \text{m}$ dalla sfera.
2. b) Indica la direzione e il verso del campo in quel punto, ragionando a partire dal segno della carica.

A partire dalla definizione $E = \frac{F}{q}$, indica quali di queste espressioni sono unità di misura valide per l'intensità del campo elettrico e motiva ogni risposta:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (tieni conto che $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Tra le armature di un condensatore c'è un campo elettrico uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. Al suo interno si colloca una particella con carica $q = -4\,\mu\text{C}$, come mostra la figura.

1. a) Calcola il vettore forza elettrica sulla particella, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, esprimendolo con il versore corrispondente.
2. b) Spiega perché, essendo la carica negativa, la forza ha verso opposto al campo.

Una sonda spaziale accumula, per il bombardamento di particelle solari, una carica netta di $2\ \text{nC}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Supponi la sonda approssimativamente puntiforme.

1. a) Calcola il modulo del campo elettrico che crea a $10\ \text{cm}$ dalla sua superficie (esprimi la distanza in metri).
2. b) Calcola anche il campo a $1\ \text{m}$ e verifica di quale fattore si è ridotto moltiplicando la distanza per dieci.

Disegna sul quaderno le linee del campo elettrico create da una carica puntiforme positiva e, a parte, quelle di una carica puntiforme negativa.

1. a) Che cosa indica il verso delle frecce delle linee? Mettilo in relazione con la forza che subirebbe una carica di prova positiva.
2. b) Dove è più intenso il campo, secondo il tuo disegno? Mettilo in relazione con l'espressione $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il campo creato da una carica puntiforme vale $E$ a una distanza $r$.

1. a) Ragiona, usando l'espressione $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, quale valore avrà il campo a una distanza $2 \cdot r$ e a una distanza $\frac{r}{3}$.
2. b) Se a $0,5\ \text{m}$ da una certa carica il campo vale $7200\ \text{N/C}$, calcola il suo valore a $1\ \text{m}$ senza usare la costante $K$.

Un sensore misura un campo elettrico di $4500\ \text{N/C}$ a $2\ \text{m}$ dal centro di una sfera metallica carica del laboratorio; il campo punta verso la sfera (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La situazione è rappresentata nella figura.

1. a) Ricava la carica dall'espressione $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ e calcola il suo valore assoluto.
2. b) Ragiona, a partire dal verso del campo misurato, su quale sia il segno della carica della sfera.

In un tubo a raggi catodici, un elettrone attraversa una regione con campo elettrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa dell'elettrone $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calcola la forza elettrica sull'elettrone.
2. b) Calcola la sua accelerazione applicando il secondo principio della dinamica, $a = \frac{F}{m_e}$.

Una carica puntiforme $Q = 4\ \text{nC}$ si trova nell'origine delle coordinate (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Osserva lo schema:

1. a) Calcola il modulo del campo elettrico nel punto $P(3, 4)$, con le coordinate in metri.
2. b) Il versore radiale in quel punto è $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Scrivi il vettore $\vec{E}$ in funzione di $\vec{i}$ e $\vec{j}$.

Due cariche puntiformi $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ e $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ si trovano sull'asse $x$, in $x_1 = 0$ e $x_2 = 1\ \text{m}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura mostra la disposizione delle cariche.

1. a) Calcola il campo (modulo e verso) creato da ciascuna carica nel punto $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Applica il principio di sovrapposizione e calcola il campo totale in quel punto, indicando direzione e verso.

Due cariche identiche $q = 5\ \text{nC}$ sono separate da $40\ \text{cm}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Ragiona, disegnando i vettori sul quaderno, quanto vale il campo totale nel punto medio del segmento che unisce le cariche.
2. b) Calcola il campo totale (modulo, direzione e verso) in un punto del segmento situato a $10\ \text{cm}$ da una delle cariche.

Una carica $Q = 8\ \text{nC}$ è fissata su un supporto isolante del laboratorio (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola il campo elettrico (modulo, direzione e verso) a $25\ \text{cm}$ dalla carica.
2. b) Calcola la forza (modulo, direzione e verso) che subirebbe una carica $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ posta in quel punto, usando $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

Il manuale di uno strumento di diagnostica medica richiede che il campo elettrico nella sua posizione non superi $500\ \text{N/C}$. Nella stessa sala funziona un'apparecchiatura che accumula una carica puntiforme di $2\ \text{nC}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Ricava la distanza dall'espressione $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ e calcola a quale distanza minima dall'apparecchiatura deve essere installato lo strumento.
2. b) Se alla fine viene installato al doppio di quella distanza, di quale fattore si riduce il campo? Motiva la risposta.

Un protone si trova tra le armature di un condensatore, dove il campo elettrico è uniforme e vale $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa del protone $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la forza elettrica sul protone.
2. b) Calcola il suo peso.
3. c) Calcola il rapporto tra le due grandezze e trai una conclusione: nella fisica delle particelle, si può trascurare la gravità rispetto alla forza elettrica?

Due cariche puntiformi $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ e $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ occupano, rispettivamente, l'origine delle coordinate e il punto $(0, 3)$, con le coordinate in metri (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Si vuole trovare il campo nel punto $P(4, 0)$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola il vettore $\vec{E}_1$ creato da $q_1$ in $P$.
2. b) Calcola il modulo del campo creato da $q_2$ in $P$ e, tenendo conto che quel campo punta da $P$ verso la carica negativa (versore $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), scrivi il vettore $\vec{E}_2$.
3. c) Applica il principio di sovrapposizione: calcola il vettore campo totale in $P$ e il suo modulo.

Due cariche puntiformi $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ si trovano sull'asse $x$, in $x_1 = 0$ e $x_2 = 3\ \text{m}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura mostra le tre regioni dell'asse.

1. a) Ragiona, analizzando il verso del campo di ciascuna carica, in quale delle tre regioni dell'asse (a sinistra di $q_1$, tra le cariche o a destra di $q_2$) il campo totale può annullarsi.
2. b) Imposta la condizione di campo nullo in quella regione e calcola il punto esatto.
3. c) Verifica il risultato controllando che in quel punto i due campi abbiano lo stesso modulo.

In una stampante a getto d'inchiostro, le gocce di inchiostro cariche vengono deviate da un campo elettrico. Per studiare il principio, considera un elettrone che entra con velocità orizzontale $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ in una regione di lunghezza $L = 10\ \text{cm}$ dove c'è un campo verticale uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendicolare alla sua velocità (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa dell'elettrone $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Lo schema mostra il montaggio.

1. a) Calcola l'accelerazione dell'elettrone nella regione del campo e indica la sua direzione e il suo verso.
2. b) Calcola il tempo che impiega ad attraversare la regione.
3. c) Supponendo il moto orizzontale uniforme e quello verticale uniformemente accelerato (come nel moto parabolico), calcola la deviazione verticale all'uscita, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Spiega che forma ha la traiettoria all'interno del campo e che tipo di moto ha l'elettrone dopo averlo lasciato.

Due cariche puntiformi $q_1 = q$ e $q_2 = -2 \cdot q$, con $q > 0$, si trovano sull'asse $x$, in $x_1 = 0$ e $x_2 = 3\ \text{m}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Prevedi, giustificandolo con il verso dei campi e con il valore assoluto delle cariche, in quale regione dell'asse può annullarsi il campo totale: tra le cariche o fuori dal segmento? E da quale parte?
2. b) Imposta l'equazione di campo nullo e risolvila, ottenendo il punto esatto.
3. c) Spiega perché il risultato non dipende dal valore di $q$.

Tre cariche identiche $q = 2\ \text{nC}$ occupano i vertici di un triangolo equilatero di lato $30\ \text{cm}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Osserva lo schema:

1. a) Giustifica, per simmetria (i tre vettori campo nel centro formano tra loro angoli di $120^\circ$), che il campo totale nel centro del triangolo è nullo.
2. b) Si toglie una delle cariche. Tenendo conto che il campo delle tre era nullo, ragiona che il campo delle due rimanenti è esattamente l'opposto di quello creato dalla carica tolta, e calcola il suo modulo (la distanza di ogni vertice dal centro è $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Indica la direzione e il verso del campo risultante rispetto al vertice rimasto vuoto.

Due cariche identiche $q = 5\,\mu\text{C}$ occupano due vertici consecutivi, $A(0, 20)$ e $B(20, 20)$, di un quadrato di lato $20\ \text{cm}$, con le coordinate in centimetri (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Si studia il vertice $D(0, 0)$. La figura mostra la disposizione.

1. a) Calcola il campo (modulo, direzione e verso) creato in $D$ dalla carica situata in $A$.
2. b) Calcola il modulo del campo creato in $D$ dalla carica situata in $B$ (tieni conto che la distanza è la diagonale del quadrato) e scomponilo nelle sue componenti.
3. c) Somma i vettori e calcola il modulo del campo totale in $D$.
4. d) Calcola il modulo della forza che subirebbe una carica $Q = -2\,\mu\text{C}$ posta in $D$.

Il tuo compagno calcola il campo elettrico nel punto medio del segmento che unisce una carica $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ con un'altra $q_2 = -6\,\mu\text{C}$, separate da $20\ \text{cm}$, e scrive: «il campo è zero, perché le cariche sono opposte e si annullano» (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Spiega l'errore: disegna sul quaderno i vettori $\vec{E}_1$ e $\vec{E}_2$ nel punto medio e ragiona su quale verso abbia ciascuno.
2. b) Calcola il campo corretto (modulo, direzione e verso) in quel punto.
3. c) Per quale coppia di cariche dello stesso valore assoluto sarebbe corretto il risultato del tuo compagno? Giustificalo.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una camera di un acceleratore lineare di particelle c'è un campo elettrico verticale uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Vi entrano, separatamente e con la stessa velocità orizzontale, un protone e un elettrone (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa dell'elettrone $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; massa del protone $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Confronta i moduli delle forze elettriche sulle due particelle e ragiona sul perché sono uguali.
2. b) Calcola l'accelerazione di ciascuna.
3. c) Calcola il rapporto $\frac{a_e}{a_p}$ e mettilo in relazione con il rapporto delle masse $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Prevedi e giustifica: le due particelle deviano dallo stesso lato? Nello stesso tempo di volo, quale devia di più e di quante volte?