Esercizi: Dipendenza

In un'urna ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline blu. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Calcola la probabilità che la prima pallina sia rossa e la seconda sia blu.

Da un mazzo di $40$ carte (napoletane) si estraggono due carte a caso una dopo l'altra e senza reinserimento. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano re?

Si considerano due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio. Sappiamo che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Verifica matematicamente se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

Lanciamo due dadi normali a sei facce. Sapendo che la somma dei punteggi ottenuti è $8$, qual è la probabilità che su uno dei dadi sia uscito un $3$?

Osserva il seguente diagramma ad albero che rappresenta un esperimento composto in due fasi. Calcola la probabilità di ottenere il risultato finale $C$ passando per il ramo $A$.

In una classe di $30$ alunni, $18$ studiano francese, $12$ studiano tedesco e $5$ studiano entrambe le lingue. Se si sceglie un alunno a caso e risulta che studia francese, qual è la probabilità che studi anche tedesco?

Si estrae una carta da un mazzo di carte napoletane e, subito dopo, si lancia una moneta. Questi due eventi sono dipendenti o indipendenti? Calcola la probabilità di ottenere un "Asso" dal mazzo e "Testa" dalla moneta.

Una moneta è truccata in modo che la probabilità di ottenere Testa sia $0,7$. La moneta viene lanciata due volte consecutive. Calcola la probabilità di ottenere esattamente una Testa e una Croce (in qualsiasi ordine).

Marco ha in un cassetto $5$ calzini neri e $3$ calzini blu, tutti sfusi e identici al tatto. Si accinge a prendere due calzini consecutivamente, al buio e senza reinserimento. Per calcolare la probabilità che il primo calzino sia nero e il secondo sia blu, Marco scrive sul quaderno:

«$P(\text{Nero nel 1º}) = \frac{5}{8}$ e $P(\text{Blu nel 2º}) = \frac{3}{8}$. Poiché sono due eventi indipendenti, moltiplico le due probabilità: $P(\text{Nero e Blu}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$».

1. a) Indica l'errore concettuale commesso da Marco e spiega con parole tue perché due estrazioni consecutive senza reinserimento non possono essere trattate come eventi indipendenti.
2. b) Correggi il calcolo applicando la regola del prodotto per eventi dipendenti: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
3. c) Calcola la probabilità che i due calzini estratti siano dello stesso colore.

In un gruppo di $30$ studenti dell'ultimo anno della scuola media si svolge un sondaggio sugli hobby: $18$ giocano abitualmente ai videogiochi, $12$ praticano sport agonistico e $6$ svolgono entrambe le attività.

1. a) Se si sceglie a caso uno studente di tutta la classe, calcola la probabilità a priori che pratichi sport agonistico, $P(D)$.
2. b) Prima di fare qualsiasi calcolo formale, stima motivando: se scegliamo a caso uno studente solo tra quelli che giocano ai videogiochi, la probabilità che pratichi sport agonistico sarà maggiore, uguale o minore di quella ottenuta nel punto precedente? Giustifica la tua previsione confrontando la proporzione globale con quella del sottogruppo.
3. c) Verifica numericamente la tua stima calcolando la probabilità condizionata $P(D \mid V)$ mediante la sua definizione $P(D \mid V) = \frac{P(D \cap V)}{P(V)}$. Il risultato esatto conferma il tuo ragionamento precedente?

In una fabbrica, la macchina A produce il $60\%$ dei pezzi e la macchina B produce il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei pezzi prodotti da A è difettoso, mentre nella macchina B la percentuale di difettosi è del $5\%$. Se si sceglie un pezzo a caso dal magazzino, qual è la probabilità che sia stato fabbricato dalla macchina B e sia difettoso?

Un giocatore di basket ha una percentuale di successo del $80\%$ nel primo tiro libero. Se segna il primo, la sua fiducia aumenta e la probabilità di segnare il secondo tiro libero sale al $90\%$. Se invece sbaglia il primo, si innervosisce e la probabilità di segnare il secondo scende al $60\%$. Calcola la probabilità che il giocatore segni esattamente un tiro libero in una serie di due lanci.

In un paese, il $45\%$ degli abitanti legge il giornale X, il $35\%$ legge il giornale Y e il $15\%$ legge entrambi i giornali. Se scegliamo un abitante a caso e sappiamo che legge il giornale X, qual è la probabilità che legga anche il giornale Y? Alla luce dei risultati, spiega se gli eventi "leggere il giornale X" e "leggere il giornale Y" sono indipendenti.

Abbiamo due scatole. La SCATOLA I contiene $4$ palline verdi e $2$ gialle. La SCATOLA II contiene $3$ palline verdi e $5$ gialle. Estraiamo una pallina a caso dalla SCATOLA I e la mettiamo nella SCATOLA II. Poi mescoliamo bene ed estraiamo una pallina dalla SCATOLA II. Qual è la probabilità che entrambe le palline estratte siano verdi?

Da una scatola che contiene $10$ lampadine, si sa che $3$ di esse sono fulminate. Si estraggono $3$ lampadine successivamente e senza reinserimento. Qual è la probabilità che esattamente una delle lampadine estratte sia fulminata?

In una clinica si effettua un test rapido per l'allergia. Si sa che il $8\%$ dei pazienti è allergico a una determinata sostanza. Il test dà esito positivo nel $90\%$ dei pazienti realmente allergici. Tuttavia, dà anche un falso positivo nel $5\%$ dei pazienti non allergici. Si sceglie un paziente a caso e lo si sottopone al test. Qual è la probabilità che il risultato sia positivo?

Due arcieri scoccano una freccia allo stesso bersaglio. L'arciere A colpisce con probabilità $0,7$ e l'arciere B colpisce con probabilità $0,8$. I loro tiri sono del tutto indipendenti. Qual è la probabilità che il bersaglio sia colpito da almeno una freccia?

In uno scaffale ci sono $5$ romanzi e $3$ libri di poesia. Si scelgono due libri a caso uno dopo l'altro e senza reinserimento. Se il secondo libro scelto è risultato di poesia, qual è la probabilità che lo fosse anche il primo?

Secondo dati sulla mobilità ispirati a quelli del Ministero delle Infrastrutture per un esodo estivo, in una provincia il $70\%$ degli spostamenti interurbani avviene in autostrada ($A$) e il restante $30\%$ su strade statali secondarie ($S$). Si sa che la probabilità di subire un grave rallentamento ($R$) è $0,15$ se si viaggia in autostrada, mentre su strada secondaria tale probabilità si riduce a $0,05$.

1. a) Modella la situazione costruendo un diagramma ad albero completo che rifletta gli eventi di ogni fase e le relative probabilità (a priori e condizionate).
2. b) Usa il teorema della probabilità totale per calcolare la probabilità che un automobilista scelto a caso in quella giornata subisca un grave rallentamento.
3. c) Se un automobilista arriva a destinazione dopo aver subito un grave rallentamento, qual è la probabilità che abbia viaggiato in autostrada? Interpreta perché questa percentuale risulta così elevata nonostante le autostrade siano progettate per sostenere un traffico più fluido.

In un'urna opaca ci sono $10$ palline identiche al tatto, delle quali $r$ sono rosse e le restanti sono bianche. Si estraggono a caso due palline consecutivamente e senza reinserimento.

1. a) Sapendo che la probabilità che le due palline estratte siano rosse è esattamente $\frac{1}{15}$, imposta un'equazione algebrica in funzione di $r$ utilizzando la regola del prodotto per eventi dipendenti e risolvila per trovare quante palline di ciascun colore conteneva l'urna all'inizio.
2. b) Con la composizione dell'urna ormai dedotta, calcola la probabilità che la seconda pallina sia bianca sapendo che la prima estratta è stata rossa, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Dimostra matematicamente se l'evento «ottenere pallina bianca alla seconda estrazione» è dipendente o indipendente dal risultato ottenuto nella prima, confrontando $P(B_2 \mid R_1)$ con la probabilità a priori di ottenere bianca alla prima estrazione, $P(B_1)$.

Abbiamo tre forzieri identici all'esterno. Il FORZIERE A contiene $2$ monete d'oro e $1$ d'argento. Il FORZIERE B contiene $1$ moneta d'oro e $3$ d'argento. Il FORZIERE C contiene $4$ monete d'oro. Lanciamo un dado equilibrato: se esce $1$ o $2$, scegliamo il forziere A; se esce $3$, scegliamo il forziere B; se esce $4$, $5$ o $6$, scegliamo il forziere C. Poi estraiamo una moneta a caso dal forziere scelto. Qual è la probabilità che la moneta estratta sia d'oro?

In un liceo, il $55\%$ degli studenti sono ragazze. Si sa che il $20\%$ delle ragazze e il $25\%$ dei ragazzi partecipano attivamente al club di teatro. Se si sceglie a caso uno studente che partecipa al club di teatro, qual è la probabilità che sia una ragazza?

In un'urna ci sono $x$ palline rosse e $5$ palline nere. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le palline siano rosse è esattamente $\frac{1}{6}$, imposta un'equazione e determina il numero di palline rosse $x$ presenti nell'urna.

Un sistema di sicurezza informatica ha due firewall indipendenti. La probabilità che il firewall A fallisca di fronte a un attacco è $0,15$ e la probabilità che fallisca il firewall B è $0,10$. Il sistema è compromesso solo se entrambi i firewall falliscono. Qual è la probabilità che il sistema resista a un attacco? Se si aggiunge un terzo firewall C identico a B e indipendente dagli altri, di quanto aumenta la probabilità che il sistema resista all'attacco?

Un giocatore estrae carte da un mazzo di $40$ carte napoletane, una alla volta e senza reinserimento, finché esce una figura (fante, cavallo o re). Qual è la probabilità che debba estrarre esattamente $3$ carte per raggiungere il suo obiettivo?

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno stesso esperimento aleatorio tali che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Utilizzando le proprietà della probabilità, trova il valore dell'intersezione e calcola $P(A|B)$ e $P(B|A)$. Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Motiva la tua risposta.

Un sacchetto opaco contiene $10$ biglietti identici al tatto: $2$ di essi hanno un premio e $8$ sono bianchi. Tre amici, Fatima, Bruno e Ionut, estraggono consecutivamente e senza reinserimento un biglietto ciascuno in quest'ordine. Qual è la probabilità che il primo premio che esce lo ottenga Ionut?

Abbiamo due dadi cubici in un bussolotto. Il primo è un dado normale con le facce numerate da $1$ a $6$. Il secondo è un dado truccato che ha tre facce con un $2$, due facce con un $3$ e una faccia con un $5$. Si sceglie un dado a caso (con probabilità $\frac{1}{2}$ per ciascuno) e lo si lancia. Se il risultato ottenuto è un numero pari, qual è la probabilità che sia stato lanciato il dado truccato?

In un centro di salute scolastico si valuta l'affidabilità di un test diagnostico rapido per individuare un'infezione asintomatica. I dati epidemiologici indicano che la prevalenza dell'infezione nella popolazione target è del $2\%$ ($0,02$). La sensibilità del test è del $95\%$ (se una persona è infetta, risulta positiva con probabilità $0,95$) e il tasso di falsi positivi è del $5\%$ (se una persona è sana, risulta positiva per errore con probabilità $0,05$). Si vuole calcolare la probabilità che una persona con risultato positivo sia realmente infetta, $P(I \mid +)$.

Due studenti propongono metodi di risoluzione diversi:

• Metodo 1 (formale analitico): Definire gli eventi, calcolare la probabilità totale $P(+)$ sommando i due rami dell'albero e applicare il teorema di Bayes: $P(I \mid +) = \frac{P(I \cap +)}{P(+)}$.

• Metodo 2 (tabella di contingenza con frequenze naturali): Supporre una popolazione ipotetica di $10.000$ persone, suddividerle in una tabella a doppia entrata di $2 \times 2$ in base allo stato reale e al test, e calcolare il rapporto diretto tra gli infetti e il totale dei positivi.

1. a) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi e verifica che si arrivi esattamente allo stesso valore numerico (arrotonda il risultato a una cifra decimale in percentuale).
2. b) Confronta criticamente i due procedimenti: quale dei due metodi ritieni più adatto e comprensibile per spiegare a un paziente senza formazione matematica perché un test con «$95\%$ di accuratezza» produce una probabilità reale di essere malato così inaspettatamente bassa? Giustifica la tua scelta spiegando il ruolo che hanno i falsi positivi al denominatore.

In un processo penale si analizza un campione biologico trovato sul luogo dei fatti. La perizia forense conclude che solo $1$ persone ogni $100.000$ scelte a caso condividono tale profilo genetico; cioè, la probabilità di coincidenza accidentale in un individuo innocente è $P(\text{Coincidenza} \mid \text{Innocente}) = 0,00001$.

Il pubblico ministero accusa il sospettato Pietro argomentando quanto segue: «Dato che il DNA di Pietro coincide pienamente con il campione, la probabilità che sia innocente è di appena il $0,001\%$, per cui la sua colpevolezza è provata con una certezza del $99,999\%$.»

Il giudice richiede una perizia ipotizzando che il reato sia stato commesso in una città chiusa di $500.000$ abitanti adulti, tra i quali si trova l'unico colpevole, e sapendo che Pietro è stato identificato soltanto perché residente nella città e sottoposto a uno screening generale, senza che ci siano altre prove a suo carico.

1. a) Individua il grave errore concettuale commesso dal pubblico ministero (noto come «fallacia del pubblico ministero»), spiegando con chiarezza quali due probabilità condizionate diverse ha confuso e scrivendo ciascuna con la sua notazione simbolica $P(\dots \mid \dots)$.
2. b) Utilizzando il teorema di Bayes oppure deducendo il numero atteso di coincidenze nella popolazione di $500.000$ abitanti, calcola la probabilità reale che Pietro sia colpevole sapendo che il suo DNA ha coinciso: $P(\text{Colpevole} \mid \text{Coincidenza})$.
3. c) Scrivi una conclusione rivolta al tribunale in cui giustifichi, basandoti sul risultato numerico ottenuto, perché la prova del DNA da sola è insufficiente per condannare l'imputato in assenza di prove aggiuntive.