Esercizi: Disequazioni

Scrivi sotto forma di intervallo e rappresenta sulla retta reale i valori di $x$ che soddisfano la disuguaglianza $-3 \le x < 5$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Risolvi la seguente disequazione di primo grado:

$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$

Risolvi la disequazione di secondo grado $x^2 - 16 < 0$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni in una incognita:

$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$

Traduci in linguaggio algebrico e risolvi: "Il triplo di un numero, diminuito di $4$ unità, è al massimo $11$".

Verifica se i punti $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ e $C(-1, -2)$ sono soluzioni della disequazione in due incognite $3x - 2y \le 4$.

Risolvi la disequazione con valore assoluto $|x - 3| \le 5$ ed esprimi la sua soluzione mediante un intervallo.

Risolvi la disequazione lineare con denominatori:

$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$

Marco deve risolvere la disequazione lineare $-3x + 12 \ge 0$ e sul suo quaderno scrive i seguenti passaggi:

$-3x + 12 \ge 0$

$-3x \ge -12$

$x \ge \frac{-12}{-3}$

$x \ge 4$

Conclude affermando che l'insieme delle soluzioni è l'intervallo $[4, +\infty)$.

1. a) Senza ancora risolvere la disequazione, verifica che cosa succede se sostituisci nella disequazione originale un valore che appartiene all'insieme di Marco, per esempio $x = 5$. La disuguaglianza è soddisfatta?
2. b) Individua e spiega con ragionamento quale regola delle disuguaglianze Marco ha dimenticato di applicare nel passaggio dalla seconda alla terza riga. Perché il verso di una disuguaglianza cambia quando si moltiplica o si divide per un numero negativo?
3. c) Correggi il procedimento e scrivi l'insieme delle soluzioni corretto sotto forma di intervallo.

Il reparto di controllo qualità di un'azienda di imbottigliamento di olio d'oliva a Bari programma i suoi macchinari per riempire bottiglie da $1$ litro. Una bottiglia è accettata se il volume reale di olio, $x$ (in litri), si trova nell'intervallo $[0,98;\ 1,02]$.

1. a) Esprimi questa condizione di accettazione mediante una disequazione con valore assoluto della forma $|x - a| \le k$, deducendo e indicando con ragionamento quale numero rappresenta il centro $a$ e qual è il margine di tolleranza $k$.
2. b) Al contrario, una bottiglia è considerata difettosa e viene scartata se non rispetta tale standard. Scrivi la disequazione con valore assoluto che descrive le bottiglie scartate ed esprimi l'insieme dei volumi difettosi come unione di due intervalli disgiunti.

Risolvi la disequazione di primo grado con frazioni e parentesi:

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$

Risolvi la disequazione di secondo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Esprimi la soluzione come intervallo.

Trova la soluzione del seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$

Scrivi il sistema di disequazioni in due incognite la cui soluzione corrisponde alla regione colorata nella figura seguente.

Un agricoltore vuole imbottigliare la sua produzione di olio. Sapendo che dispone di bottiglie da $2$ litri e da $5$ litri, e che ha strettamente meno di $100$ litri di olio, scrivi una disequazione lineare in due incognite che modellizzi questa situazione. Se ha già riempito $10$ bottiglie da $5$ litri, quante bottiglie da $2$ litri può riempire al massimo?

La base di un rettangolo misura $5$ cm più della sua altezza. Se il perimetro del rettangolo deve essere maggiore di $30$ cm ma la sua area non può superare i $150$ cm$^2$, tra quali valori si trova la misura dell'altezza?

Risolvi la seguente disequazione fratta, studiando il segno negli intervalli corrispondenti:

$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$

Per essere promosso in una materia, uno studente deve avere una media di almeno $5$ punti nelle tre verifiche del trimestre. Se nelle prime due verifiche ha ottenuto $3,5$ e $4,2$, quale voto dovrà prendere nella terza verifica per essere promosso? (Il voto massimo è $10$).

Per spostarsi verso la scuola e le attività extrascolastiche durante il mese di ottobre, Lucia valuta due opzioni di trasporto pubblico:

• Opzione A (Tessera ricaricabile): paga $2,50$ € per la tessera fisica (pagamento unico) e $1,35$ € per ogni singolo viaggio effettuato.

• Opzione B (Abbonamento mensile giovani): tariffa fissa di $21,40$ € al mese con viaggi illimitati.

1. a) Stima: senza impostare equazioni, calcola mentalmente il costo di 10 e di 20 viaggi con l'Opzione A e stima tra quali decine di viaggi si troverà il momento in cui l'abbonamento giovani comincia a convenire. Spiega la tua stima.
2. b) Calcola: imposta una disequazione in cui l'incognita $x$ sia il numero intero di viaggi necessari affinché l'Opzione B risulti strettamente più economica dell'Opzione A. Risolvila passo per passo.
3. c) Verifica: determina il numero minimo esatto di viaggi per cui conviene acquistare l'abbonamento e confronta questo risultato con la tua stima precedente. Se Lucia prevede di fare solo 12 viaggi in tutto il mese, quale opzione le consiglieresti di scegliere?

La Polizia Stradale avverte che su asfalto bagnato la distanza di frenata aumenta notevolmente. Per un'autovettura, la distanza di frenata $d$ (in metri) in funzione della velocità di marcia $v$ (in km/h) può essere modellizzata con la formula approssimata:

$d = 0,005 \cdot v^2 + 0,2 \cdot v$

In un tratto urbano vicino a una scuola, con la pioggia, la distanza massima disponibile per frenare di fronte a un imprevisto senza oltrepassare le strisce pedonali è di $30$ metri (cioè $d \le 30$).

1. a) Modellizza la situazione impostando una disequazione di secondo grado rispetto alla velocità $v$.
2. b) Trasforma la disequazione in modo da avere zero al secondo membro, trova le radici dell'equazione quadratica associata e costruisci la tabella dei segni corrispondente per determinare il suo insieme soluzione matematico.
3. c) Interpreta l'intervallo ottenuto tenendo conto della realtà fisica del problema: qual è l'intervallo di velocità sicure a cui può viaggiare il veicolo? Giustifica perché l'intervallo matematico deve essere limitato a sinistra.

Determina i valori del parametro $m$ affinché la disequazione di secondo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ sia soddisfatta per qualsiasi numero reale $x$.

Risolvi la disequazione polinomiale di grado superiore scomponendo prima in fattori il polinomio:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$

Risolvi la disequazione fratta, facendo attenzione a svolgere correttamente i calcoli prima di studiare i segni (ricorda che non puoi eliminare denominatori che contengono l'incognita):

$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$

Una piccola azienda produce due tipi di auricolari wireless: il modello Alfa e il modello Beta. Il modello Alfa richiede $3$ ore di montaggio e $1$ ora di calibrazione, mentre il modello Beta richiede $2$ ore di montaggio e $2$ ore di calibrazione. L'azienda dispone di un massimo di $120$ ore per il montaggio e $80$ ore per la calibrazione alla settimana. Imposta il sistema di disequazioni che definisce la regione ammissibile e indica se sarebbe possibile produrre $20$ auricolari Alfa e $25$ auricolari Beta in una settimana.

Osserva la seguente regione ammissibile limitata (un triangolo) e determina il sistema di tre disequazioni lineari in due incognite che la definisce.

Si lancia un razzo giocattolo verticalmente verso l'alto. L'altezza $h$ (in metri) raggiunta dal razzo in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dall'espressione $h(t) = 30t - 5t^2$. Per quale intervallo di tempo il razzo si troverà a un'altezza strettamente maggiore di $25$ metri?

Risolvi la seguente disequazione che combina valore assoluto e polinomi di secondo grado:

$|x^2 - 5x| < 6$

Una dieta equilibrata richiede che l'assunzione giornaliera di due alimenti, $A$ e $B$, apporti almeno $60$ g di proteine e non superi i $80$ g di grassi. Ogni porzione da $100$ g dell'alimento $A$ contiene $15$ g di proteine e $10$ g di grassi. Ogni porzione da $100$ g dell'alimento $B$ contiene $10$ g di proteine e $20$ g di grassi. Se indichiamo con $x$ e $y$ il numero di porzioni da $100$ g degli alimenti $A$ e $B$ consumate rispettivamente, imposta il sistema di disequazioni e verifica se è possibile consumare esattamente $3$ porzioni di $A$ e $2$ porzioni di $B$ rispettando i vincoli.

Per risolvere la disequazione di secondo grado $x^2 - 2x - 8 \le 0$, due compagni propongono strategie diverse:

• Metodo A (algebrico): calcolare le radici di $x^2 - 2x - 8 = 0$, scomporre in fattori come $(x - 4)(x + 2) \le 0$, dividere la retta reale in tre tratti e costruire una tabella dei segni valutando punti di prova.

• Metodo B (geometrico / funzionale): interpretare l'espressione come la funzione parabolica $y = x^2 - 2x - 8$, osservare che i suoi rami sono rivolti verso l'alto ($a = 1 > 0$) e che interseca l'asse $X$ nelle sue radici, deducendo visivamente il tratto in cui la curva sta sotto o sopra l'asse ($y \le 0$).

1. a) Risolvi la disequazione con entrambi i metodi e verifica che si ottiene lo stesso insieme delle soluzioni.
2. b) Giustifica quale dei due percorsi ritieni più efficiente e con minor rischio di errori di calcolo con i segni in una verifica.
3. c) Considera ora la disequazione $x^2 - 2x + 5 \le 0$. Calcolando le sue radici si verifica che il discriminante è negativo (non esistono radici reali). Spiega come il Metodo B permette di dedurre la soluzione in modo quasi immediato senza ricorrere alle tabelle dei segni, e determina con ragionamento qual è la soluzione di questa disequazione.

Dato il seguente sistema di disequazioni lineari in un'incognita in cui compare un parametro reale $k$:

$\begin{cases} 2(x - 1) < x + 3 \\ 3x + k \ge 7 \end{cases}$

1. a) Risolvi la prima disequazione separatamente ed esprimi la sua soluzione come intervallo aperto.
2. b) Ricava l'incognita $x$ nella seconda disequazione in funzione del parametro $k$. Poi risolvi il problema inverso: determina quale valore esatto deve assumere $k$ affinché la soluzione finale del sistema (l'intersezione delle due disequazioni) sia esattamente l'intervallo semiaperto $[-1, 5)$.
3. c) Analizza che cosa succede al variare di $k$: per quali valori di $k$ il sistema risulta impossibile (non ha alcuna soluzione)? Giustifica la tua conclusione basandoti sulla rappresentazione grafica degli intervalli sulla retta reale e sulla definizione di intersezione di insiemi.