Esercizi: Problemi con le frazioni

In una classe di terza media ci sono 28 studenti. È stato condotto un sondaggio sulle loro preferenze nel tempo libero ed è emerso che $\frac{3}{7}$ della classe preferisce fare sport piuttosto che guardare serie TV.

Calcola quanti studenti preferiscono fare sport e quanti preferiscono guardare serie TV, supponendo che tutti abbiano scelto una delle due opzioni.

Il tuo telefono cellulare ha una batteria di lunga durata. Dopo averlo usato per tutta la mattina per ascoltare musica, noti che l'indicatore della batteria mostra che ti resta il $25\%$ di carica, che equivale alla frazione $\frac{1}{4}$.

Se il telefono ti indica che quel $\frac{1}{4}$ rimanente corrisponde a 3 ore di utilizzo:

1. a) Quante ore di utilizzo ha la batteria quando è carica al $100\%$?
2. b) Per quante ore hai ascoltato musica?

Aiutati con il seguente schema per dedurre la risposta.

Due amici, Alex e Bea, gareggiano per vedere chi completa per primo le sfide settimanali di un'app per le lingue. Nella figura, ogni barra completa rappresenta il totale delle sfide.

• Alex ha completato $\frac{2}{3}$ delle sfide.

• Bea ha completato $\frac{5}{8}$ delle sfide.

Rappresenta entrambe le frazioni riducendole a denominatore comune e stabilisci: chi sta vincendo la gara al momento?

Per il viaggio di fine anno, gli studenti vendono biglietti della lotteria.

• Il gruppo A ha venduto $\frac{1}{3}$ del totale dei biglietti.

• Il gruppo B ha venduto $\frac{2}{5}$ del totale.

• Il gruppo C ha venduto il resto.

1. a) Calcola quale frazione del totale dei biglietti hanno venduto insieme il gruppo A e il gruppo B.
2. b) Quale frazione dei biglietti ha dovuto vendere il gruppo C?

Dopo una festa di compleanno, è avanzata della torta. Osservando l'immagine, vediamo che nel piatto resta $\frac{1}{4}$ della torta originale. Se il pezzo avanzato pesa 300 grammi:

1. a) Quanto pesava la torta intera prima dell'inizio della festa?
2. b) Quanti grammi di torta hanno mangiato gli invitati?

Uno streamer vuole fare una diretta di 4 ore. Ha pianificato il tempo nel modo seguente:

• Dedicherà $\frac{1}{5}$ del tempo a chiacchierare con la chat (Just Chatting).

• Dedicherà $\frac{3}{4}$ del tempo a giocare al suo gioco preferito.

• Il tempo restante lo userà per guardare video divertenti.

Calcola quanti minuti dedicherà a ciascuna delle tre attività.

Un serbatoio d'acqua per l'irrigazione di un orto scolastico ha una capacità totale di 1200 litri.

Durante una settimana molto calda, è stato consumato $\frac{5}{6}$ dell'acqua del serbatoio.

1. a) Quanti litri d'acqua sono stati consumati?
2. b) Rappresenta graficamente la situazione e calcola quanti litri restano nel serbatoio.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Salma ha una playlist musicale con 120 canzoni.

• $\frac{1}{2}$ delle canzoni sono Pop.

• $\frac{1}{3}$ delle canzoni sono Rock.

• Il resto sono di Musica elettronica.

1. a) Quante canzoni sono Pop e quante sono Rock?
2. b) Quale frazione del totale rappresentano le canzoni di Musica elettronica? (Ricorda di semplificare il risultato, se possibile).

Marco ha ricevuto $60$ € in regalo per il compleanno e pianifica le sue spese del fine settimana. Il sabato spende $\frac{1}{3}$ del denaro totale per comprare un libro. La domenica decide di spendere $\frac{1}{2}$ di quello che gli restava per un biglietto per un concerto. Per sapere quanto denaro gli avanza, Marco esegue la seguente operazione: «Siccome ho speso un terzo e poi la metà, in totale ho speso $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ del mio denaro, quindi me ne resta $\frac{1}{6}$ di $60$ €, che sono $10$ €».\na) Individua l'errore concettuale commesso da Marco nel sommare direttamente le due frazioni e spiega perché $\frac{1}{2}$ non si riferisce alla stessa quantità di riferimento di $\frac{1}{3}$.\nb) Correggi il procedimento calcolando, passo dopo passo, quale frazione del totale reale ha speso la domenica, quale frazione del totale gli resta alla fine e quanto denaro ha esattamente in tasca.

Un'escursionista compie una tappa di $30\text{ km}$ del «Sentiero dell'Orso» in Abruzzo. Durante la mattina percorre $\frac{3}{5}$ del tragitto totale. Nel pomeriggio, a causa della stanchezza, avanza solo di $\frac{1}{4}$ della distanza che le restava da percorrere, momento in cui decide di fermarsi a riposare fino al giorno dopo.\na) Prima di eseguire i calcoli con i chilometri esatti, fai una stima ragionata: l'escursionista ha percorso in totale più o meno dei tre quarti ($75\,\%$) della tappa completa? Giustifica la tua previsione.\nb) Calcola con esattezza quale frazione del totale della tappa ha percorso nel pomeriggio e quanti chilometri le mancano ancora per arrivare alla fine.\nc) Verifica se la tua stima iniziale del punto a) era corretta calcolando la differenza esatta in chilometri rispetto al $75\,\%$ della tappa.

Immagina di avere un piano mensile di dati mobili. Durante la prima settimana del mese hai consumato $\frac{1}{3}$ del totale dei tuoi dati guardando video in streaming. Durante la seconda settimana hai usato $\frac{2}{5}$ di quello che ti restava navigando sui social.

1. a) Quale frazione del totale dei tuoi dati hai consumato in queste due settimane?
2. b) Se ti restano ancora 2 GB disponibili per il resto del mese, quanti GB aveva inizialmente il tuo piano?

Un gruppo di studenti sta organizzando un viaggio di fine anno. Per finanziarlo, decidono di vendere biglietti per una lotteria. Il primo mese vendono $\frac{3}{8}$ del totale dei biglietti. Il secondo mese fanno uno sforzo e vendono $\frac{2}{3}$ dei biglietti che restavano da vendere.

1. a) Quale frazione del totale dei biglietti resta ancora da vendere dopo il secondo mese?
2. b) Se alla fine sono avanzati 150 biglietti invenduti, quanti biglietti avevano all'inizio per la lotteria?

In una fabbrica di profumi hanno un grande serbatoio con 24 litri di essenza di lavanda. Devono imbottigliare tutto il contenuto in piccoli flaconi per la vendita.

1. a) Se ogni flacone ha una capacità di $\frac{3}{4}$ di litro, quanti flaconi possono riempire completamente?
2. b) Se cambiano formato e usano flaconi più piccoli da $\frac{3}{8}$ di litro, quanti flaconi serviranno ora? Spiega la relazione tra il risultato del punto a) e quello del punto b).

Una palla di gomma molto elastica viene lasciata cadere da una certa altezza. A causa della perdita di energia, a ogni rimbalzo si solleva solo di $\frac{3}{5}$ dell'altezza da cui era caduta nel rimbalzo precedente.

Dopo aver rimbalzato due volte (cade, rimbalza, sale, ricade, rimbalza e sale), la palla raggiunge un'altezza di 54 cm.

1. a) Quale frazione dell'altezza iniziale rappresenta l'altezza dopo il secondo rimbalzo?
2. b) Da quale altezza iniziale è stata lasciata cadere la palla?

Nella finale di un torneo di basket si confrontano le statistiche dei tiri liberi di due giocatori. Il giocatore A ha segnato 12 dei 15 tiri liberi tentati. Il giocatore B ha tirato 20 tiri liberi e ne ha segnati 17.

1. a) Scrivi la frazione di tiri riusciti di ciascun giocatore e semplificale, se possibile.
2. b) Riduci le frazioni a denominatore comune per stabilire quale giocatore ha avuto la mira migliore (maggiore proporzione di tiri riusciti).
3. c) Se il giocatore A avesse tirato gli stessi 20 tiri del giocatore B mantenendo la sua proporzione di successo, quanti canestri avrebbe segnato?

Un orto urbano comunitario di $600 m^2$ viene suddiviso per coltivare diversi ortaggi. Si dedicano $\frac{1}{4}$ del terreno ai pomodori e $\frac{2}{5}$ del terreno ai peperoni. Il resto del terreno viene diviso in parti uguali per piantare lattuga e carote.

1. a) Quale frazione del totale dell'orto è dedicata alla lattuga?
2. b) Quanti metri quadrati occupa la coltivazione di carote?

Stai scaricando un nuovo videogioco che occupa molto spazio sul disco rigido. Quando la barra di download ha completato $\frac{2}{7}$, la tua connessione a internet si interrompe. Alla riconnessione, il download riprende e avanza di $\frac{3}{5}$ di quello che mancava da scaricare.

1. a) Quale frazione del totale del gioco è stata scaricata dopo la seconda fase?
2. b) Se mancano ancora 4 GB per completare il download, quanto occupa in totale il videogioco?

In una classe di terza media si svolge una votazione per scegliere la meta della gita di fine anno. $\frac{1}{3}$ degli alunni vota per andare in un parco divertimenti. $\frac{2}{9}$ vota per andare in montagna. Il resto della classe, cioè 12 alunni, vota per andare al mare.

1. a) Quale frazione della classe ha votato per andare al mare?
2. b) Quanti alunni ci sono in totale nella classe?
3. c) Quanti alunni hanno votato per il parco divertimenti e quanti per la montagna?

Secondo i dati del bollettino idrologico del Ministero dell'Ambiente, un bacino idrico italiano aveva una certa riserva d'acqua all'inizio della primavera. Nel corso della stagione, l'irrigazione e il consumo urbano hanno usato $\frac{3}{8}$ dell'acqua invasata. Successivamente, durante i mesi estivi, è evaporato $\frac{1}{5}$ dell'acqua che rimaneva ancora nel bacino. Infine, per mantenere la portata ecologica del fiume, sono stati rilasciati $20\text{ hm}^3$, e nel bacino è rimasto un volume finale di $60\text{ hm}^3$.\na) Modellizza la situazione scrivendo un'unica espressione concatenata con operazioni tra frazioni che rappresenti la frazione di acqua iniziale che rimaneva subito prima di rilasciare la portata ecologica.\nb) Determina, giustificando, quanti ettometri cubi ($hm^3$) di acqua erano immagazzinati nel bacino all'inizio della primavera.\nc) Se la capacità massima assoluta del bacino è $250\text{ hm}^3$, a quale percentuale della sua capacità totale si trovava all'inizio della primavera? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini e come percentuale.

Per organizzare la biblioteca della scuola, gli studenti di terza media si occupano di catalogare un lotto di libri appena arrivati. Il lunedì catalogano $\frac{2}{7}$ del totale dei libri. Il martedì catalogano $\frac{3}{5}$ di quelli che erano rimasti da registrare. Il mercoledì concludono il lavoro catalogando gli ultimi $40$ libri. Per scoprire quanti libri avesse il lotto in totale, due studentesse propongono strade diverse:\n- Lucia propone di calcolare giorno per giorno la frazione rimanente rispetto al totale moltiplicando le frazioni che via via restano: $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$, e poi di calcolare la frazione del totale che rappresentano i libri del mercoledì.\n- Sara propone di impostare un'equazione di primo grado chiamando $x$ il numero totale di libri: $\frac{2}{7}x + \frac{3}{5}\left(x - \frac{2}{7}x\right) + 40 = x$.\na) Risolvi il problema applicando il metodo aritmetico delle frazioni concatenate di Lucia fino a trovare il numero totale di libri.\nb) Risolvi il problema applicando il metodo algebrico dell'equazione di Sara e verifica che si arriva alla stessa soluzione.\nc) Confronta i due metodi e giustifica quale ti sembra più diretto e con minor rischio di commettere errori con i denominatori in questo tipo di problemi.

Un serbatoio d'acqua per l'irrigazione di un orto biologico si riempie con due rubinetti. Il rubinetto A, che ha una portata maggiore, riesce a riempire il serbatoio vuoto in 4 ore. Il rubinetto B, più vecchio e lento, impiega 6 ore a riempirlo completamente. Un giorno, il serbatoio è vuoto e l'agricoltore apre entrambi i rubinetti contemporaneamente, ma dopo un'ora e mezza (1,5 h) il rubinetto A si guasta e smette di erogare acqua.

Calcola quale frazione del serbatoio resta da riempire in quel momento e quanto tempo impiegherà il rubinetto B, lavorando da solo, a finire di riempirlo.

Tre amici, Alessandro, Bea e Carlo, decidono di comprare un regalo comune per un compleanno. Alessandro contribuisce con $\frac{2}{5}$ del prezzo totale del regalo. Bea decide di mettere $\frac{3}{4}$ di ciò che mancava da pagare dopo il contributo di Alessandro. Infine, Carlo mette i restanti $15$ € per completare il prezzo.

Determina:

1. a) Quale frazione del totale ha pagato Carlo?
2. b) Qual era il prezzo totale del regalo?
3. c) Quanti soldi ha messo ciascuno degli altri due amici?

Un pallone da basket da gara viene lasciato cadere da una certa altezza. A causa della perdita di energia, a ogni rimbalzo il pallone si alza di $\frac{2}{3}$ dell'altezza da cui era caduto nel rimbalzo precedente. Dopo aver colpito il suolo per la terza volta, il pallone si alza fino a un'altezza di $56$ cm.

Calcola l'altezza iniziale da cui è stato lasciato cadere il pallone. Esprimi il risultato in metri.

Stiamo preparando due miscele di vernice per un murale di street art.

• Il Barattolo A contiene una miscela di $1\frac{1}{2}$ litri, in cui $\frac{1}{3}$ è vernice blu e il resto è vernice bianca.

• Il Barattolo B contiene $\frac{3}{4}$ di litro di una miscela in cui $\frac{2}{5}$ è vernice blu e il resto è bianca.

Se versiamo il contenuto dei due barattoli in un secchio grande per creare un'unica miscela:

1. a) Qual è il volume totale di vernice?
2. b) Quale frazione del volume totale della nuova miscela corrisponde alla vernice blu?

Un ciclista sta affrontando una tappa di montagna. Ha percorso i $\frac{3}{7}$ del percorso totale quando si ferma al rifornimento. Riparte e percorre $\frac{2}{5}$ di quello che gli restava per arrivare a un passo di montagna. In quel punto, consulta il GPS e vede che gli mancano ancora $18$ km per arrivare al traguardo.

Quanti chilometri è lunga la tappa in totale e quanti chilometri ha percorso nel primo tratto prima del rifornimento?

In una scuola si sta organizzando il viaggio di fine anno. All'inizio, $\frac{1}{6}$ degli alunni di terza media decidono di non andare. Del resto degli alunni che erano interessati, alla fine si ritirano $\frac{2}{15}$ perché le date non vanno bene. Se alla fine al viaggio vanno $130$ alunni:

1. a) Quale frazione del totale degli alunni di terza media è andata infine al viaggio?
2. b) Quanti alunni ci sono in totale in terza media?
3. c) Quanti alunni si sono ritirati a causa delle date?

Un agricoltore ha un appezzamento di terra rettangolare. Dedica $\frac{2}{5}$ della superficie alla coltivazione del grano. Del terreno restante, ne usa $\frac{3}{4}$ per coltivare mais. Il resto dell'appezzamento, che misura $600\text{ m}^2$, viene lasciato a maggese (non coltivato).

Sapendo che l'appezzamento ha una larghezza di $40$ metri, calcola la lunghezza dell'appezzamento.

Una famosa streamer di videogiochi osserva come calano nel tempo le visualizzazioni di uno dei suoi vecchi video.

Il primo mese, il video riceve una certa quantità di visite.

Il secondo mese, le visite calano di $\frac{1}{4}$ rispetto al mese precedente.

Il terzo mese, le visite calano di $\frac{2}{5}$ rispetto a quelle del secondo mese.

Se nel terzo mese il video ha avuto $10.800$ visualizzazioni.

Quante visualizzazioni ha avuto il video il primo mese?

In un centro sportivo comunale si analizza l'iscrizione dei suoi abbonati a tre aree esclusive: nuoto, sala pesi o corsi guidati.\nSi conoscono le seguenti condizioni:\n1. Una frazione unitaria $\frac{1}{n}$ (con $n$ intero maggiore di $1$) dei soci pratica nuoto. Inoltre, si sa che meno della metà dei soci pratica questo sport e che $n$ è un numero pari.\n2. Dei soci restanti, un'altra frazione unitaria $\frac{1}{m}$ pratica sala pesi.\n3. I $180$ soci che rimangono frequentano i corsi guidati, il che rappresenta esattamente i $\frac{3}{8}$ del totale degli abbonati del centro.\na) A partire dal dato dei corsi guidati, calcola il numero totale di abbonati del centro sportivo.\nb) Imposta l'equazione frazionaria corrispondente e deduci gli unici valori interi di $n$ e $m$ che rendono coerente il problema, dimostrando perché non possono esserci altre soluzioni.\nc) Scrivi il «problema diretto» inverso: scrivi il testo completo così come lo proporresti a un compagno, usando i valori di $n$, $m$ e il totale che hai trovato, in modo che l'incognita da calcolare siano i $180$ soci finali.

Due cooperative agricole pugliesi, OleoSud e MonteOlivo, hanno ottenuto esattamente lo stesso raccolto in chilogrammi di olive all'inizio della campagna. Ciascuna adotta una diversa strategia commerciale per vendere la propria produzione in due fasi:\n- OleoSud vende a novembre $\frac{2}{5}$ del raccolto totale. A gennaio vende $\frac{1}{3}$ di quello che le restava dopo la prima vendita.\n- MonteOlivo vende a novembre $\frac{1}{3}$ del raccolto totale. A gennaio vende $\frac{2}{5}$ di quello che le restava dopo quella prima vendita.\na) Prima di calcolare i chili, vari soci di MonteOlivo affermano che a loro resteranno più olive per l'autoconsumo che a OleoSud perché a novembre hanno venduto una frazione minore del totale ($\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$). Dimostra algebricamente quale frazione del totale del proprio raccolto conserva ciascuna cooperativa alla fine di gennaio e indica se tale affermazione è vera o falsa.\nb) Se a MonteOlivo sono rimasti esattamente $24\,000\text{ kg}$ di olive invendute, calcola quanti chilogrammi ha raccolto in totale ciascuna cooperativa e quanti chili ha venduto ciascuna a novembre e a gennaio.\nc) A partire dai risultati ottenuti, spiega con ragionamento la seguente apparente paradosso: come è possibile che alle due cooperative resti esattamente la stessa quantità finale di olive se in nessuno dei due mesi hanno venduto lo stesso numero di chilogrammi?

Sfida del tema. Le previsioni meteorologiche sono davvero affidabili? Trasformati in analista di dati climatici consultando il sito ufficiale del servizio meteorologico per il tuo comune.

1. Raccolta dei dati: Annota la probabilità di precipitazione prevista per i prossimi $4$ giorni. Trasforma ogni percentuale in frazione ridotta ai minimi termini ed esprimila anche in forma decimale, identificando il tipo di numero decimale ottenuto.

2. Approssimazione ed errori: Registra le temperature massime previste (con decimali se ci sono, oppure prenditi la briga di misurare la temperatura reale con un termometro alla stessa ora). Arrotonda i valori alle unità e calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi in ogni approssimazione.

3. Calcolo di probabilità: Supponi che la probabilità di previsione corretta giornaliera sia $p = \frac{4}{5} = 0,8$ e che gli esiti dei diversi giorni siano indipendenti tra loro. Usando le proprietà delle potenze di numeri razionali, calcola la probabilità di azzeccare la previsione per $4$ giorni consecutivi: $(\frac{4}{5})^4$. Confronta il risultato in forma frazionaria e decimale.

4. Prodotto finale: Raccogli le tue tabelle e i tuoi calcoli in un foglio di calcolo digitale e scrivi una breve conclusione argomentando l'affidabilità delle previsioni.

Verranno valutati:

• Precisione nel passaggio tra frazioni e decimali.

• Corretto calcolo e interpretazione degli errori assoluto e relativo.

• Applicazione rigorosa delle potenze di razionali al calcolo probabilistico.

• Organizzazione, chiarezza e uso adeguato del foglio di calcolo.