Esercizi: Notazione scientifica

Il video di un noto streamer italiano ha raggiunto la cifra di $45.200.000$ visualizzazioni in appena una settimana. Esprimi questo numero di visualizzazioni utilizzando la notazione scientifica e indica qual è la sua mantissa e qual è il suo ordine di grandezza.

Nel laboratorio di Biologia, un gruppo di studenti osserva che il diametro di un globulo rosso è di circa $7,5 \cdot 10^{-6}$ metri. La figura rappresenta il globulo rosso con la misura del suo diametro.

Esprimi questa misura in forma decimale (notazione standard) e spiega verso quale lato si sposta la virgola e di quante posizioni.

Indica quali dei seguenti numeri sono scritti correttamente in notazione scientifica. Nel caso in cui qualcuno non lo sia, spiega brevemente perché:

1. a) $0,45 \cdot 10^{8}$
2. b) $1,02 \cdot 10^{-5}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{3}$
4. d) $9,99 \cdot 10^{12}$

Un'azienda tecnologica sta confrontando le dimensioni di tre componenti elettronici. Le dimensioni sono: $A = 3,2 \cdot 10^{-4}$ mm, $B = 1,5 \cdot 10^{-3}$ mm e $C = 8,9 \cdot 10^{-4}$ mm. Ordina i componenti dal più piccolo al più grande basandoti sui loro esponenti e sulle loro mantisse.

La distanza media della Terra dal Sole è di circa $1,5 \cdot 10^{8}$ km. Se la luce viaggia a una velocità di $3 \cdot 10^{5}$ km/s, calcola il tempo che la luce del Sole impiega per arrivare sulla Terra eseguendo l'operazione direttamente in notazione scientifica (ricorda che $t = \frac{d}{v}$).

Un server di dati archivia file musicali. Ogni canzone occupa in media $4,5 \cdot 10^{6}$ byte. Se nel server sono archiviate $2 \cdot 10^{4}$ canzoni, quanti byte totali di musica ci sono nel server? Esprimi il risultato finale in notazione scientifica.

Determina il valore di $x$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze affinché l'equivalenza si mantenga in notazione scientifica:

1. a) $345.000 = 3,45 \cdot 10^{x}$
2. b) $0,00007 = 7 \cdot 10^{x}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{4} = 1,25 \cdot 10^{x}$

Osserva il seguente schema che rappresenta lo spostamento della virgola decimale per convertire il numero $0,000042$ in notazione scientifica. Completa i riquadri con il valore del coefficiente (mantissa) e l'esponente corrispondente.

Per una relazione di Economia del primo anno di liceo, Lucia deve confrontare e sommare due voci di bilancio che una regione destina a borse di studio: la voce $A = 4,8 \cdot 10^6$ euro e la voce $B = 7,5 \cdot 10^5$ euro. Lucia afferma nella sua bozza quanto segue:

«Poiché $7,5$ è maggiore di $4,8$, la voce $B$ ha una dotazione economica maggiore della $A$. Inoltre, il denaro totale assegnato tra le due voci è $(4,8 + 7,5) \cdot 10^{6+5} = 12,3 \cdot 10^{11} = 1,23 \cdot 10^{12}$ euro».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Lucia (uno nel confronto e uno nella somma) e spiega in modo ragionato perché le sue deduzioni sono matematicamente false.
2. b) Correggi la relazione di Lucia: indica quale delle due voci è realmente maggiore giustificando la tua decisione a partire dagli ordini di grandezza e calcola il valore esatto della somma totale $A + B$ esprimendo il risultato in notazione scientifica rigorosa.

Secondo i rapporti annuali dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), l'Italia ha accolto in un anno circa $8,4 \cdot 10^7$ turisti internazionali. Ogni visitatore ha effettuato una spesa media stimata di $1,25 \cdot 10^3$ euro durante la sua vacanza nel paese.

1. a) Senza fare alcun calcolo su carta né usare la calcolatrice, stima mentalmente l'ordine di grandezza (la potenza di $10$) che dovrebbe avere la spesa turistica complessiva in euro. Spiega con chiarezza il ragionamento che hai seguito per stabilire tale ordine.
2. b) Esegui ora il calcolo esatto della spesa totale moltiplicando le due grandezze ed esprimi il risultato finale in notazione scientifica corretta.
3. c) Verifica se il risultato calcolato coincide con la tua stima precedente e spiega perché analizzare in anticipo l'ordine di grandezza permette di individuare rapidamente errori di calcolo quando si digita su una calcolatrice scientifica.

In un centro di elaborazione dati di un noto social network si stima che ogni secondo vengano generati $2,5 \cdot 10^6$ megabyte (MB) di nuove informazioni.

1. a) Esprimi in notazione scientifica quanti gigabyte (GB) vengono generati in un giorno intero (considera che $1 \text{ GB} = 10^3 \text{ MB}$).

1. b) Se ogni disco rigido di archiviazione ha una capacità di $1,2 \cdot 10^{13}$ byte, quanti dischi rigidi sarebbero necessari per archiviare le informazioni di un anno bisestile? (considera che $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ byte}$). Indica il risultato con tre cifre significative.

La massa di una particella di polvere in sospensione è di circa $7,25 \cdot 10^{-10}$ kg. Un purificatore d'aria ha catturato, dopo una settimana di funzionamento, un totale di $4,35 \cdot 10^{-2}$ grammi di queste particelle.

1. a) Calcola il numero totale di particelle catturate dal purificatore.

1. b) Se il filtro del purificatore deve essere sostituito quando raggiunge una massa accumulata di $1,5 \text{ decigrammi}$, per quante settimane ancora potrà funzionare prima di richiedere manutenzione? Esprimi i calcoli e il risultato finale in notazione scientifica.

Un gruppo di ricercatori analizza gli investimenti in R&S di tre potenze mondiali. La prima investe $4,2 \cdot 10^{11} €$, la seconda $1,85 \cdot 10^{12} €$ e la terza $9,7 \cdot 10^{10} €$.

1. a) Calcola l'investimento totale delle tre potenze insieme, esprimendo il risultato in notazione scientifica.

1. b) Quale percentuale del totale rappresenta l'investimento della potenza che apporta meno denaro? Arrotonda la percentuale a due cifre decimali.

In microelettronica lo spessore di uno strato isolante in un processore è di $4,5$ nanometri ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$). Se il processore ha una superficie totale di $1,2 \text{ cm}^2$:

1. a) Esprimi lo spessore dello strato in metri usando la notazione scientifica.

1. b) Calcola il volume totale di materiale isolante utilizzato in tale processore in metri cubi ($m^3$). Tieni presente che il volume è il prodotto della superficie per lo spessore.

Esegui le seguenti operazioni combinate ed esprimi il risultato in notazione scientifica, arrotondando a tre cifre significative:

Un globulo rosso ha una forma approssimativamente circolare con un diametro di $7,5 \cdot 10^{-4} \text{ cm}$.

1. a) Calcola la lunghezza della sua circonferenza in metri. (Usa $\pi \approx 3,1416$).

1. b) Se potessimo mettere in fila tutti i globuli rossi di un adulto (circa $2,5 \cdot 10^{13}$ globuli), che distanza in chilometri raggiungerebbero? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

La distanza media della Terra dal Sole è di $1,496 \cdot 10^8 \text{ km}$. La velocità della luce è di $3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.

1. a) Calcola quanto tempo, in minuti e secondi, impiega la luce del Sole ad arrivare sulla Terra.

1. b) Se un'astronave viaggia a velocità costante di $5,5 \cdot 10^4 \text{ km/h}$, quanti giorni impiegherebbe a completare il viaggio di andata e ritorno?

È stata misurata la massa di un oggetto di laboratorio ottenendo un valore di $3,45 \cdot 10^{-3}$ grammi, mentre il valore reale è di $3,458 \cdot 10^{-3}$ grammi.

1. a) Calcola l'errore assoluto commesso nella misura.

1. b) Calcola l'errore relativo ed esprimilo in percentuale. Si considera una misura precisa se il margine di errore accettabile è del $0,5\%$? Giustifica la risposta.

La Banca di Spagna ha registrato il debito pubblico nazionale in una cifra approssimativa di $1,58 \cdot 10^{12}$ euro al termine di un anno. Nello stesso periodo, l'anagrafe dell'INE rilevava una popolazione totale di $4,8 \cdot 10^7$ persone in Spagna, mentre la popolazione occupata (lavoratori attivi che generano contributi ed entrate fiscali dirette) era solo di $2,1 \cdot 10^7$ persone.

1. a) Modella il «debito pro capite» dividendo il debito totale per il numero totale di abitanti. Esprimi il quoziente in notazione scientifica con tre cifre significative e poi indicalo in formato decimale ordinario (euro per abitante).
2. b) Modella il «debito per lavoratore attivo», dividendo il debito totale esclusivamente per la popolazione occupata. Esprimi il risultato in notazione scientifica con tre cifre significative.
3. c) Deduci dalle mantisse e dagli esponenti calcolati quante volte è maggiore il carico teorico che grava su un lavoratore attivo rispetto alla media della popolazione generale. Spiega perché l'uso della notazione scientifica semplifica il confronto di grandezze macroeconomiche rispetto alla notazione numerica tradizionale.

Una società di revisione analizza i conti di un'azienda di commercio elettronico. Si sa che l'utile netto annuo, $B$, risponde alla formula $B = I - C$, dove $I$ sono i ricavi lordi e $C$ i costi operativi totali. A loro volta, i costi totali derivano dall'effettuare $N$ consegne con un costo logistico unitario fisso di $c_u = 3,5 \cdot 10^1$ euro per spedizione (cioè $C = N \cdot c_u$). Si dispone dei seguenti dati definitivi:

• Ricavi lordi: $I = 4,2 \cdot 10^8$ euro.

• Utile netto ottenuto: $B = 3,85 \cdot 10^8$ euro.

1. a) Imposta l'equazione corrispondente e calcola il valore dei costi operativi totali $C$. Esprimi il risultato in notazione scientifica corretta.
2. b) Calcola il numero esatto di spedizioni $N$ effettuate dall'azienda in quell'esercizio. Scrivi $N$ in notazione scientifica, identificando chiaramente la sua mantissa e il suo ordine di grandezza.
3. c) Se nell'anno successivo i ricavi $I$ restassero identici ma i costi totali $C$ aumentassero esattamente di un ordine di grandezza, ragiona attraverso l'analisi degli esponenti se l'azienda continuerebbe a essere in utile o andrebbe in perdita, senza bisogno di calcolare la sottrazione completa.

In un laboratorio di nanotecnologie si sta analizzando la massa di una nuova particella sintetica stimata in $m = 4,25 \cdot 10^{-22}$ grammi. Tuttavia, lo strumento di misura ha un limite massimo dell'errore assoluto di $5 \cdot 10^{-25}$ grammi. D'altra parte, un astronomo misura la massa di un asteroide vicino come $M = 7,8 \cdot 10^{15}$ chilogrammi con un errore relativo del $0,01\%$.

Svolgi i seguenti compiti esprimendo tutti i risultati in notazione scientifica:

1. a) Determina l'intervallo dei valori possibili per la massa della particella $m$ utilizzando la notazione degli intorni $E(a, r)$.

1. b) Calcola il limite massimo dell'errore relativo commesso nella misura della particella e confrontalo con l'errore relativo dell'asteroide. Giustifica, motivando, quale misura è più precisa.

1. c) Se si unissero $1,5 \cdot 10^{24}$ particelle uguali, quale sarebbe la massa totale risultante? Considera sia il valore stimato sia l'errore assoluto accumulato.

Calcola il valore della seguente espressione semplificando il più possibile il risultato ed esprimilo in notazione scientifica con tre cifre significative:

Successivamente, determina un limite per l'errore assoluto commesso arrotondando il valore di $L$ alla prima cifra decimale della sua mantissa.

Un data center di un social network elabora circa $2,5 \cdot 10^6$ richieste al secondo. Ogni richiesta comporta lo spostamento di $1,2 \cdot 10^4$ byte di informazione.

1. a) Calcola quanti terabyte ($1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ byte}$) di informazione elabora il centro in un anno bisestile.

1. b) Se il centro prevede di aumentare la propria capacità di elaborazione del $15\%$ annuo in modo composto, quante informazioni (in byte) elaborerà al secondo tra dieci anni? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

Il numero aureo, $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, è presente nel design di molte interfacce di app mobili attuali per ottenere armonia visiva. Considera lo schermo di uno smartphone che segue questa proporzione, in cui la larghezza misura $w = 6,8 \cdot 10^{-2}$ metri.

1. a) Calcola l'area dello schermo in millimetri quadrati ($mm^2$) sapendo che il rapporto tra l'altezza ($h$) e la larghezza ($w$) è esattamente $\phi$. Usa l'espressione con radicali di $\phi$ per il calcolo e approssima il risultato finale in notazione scientifica con due cifre decimali.

1. b) Se durante la fabbricazione del vetro si produce un errore di $1 \cdot 10^{-4}$ metri nella larghezza, senza che l'altezza cambi, come influisce questo sull'errore relativo dell'area?

In una campagna di riforestazione globale si stima che ogni albero piantato assorba in media $2,2 \cdot 10^1$ kg di $CO_2$ all'anno. La piattaforma organizzatrice afferma di aver compensato $4,5 \cdot 10^8$ tonnellate di $CO_2$ negli ultimi 5 anni ($1 \text{ tonnellata} = 10^3 \text{ kg}$).

1. a) Supponendo che il numero di alberi piantati sia stato costante e che l'assorbimento sia cumulativo (gli alberi piantati il primo anno assorbono per cinque anni, quelli del secondo per quattro, ecc.), calcola quanti alberi sono stati piantati ogni anno.

1. b) Se c'è un errore nella misura dell'assorbimento di $\pm 5\%$ per albero, calcola l'intervallo dell'errore assoluto della cifra totale di tonnellate compensate.

Rappresenta sulla retta reale l'insieme dei numeri che soddisfano la seguente condizione di "tolleranza industriale" per un pezzo di precisione:

1. a) Esprimi l'insieme sotto forma di intervallo e come disuguaglianza senza valore assoluto.

1. b) Il numero $0,00435$ è un valore accettabile per questo pezzo? Giustifica la risposta verificando se appartiene all'insieme.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si prevede che la popolazione mondiale raggiunga $9,7 \cdot 10^9$ persone nell'anno 2050. Se la superficie terrestre totale è di circa $1,48 \cdot 10^8 \text{ km}^2$, di cui solo il $25\%$ è abitabile:

1. a) Calcola la densità di popolazione (abitanti per $km^2$) nelle zone abitabili per l'anno 2050.

1. b) Se ogni persona consuma in media $1,3 \cdot 10^6$ chilocalorie all'anno, quanta energia alimentare totale (in kcal) servirà all'umanità in un decennio (10 anni), supponendo che la popolazione rimanga costante al valore del 2050? Dai il risultato in notazione scientifica.

Data la seguente figura che rappresenta uno schema di cavi in fibra ottica interrati, la distanza tra i punti di ispezione $A$ e $B$ è data dall'espressione $d = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} + \sqrt{2 \cdot 10^{-5}}$ chilometri.

1. a) Semplifica l'espressione della distanza $d$ portando fuori fattori dai radicali e operando in modo da ottenere un unico radicale (o la somma più semplice possibile).

1. b) Se per effettuare una riparazione serve un cavo di lunghezza esattamente il triplo di $d$, calcola tale lunghezza ed esprimila in metri usando la notazione scientifica con quattro cifre significative.

Una società di investimento gestisce un portafoglio del valore di $F = 5,2 \cdot 10^{10}$ euro. Alla chiusura dell'anno fiscale deve inserire due rettifiche: l'incasso degli interessi maturati su un conto ausiliario, pari a $I = 6,8 \cdot 10^4$ euro, e il pagamento di una sanzione regolamentare di $S = 4,1 \cdot 10^7$ euro. Il patrimonio finale rettificato è dato dall'espressione $P = F + I - S$.

Per presentare il rapporto al consiglio di amministrazione con una precisione di quattro cifre significative, due economisti propongono strade diverse:

• Metodo 1 (Sviluppo decimale completo): scrivere tutti gli zeri di ciascuna delle tre cifre numeriche, incolonnarle secondo le unità ed eseguire la tradizionale addizione e sottrazione in notazione posizionale classica, per poi riconvertire in notazione scientifica.

• Metodo 2 (Raccoglimento degli ordini di grandezza): raccogliere a fattor comune la potenza predominante ($10^{10}$), esprimere le quantità secondarie come mantisse associate a tale esponente ($I = 0,0000068 \cdot 10^{10}$ e $S = 0,0041 \cdot 10^{10}$) e analizzare la rilevanza di ciascun termine prima di arrotondare a quattro cifre significative.

1. a) Applica il Metodo 2 mostrando passo per passo le operazioni e ottieni il valore finale di $P$ con quattro cifre significative in notazione scientifica. Spiega che cosa accade alla quantità $I$ durante questo processo e giustifica se è matematicamente lecito trascurarla.
2. b) Analizza i vantaggi e gli svantaggi dei due metodi secondo tre criteri: rischio di errore per omissione/aggiunta di zeri, costo temporale del calcolo e adeguatezza ai sistemi informatici in virgola mobile.
3. c) Giustifica in modo argomentato quale dei due metodi dimostra una comprensione più profonda della struttura dei numeri reali e della gestione degli ordini di grandezza.

In uno studio sulla gestione delle risorse idriche nel bacino del Po, la capacità totale degli invasi è fissata in $C = 8,0 \cdot 10^9 \text{ m}^3$. All'inizio dell'anno agricolo l'acqua immagazzinata è al $25\%$ della sua capacità massima totale.

Nel corso dei $365$ giorni dell'anno sono previsti tre apporti ed estrazioni di acqua:

1. Apporti da piogge e deflusso fluviale: una portata costante che apporta $1,5 \cdot 10^6 \text{ m}^3$ di acqua al giorno.

2. Perdite per evaporazione naturale sulla superficie dei bacini: un totale cumulato nell'anno di $1,25 \cdot 10^8 \text{ m}^3$.

3. Prelievo per consumo umano, urbano e irrigazione agricola: si preleva un volume totale annuo di $V_E = k \cdot 10^8 \text{ m}^3$, dove $k$ è un parametro che soddisfa $1 \le k < 10$.

1. a) Esprimi in notazione scientifica rigorosa: il volume iniziale di acqua immagazzinata e il volume totale annuo apportato dalle piogge.
2. b) Per evitare restrizioni severe nelle città, le autorità stabiliscono che il volume finale di acqua invasata al termine dei $365$ giorni non possa scendere al di sotto di una riserva di emergenza di $1,8 \cdot 10^9 \text{ m}^3$. Imposta una disequazione con tutti i termini espressi in notazione scientifica e trova il valore massimo ammissibile per la mantissa $k$.
3. c) Supponi che una siccità estrema riduca le piogge di tutto l'anno esattamente di un ordine di grandezza rispetto alla previsione iniziale. Dimostra matematicamente se sarebbe possibile mantenere la riserva di emergenza di $1,8 \cdot 10^9 \text{ m}^3$ anche nel caso estremo di sospendere totalmente il consumo umano e l'irrigazione ($k = 0$).