Esercizi: Eventi semplici

Scrivi lo spazio campionario associato all'esperimento aleatorio che consiste nell'estrarre una pallina da un'urna che contiene $5$ palline numerate da $1$ a $5$.

In una cassetta degli attrezzi ci sono $12$ viti, $8$ dadi e $5$ chiodi. Se si estrae un pezzo a caso, calcola la probabilità che sia un dado.

Si lancia un dado cubico equilibrato con le facce numerate da $1$ a $6$. Determina gli elementi che formano l'evento contrario a "ottenere un numero minore di $3$" e calcola la sua probabilità.

Da un mazzo di $40$ carte si estrae una carta a caso. Calcola la probabilità di ottenere un cavallo.

Nell'esperimento del lancio di un dado a $6$ facce, classifica i seguenti eventi in elementari, composti, certi o impossibili:

• $A = $ "ottenere un $4$"

• $B = $ "ottenere un numero maggiore di $6$"

• $C = $ "ottenere un numero pari"

• $D = $ "ottenere un numero minore di $10$"

Considera l'esperimento dell'estrazione di una carta da un mazzo di $40$ carte. Indica se gli eventi $A = $ "estrarre una figura" e $B = $ "estrarre una carta di denari" sono compatibili o incompatibili. Giustifica la risposta.

Dato lo spazio campionario $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ e gli eventi $A = \{2, 4, 6, 8\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4\}$, determina gli elementi che formano gli eventi $A \cup B$ e $A \cap B$.

Una ruota della fortuna da fiera è divisa in $8$ settori circolari uguali, numerati da $1$ a $8$. Calcola la probabilità che, facendola girare, la freccia si fermi su un numero multiplo di $3$.

Marco lancia contemporaneamente due monete equilibrate da $1$ euro e afferma quanto segue: «Lo spazio campionario di questo esperimento è $E = \{ \text{due teste}, \text{una testa e una croce}, \text{due croci} \}$. Poiché i casi possibili sono $3$ e solo uno di essi è "ottenere una testa e una croce", la definizione classica di probabilità indica che la probabilità di ottenere una testa e una croce è $\frac{1}{3}$». a) Spiega in modo motivato qual è l'errore concettuale di Marco e perché non è lecito applicare la definizione classica di probabilità sullo spazio campionario da lui proposto. b) Scrivi lo spazio campionario corretto formato da eventi elementari equiprobabili e calcola la probabilità reale dell'evento analizzato da Marco.

In un mazzo di $40$ carte (diviso in $4$ semi da $10$ carte ciascuno: denari, coppe, spade e bastoni, numerate da $1$ a $7$ più fante, cavallo e re), si estrae una carta a caso. Considera l'evento $A$: «estrarre una carta che sia una figura (fante, cavallo o re) o che porti un numero primo ($2$, $3$, $5$ o $7$)». a) Prima di calcolare, stima in modo ragionato se $P(A)$ sarà maggiore, minore o uguale a $0,5$, analizzando quante carte di un solo seme soddisfano almeno una delle due condizioni. b) Verifica la tua stima calcolando il valore esatto di $P(A)$ mediante la definizione classica di probabilità (esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini e come numero decimale) e stabilisci se la tua previsione iniziale era corretta.

Si lanciano contemporaneamente due dadi cubici equilibrati e si annota la somma dei punteggi ottenuti sulle facce superiori. Calcola la probabilità che la somma sia esattamente $8$.

In una fabbrica di componenti elettronici, un controllo di qualità ispeziona un lotto di $500$ pezzi. Dopo la verifica, sono stati trovati $15$ pezzi difettosi. Se un cliente sceglie un pezzo a caso da quel lotto, qual è la probabilità che funzioni correttamente?

Sapendo che la probabilità che si verifichi un evento $A$ è $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilità che si verifichi un evento $B$ è $P(B) = \frac{3}{10}$ e la probabilità che si verifichino entrambi contemporaneamente è $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calcola la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi.

In un'urna si inseriscono delle tessere con ciascuna delle lettere della parola $ESPECTACULO$. Se si estrae una tessera a caso, calcola la probabilità che la lettera estratta sia una vocale o la lettera $C$.

Un giocatore di basket ha tirato $80$ tiri liberi durante la stagione, mettendone a segno $64$. Utilizzando la frequenza relativa come stima della probabilità, qual è la probabilità che sbagli il prossimo tiro libero?

In una classe di $30$ alunni, $18$ praticano nuoto, $15$ praticano tennis e $5$ non praticano nessuno dei due sport. Se si sceglie un alunno a caso, calcola la probabilità che pratichi entrambi gli sport contemporaneamente.

In un rifugio per animali, il $40\%$ dei cani è di taglia grande, il $35\%$ è di taglia media e il resto è di taglia piccola. Se si seleziona un cane a caso per una passeggiata, calcola la probabilità che non sia di taglia media.

Si lanciano in aria tre monete equilibrate contemporaneamente. Descrivi lo spazio campionario e calcola la probabilità di ottenere esattamente due teste.

Stai progettando una ruota della fortuna circolare per una festa della scuola, divisa in settori continui di tre colori: rosso, blu e verde. Per regolare i premi del gioco, il progetto deve rispettare le seguenti condizioni: 1) La probabilità che la ruota non si fermi sul colore verde è esattamente $\frac{7}{10}$. 2) L'evento «ottenere rosso» ha una probabilità che supera di $0,1$ quella dell'evento «ottenere blu». Determina la probabilità di ciascuno dei tre colori (eventi elementari) e calcola l'angolo in gradi che deve occupare il settore di ciascun colore nel cerchio completo di $360^\circ$. Giustifica i tuoi passaggi utilizzando la proprietà dell'evento contrario e dell'unione di eventi incompatibili.

In un liceo, la presidenza analizza le iscrizioni dei $120$ studenti del quarto anno alle materie opzionali di indirizzo. I dati ufficiali indicano che $72$ alunni frequentano Biologia e Geologia, $48$ frequentano Fisica e Chimica e $24$ frequentano contemporaneamente entrambe le materie. Se si seleziona a caso uno studente del quarto anno di questo istituto: a) Modellizza la situazione definendo gli eventi elementari e calcola le probabilità $P(B)$, $P(F)$ e $P(B \cap F)$. b) Applica la formula della probabilità dell'unione per calcolare la probabilità che lo studente frequenti almeno una delle due materie. c) Utilizzando l'evento contrario, calcola la probabilità che non frequenti nessuna delle due materie.

In un'urna ci sono $x$ palline rosse e $6$ palline bianche. Sapendo che la probabilità di estrarre a caso una pallina rossa è $\frac{2}{5}$, imposta un'equazione e determina il numero totale di palline presenti nell'urna.

Un bersaglio circolare è formato da tre cerchi concentrici di raggi $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ e $30\text{ cm}$. Se un dardo colpisce a caso un punto qualsiasi del bersaglio (con la certezza che colpisca sempre all'interno del cerchio maggiore), calcola la probabilità che cada nella corona circolare intermedia (la zona compresa tra il raggio $10\text{ cm}$ e il raggio $20\text{ cm}$).

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio tali che $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ e $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizzando le proprietà della probabilità, calcola la probabilità dell'evento contrario dell'intersezione, cioè $P(\overline{A \cap B})$.

Per aprire una cassaforte bisogna inserire un codice numerico di $3$ cifre (dal $000$ al $999$). Un ladro, che non conosce la combinazione, prova un numero a caso. Calcola la probabilità che il codice inserito abbia le tre cifre identiche.

In un sorteggio si estrae una pallina da un'urna che contiene $100$ palline numerate da $1$ a $100$. Calcola la probabilità che il numero della pallina estratta contenga almeno una cifra $7$.

Un sondaggio condotto su $200$ clienti di un bar rivela che $120$ prendono il caffè, $90$ prendono il toast e $40$ non prendono nessuna delle due cose. Se si sceglie un cliente a caso, calcola la probabilità che il cliente prenda il caffè ma NON il toast.

Un dado a sei facce è truccato in modo che la probabilità che esca una faccia pari sia il doppio della probabilità che esca una faccia dispari. Sapendo che tutte le facce pari hanno la stessa probabilità tra loro, e lo stesso vale per le facce dispari, calcola la probabilità esatta di ottenere $6$.

Si hanno due eventi $A$ e $B$ incompatibili di uno stesso esperimento aleatorio. Sapendo che la probabilità che non si verifichi $A$ è $P(\overline{A}) = 0,7$ e che la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è $P(A \cup B) = 0,8$, calcola la probabilità che si verifichi l'evento $B$.

Si lanciano contemporaneamente tre dadi cubici equilibrati con facce numerate da $1$ a $6$. Si vuole calcolare la probabilità dell'evento $A$: «ottenere almeno un $5$ nel lancio». Due studenti discutono quale strada seguire: la Strategia 1 (metodo diretto) consiste nel scomporre $A$ nella somma di tre eventi incompatibili («esattamente un $5$», «esattamente due $5$» e «tre cinque») e sommare le loro probabilità; la Strategia 2 (evento contrario) consiste nel calcolare la probabilità di $\bar{A}$ («non ottenere nessun $5$ in nessuno dei tre dadi») e applicare $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi fino a ottenere il risultato sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini, verificando che coincidano. b) Giustifica quale delle due strategie è più efficiente e spiega come influirebbe la scelta del metodo se l'esperimento consistesse nel lanciare $8$ dadi equilibrati anziché $3$.

In una classe di Matematica si analizza un esperimento aleatorio con due eventi, $A$ e $B$, di uno stesso spazio campionario, le cui probabilità sono $P(A) = 0,65$ e $P(B) = 0,55$. Lucia afferma: 1) «Gli eventi $A$ e $B$ possono essere incompatibili se progettiamo bene l'esperimento». 2) «Il valore minimo possibile per la probabilità dell'intersezione $P(A \cap B)$ è $0$». 3) «La probabilità dell'unione $P(A \cup B)$ potrebbe essere $1,2$ se sommiamo le loro probabilità». a) Confuta con argomentazioni le tre affermazioni di Lucia applicando gli assiomi e le proprietà della probabilità ($P(A \cup B) \le 1$ e la formula dell'unione). b) Deduci l'intervallo esatto $[p_{\min}, p_{\max}]$ in cui deve necessariamente trovarsi $P(A \cap B)$. c) Progetta un esempio concreto mediante un'urna con $20$ palline numerate da $1$ a $20$ in cui valgano esattamente $P(A) = 0,65$ e $P(B) = 0,55$ e si raggiunga il valore minimo $p_{\min}$ dell'intersezione.