Esercizi: Alberi

Una scatola contiene $4$ palline rosse e $6$ palline blu. Si estrae una pallina a caso, si annota il suo colore, la si rimette nella scatola e si estrae una seconda pallina. Disegna il corrispondente diagramma ad albero e calcola la probabilità di ottenere due palline blu.

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In un bar si offrono due tipi di menù: il $60\,\%$ dei clienti sceglie il menù del giorno e il $40\,\%$ sceglie il menù vegetariano. Di quelli che scelgono il menù del giorno, il $70\,\%$ chiede il caffè come dessert. Di quelli che scelgono il menù vegetariano, il $80\,\%$ chiede il tè. Calcola la probabilità che un cliente scelto a caso abbia preso il menù del giorno e abbia anche chiesto il caffè.

Completa il seguente diagramma ad albero che rappresenta il lancio di una moneta truccata due volte consecutive, sapendo che la probabilità di ottenere testa è $\frac{1}{3}$. A partire dall'albero, calcola la probabilità di ottenere prima testa e poi croce.

In un armadio ci sono $5$ magliette bianche e $3$ nere. Si scelgono due magliette a caso, una dopo l'altra e senza rimettere la prima nell'armadio. Calcola la probabilità che entrambe le magliette siano bianche.

Lanciamo un dado a sei facce e, successivamente, estraiamo una carta da un mazzo di $40$ carte. Se sul dado esce un numero pari, vinciamo se estraiamo un Re. Se sul dado esce un numero dispari, vinciamo se estraiamo un Asso. Calcola la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e, inoltre, vincere.

Per andare al lavoro, Yasmin può andare in autobus (con probabilità $0,7$) o in bicicletta (con probabilità $0,3$). Se va in autobus, la probabilità di arrivare in ritardo è $0,2$. Se va in bicicletta, la probabilità di arrivare in ritardo è $0,05$. Qual è la probabilità che Yasmin vada in bicicletta e arrivi puntuale?

In un'urna ci sono $2$ palline verdi e $3$ palline gialle. Estraiamo una pallina, la guardiamo e la lasciamo fuori. Poi estraiamo un'altra pallina. Qual è la probabilità che la prima sia verde e la seconda gialla?

Un giocatore di basket ha una probabilità di $0,8$ di segnare un tiro libero. Se effettua due tiri liberi in modo indipendente, disegna l'albero delle probabilità e determina la probabilità che sbagli entrambi i tiri.

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In una borsa ci sono $3$ gettoni neri e $2$ bianchi. Si estraggono due gettoni successivamente e senza reinserimento. Per calcolare la probabilità che il secondo gettone sia bianco, Luca disegna un diagramma ad albero. Nella seconda fase osserva due rami che terminano in «bianco»: uno con probabilità $\frac{1}{4}$ (se il primo era bianco) e l'altro con probabilità $\frac{2}{4}$ (se il primo era nero). Luca conclude: «Poiché entrambi i rami terminano in bianco, la probabilità totale che il secondo gettone sia bianco è $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$».\na) Spiega in dettaglio l'errore concettuale di ragionamento che commette Luca sommando direttamente questi due rami del secondo livello.\nb) Correggi il suo calcolo utilizzando in modo appropriato le probabilità dei cammini completi dell'albero e confronta il risultato con la probabilità di aver estratto bianco alla prima estrazione. Quale conclusione ottieni?

Nella progettazione di un videogioco d'avventura, uno scrigno può avere una trappola (con probabilità $0,3$) o contenere una ricompensa (con probabilità $0,7$). Se ha una trappola, la probabilità che l'eroe la disattivi con successo è $0,2$. Se contiene una ricompensa, questa può essere intatta o deteriorata dal passare del tempo.\nPer bilanciare la difficoltà, lo sviluppatore ha bisogno che la probabilità totale che il giocatore «ottenga una ricompensa intatta o disattivi la trappola con successo» sia esattamente $0,62$.\na) Disegna il diagramma ad albero della situazione individuando le fasi, i rami e indicando con $p$ la probabilità condizionata che «la ricompensa sia intatta sapendo che non c'era la trappola».\nb) Imposta e risolvi un'equazione sui rami dell'albero per trovare il valore esatto che deve avere $p$.

In una fabbrica di componenti elettronici, tre macchine (A, B e C) producono rispettivamente il $50\,\%$, il $30\,\%$ e il $20\,\%$ dei pezzi. Le percentuali di pezzi difettosi prodotti da ciascuna macchina sono il $2\,\%$, il $4\,\%$ e il $5\,\%$. Aiutandoti con il diagramma ad albero, calcola la probabilità che un pezzo scelto a caso sia difettoso.

In una partita di tennis, se la prima battuta di un giocatore va dentro (probabilità $0,6$), il giocatore vince il punto con probabilità $0,7$. Se la prima battuta è fallo, esegue una seconda battuta che va dentro con probabilità $0,8$. Se la seconda battuta va dentro, vince il punto con probabilità $0,5$. Se anche la seconda battuta è fallo, commette doppio fallo e perde automaticamente il punto. Calcola la probabilità totale che il giocatore vinca il punto in quel servizio.

Abbiamo due urne. L'urna A contiene $3$ palline rosse e $2$ nere. L'urna B contiene $4$ palline rosse e $5$ nere. Lanciamo una moneta: se esce testa, estraiamo una pallina dall'urna A; se esce croce, estraiamo una pallina dall'urna B. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa?

Uno studente deve sostenere due esami lo stesso giorno. La probabilità di superare il primo è $0,6$. Se supera il primo, si motiva e la probabilità di superare il secondo sale a $0,8$. Se invece non supera il primo, si scoraggia e la probabilità di superare il secondo scende a $0,3$. Costruisci il diagramma ad albero e calcola la probabilità che superi almeno uno dei due esami.

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In un test diagnostico per un'allergia, il $5\,\%$ della popolazione ha realmente l'allergia. Se una persona ha l'allergia, il test risulta positivo il $90\,\%$ delle volte. Se non ce l'ha, il test risulta negativo il $95\,\%$ delle volte. Disegna un diagramma ad albero per illustrare la situazione e calcola la probabilità che una persona scelta a caso ottenga un risultato positivo al test.

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Un sacchetto contiene $5$ palline bianche e $4$ palline nere. Si estraggono palline una alla volta e senza reinserimento fino a che esce una pallina nera. Qual è la probabilità di dover effettuare esattamente tre estrazioni perché il gioco termini?

Il clima in una città costiera segue uno schema curioso: se un giorno è soleggiato, la probabilità che il giorno dopo piova è $0,2$. Se un giorno piove, la probabilità che il giorno dopo continui a piovere è $0,6$. Sapendo che oggi è lunedì ed è soleggiato, qual è la probabilità che mercoledì piova? Disegna il corrispondente diagramma ad albero per i giorni martedì e mercoledì.

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Si dispone di un mazzo di $40$ carte. Si estraggono tre carte consecutivamente senza reinserimento. Calcola la probabilità che le tre carte siano dello stesso seme (denari, coppe, spade o bastoni).

Secondo i registri meteorologici di una località del nord, a novembre piove il $10\,\%$ dei giorni. I dati dell'azienda municipale dei trasporti indicano che, se piove, la probabilità che una linea di autobus subisca un ritardo notevole è $0,40$; se invece non piove, tale probabilità si riduce a $0,05$.\na) Prima di calcolare qualsiasi cosa, stima intuitivamente: se un giorno qualsiasi di novembre quella linea subisce un ritardo notevole, ritieni più probabile che abbia piovuto o che non abbia piovuto? Giustifica brevemente la tua intuizione considerando il peso di ciascun tipo di giorno.\nb) Modella la situazione con un diagramma ad albero e calcola la probabilità totale che l'autobus subisca un ritardo notevole in un giorno di novembre.\nc) Calcola mediante il teorema di Bayes la probabilità che abbia piovuto sapendo che l'autobus è arrivato in ritardo. Verifica se la tua stima iniziale del punto a) era corretta o se sei caduto nella «fallacia della frequenza di base».

Secondo i dati della Motorizzazione sull'esame pratico di guida, in una determinata provincia il $45\,\%$ dei candidati supera l'esame al primo tentativo. Quelli che non lo superano si presentano a un secondo appello dopo aver fatto guide di rinforzo, e il $60\,\%$ di loro lo supera a questo secondo tentativo. Chi non supera il secondo appello non prosegue quell'anno.\na) Modella l'intero processo mediante un diagramma ad albero, indicando in ogni nodo e ramo gli eventi («supera al 1º», «non supera al 1º», «supera al 2º», «non supera al 2º») e le relative probabilità.\nb) Quale percentuale totale di candidati ottiene la patente in un massimo di due appelli?\nc) Se scegliamo a caso una persona che ha ottenuto la patente in questo processo, qual è la probabilità che l'abbia ottenuta al primo appello? Interpreta che cosa significa questo valore per la gestione delle liste d'attesa dell'autoscuola.

Si hanno due scatole. La scatola 1 contiene $4$ gettoni blu e $2$ rossi. La scatola 2 contiene $3$ gettoni blu e $5$ rossi. Si estrae un gettone a caso dalla scatola 1 e lo si inserisce nella scatola 2. Successivamente, si estrae un gettone dalla scatola 2. Calcola la probabilità che il gettone estratto dalla scatola 2 sia blu.

In un'urna ci sono $x$ palline bianche e $4$ palline nere. Si estraggono due palline senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le palline siano bianche è $\frac{1}{3}$, imposta l'equazione corrispondente aiutandoti con un diagramma ad albero e determina il numero iniziale di palline bianche $x$.

Due squadre di e-sports, Alpha e Beta, giocano la finale di un torneo al meglio delle tre partite (la prima che vince due partite è la campionessa). Alpha è la squadra più forte, per cui la sua probabilità di vincere una qualsiasi partita è $0,6$. Le partite non possono finire in pareggio. Disegna il diagramma ad albero dei possibili svolgimenti della finale e calcola la probabilità che la squadra Beta vinca il torneo.

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Un sistema di allarme di una camera blindata ha 3 sensori di movimento. La probabilità che il sensore A non funzioni di fronte a un'intrusione è $0,1$; quella che non funzioni il sensore B è $0,05$; e quella che non funzioni il sensore C è $0,2$. I sensori agiscono in modo del tutto indipendente. Disegna il corrispondente diagramma ad albero e calcola la probabilità che, di fronte a un'intrusione reale, almeno un sensore si attivi e faccia suonare l'allarme.

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In una città, il $20\,\%$ dei conducenti è giovane (under 25) e il $80\,\%$ è adulto. La probabilità che un conducente giovane abbia un incidente in un anno è $0,15$, mentre per un adulto è $0,05$. Si seleziona un conducente a caso e risulta che ha avuto un incidente quest'anno. Utilizzando i rami di un diagramma ad albero, calcola la probabilità che tale conducente sia giovane. (Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini).

In un gioco da tavolo, un giocatore deve superare un fossato saltando su tre piattaforme successive. La probabilità di scivolare sulla prima piattaforma è $\frac{1}{10}$. Se supera la prima, la probabilità di scivolare sulla seconda è $\frac{1}{5}$. Se supera la seconda, la probabilità di scivolare sulla terza è $\frac{1}{4}$. Se scivola su una qualsiasi piattaforma, cade nel fossato e perde. Qual è la probabilità che il giocatore attraversi il fossato con successo? Se sappiamo che il giocatore è caduto nel fossato, qual è la probabilità che sia caduto esattamente sulla seconda piattaforma?

Un'urna contiene $5$ palline numerate da $1$ a $5$. Si estraggono palline una alla volta, senza reinserimento, finché la somma dei numeri estratti è maggiore o uguale a $6$. Disegna il diagramma ad albero con tutti i rami possibili sapendo che alla prima estrazione è uscita la pallina con il numero $2$. A partire dal tuo albero, calcola la probabilità che il gioco termini esattamente alla terza estrazione.

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In una gara, un arciere dispone di un massimo di tre frecce per colpire il bersaglio. La probabilità di centrare con la prima freccia è $0,4$. Se sbaglia, regola il mirino e la probabilità di centrare con la seconda è $0,6$. Se sbaglia di nuovo, si agita e la probabilità di centrare con la terza è $0,3$. L'arciere smette di tirare nel momento in cui centra il bersaglio. Calcola la probabilità che l'arciere abbia bisogno di più di un tiro sapendo che alla fine è riuscito a colpire il bersaglio.

In un'urna ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline bianche. Si estraggono successivamente $3$ palline a caso e senza reinserimento. Si vuole calcolare la probabilità di ottenere almeno una pallina bianca.\nTre studenti propongono strategie diverse usando gli alberi:\n- Alberto propone di disegnare l'albero completo delle tre estrazioni ($2^3 = 8$ rami finali), individuare tutti i cammini che contengono una, due o tre bianche e sommare le loro probabilità.\n- Beatrice propone di calcolare l'evento contrario («nessuna bianca», cioè tre rosse di seguito) mediante un unico ramo dell'albero e sottrarre la sua probabilità a $1$.\n- Carlo propone un «albero potato»: se alla prima o alla seconda estrazione esce una bianca, interrompe quel ramo (è già un successo) e ramifica solo quando esce una rossa.\na) Sviluppa e calcola la probabilità richiesta utilizzando il metodo di Beatrice e quello di Carlo, verificando che entrambi portino esattamente alla stessa frazione ridotta ai minimi termini.\nb) Confronta con rigore i tre metodi: indica quanti cammini e quante moltiplicazioni richiede ciascuno e giustifica perché il metodo di Alberto è il meno efficiente e il più esposto a errori algebrici.\nc) Se il testo chiedesse di «ottenere esattamente due palline bianche», il metodo dell'evento contrario di Beatrice sarebbe ancora vantaggioso? Giustifica quale metodo sarebbe ottimale in quel caso.

Un filtro di sicurezza analizza le email in arrivo di un istituto bancario. Si sa che il $10\,\%$ delle email ricevute è fraudolento (phishing) e il $90\,\%$ è legittimo. Il sistema di rilevamento classifica correttamente come minaccia il $95\,\%$ delle email che sono phishing. Tuttavia, non è infallibile con le email legittime: esiste una probabilità sconosciuta $p$ di «falso positivo» (un'email legittima che il filtro segnala erroneamente come minaccia).\nPer non sovraccaricare il team di cybersicurezza con falsi allarmi, la direzione esige che, quando il filtro lancia un allarme, la probabilità che l'email sia effettivamente phishing sia almeno del $90\,\%$.\na) Modella il problema mediante un diagramma ad albero, lasciando la probabilità $p$ indicata sul ramo corrispondente ai falsi positivi.\nb) Ricava l'espressione algebrica, in funzione di $p$, della probabilità che un'email sia phishing sapendo che il filtro ha lanciato un allarme.\nc) Imposta e risolvi una disequazione per determinare il valore massimo ammissibile di $p$. Spiega perché, nonostante il filtro rilevi il $95\,\%$ del phishing, il tasso di falsi positivi $p$ debba mantenersi su un valore straordinariamente basso.

Sfida del tema. Il tempo di ieri predice quello di oggi? Verificherai con dati reali se la pioggia nella tua località presenta eventi dipendenti o indipendenti.

1. Raccolta: Entra nel sito del servizio meteorologico e registra in un foglio di calcolo la precipitazione giornaliera del tuo comune negli ultimi $30$ giorni. Definisci l'evento semplice $L$: «giorno di pioggia» ($>0,1$ mm).

2. Analisi: Calcola la probabilità di $L$ e del suo contrario. Conta le coppie di giorni consecutivi per calcolare le probabilità condizionate $P(L_2|L_1)$ e $P(L_2|\overline{L}_1)$. Confronta i valori con $P(L)$ usando la condizione di indipendenza $P(L_2|L_1)=P(L)$ e argomenta se il tuo campione suggerisce eventi dipendenti o indipendenti (è una stima provvisoria: ci sono solo $30$ giorni; se non c'è nessun giorno di pioggia o nessuno senza pioggia, amplia il periodo).

3. Modellizzazione: Costruisci un diagramma ad albero con queste probabilità e calcola la probabilità dell'evento composto «piovere due giorni di seguito questo fine settimana».

4. Prodotto: Elabora una breve relazione di una pagina con il foglio di calcolo collegato, l'albero risolto e una conclusione argomentata sull'affidabilità della previsione del tempo con questo modello.

Verrà valutato:

• Calcolo corretto di probabilità semplici e condizionate a partire da dati reali del servizio meteorologico.

• Giustificazione matematica argomentata della dipendenza o indipendenza osservata nel campione, riconoscendone il carattere provvisorio.

• Costruzione adeguata del diagramma ad albero e risoluzione dell'evento composto.

• Chiarezza espositiva e uso corretto del foglio di calcolo e della notazione probabilistica.