Esercizi: Sistemi di equazioni lineari

Verifica se la coppia di valori $(x, y) = (2, -1)$ è soluzione del seguente sistema di equazioni lineari:

$3x + 2y = 4$

$x - 4y = 6$

Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione:

$x = 2y + 5$

$3x - 4y = 11$

Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo del confronto:

$y = 3x - 2$

$y = -x + 6$

Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di riduzione:

$5x + 3y = 21$

$2x - 3y = 0$

Osserva la rappresentazione grafica di due rette che formano un sistema di equazioni lineari. Indica qual è la soluzione del sistema e classificalo in base al numero di soluzioni (determinato, indeterminato o impossibile).

La somma di due numeri è $54$ e la loro differenza è $12$. Imposta un sistema di equazioni lineari e calcola il valore di entrambi i numeri.

In un bar, per $3$ caffè e $2$ cornetti ci hanno fatto pagare $7,50$ €. Se compriamo $1$ caffè e $4$ cornetti dello stesso tipo, il prezzo è di $6,50$ €. Quanto costano un caffè e un cornetto?

Risolvi il seguente sistema di equazioni con il metodo analitico che ritieni più adatto:

$4x - y = 7$

$2x + y = 11$

Marco cerca di risolvere con il metodo di riduzione il seguente sistema di equazioni lineari:

$\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 5x + 4y = 6 \end{cases}$

Per eliminare l'incognita $y$, decide di moltiplicare la prima equazione per $2$ e scrive sul quaderno:

$6x - 4y = 8$

Poi somma membro a membro con la seconda equazione, ottenendo $11x = 14$, da cui conclude che $x = \frac{14}{11}$.

1. a) Individua con precisione quale errore ha commesso Marco e spiega perché il suo passaggio non mantiene l'equivalenza del sistema, basandoti sulle proprietà algebriche delle uguaglianze.
2. b) Correggi il suo svolgimento e trova la soluzione esatta $(x, y)$ del sistema originale.

Analizza attentamente i seguenti due sistemi di equazioni lineari:

Sistema 1: $\begin{cases} x = 2y - 5 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Senza ancora risolverli, giustifica in modo ragionato quale dei tre metodi algebrici usuali (sostituzione, confronto o riduzione) risulta più rapido ed efficiente per il Sistema 1 e quale per il Sistema 2, in base ai coefficienti delle incognite.
2. b) Risolvi il Sistema 2 utilizzando il metodo scelto nel punto precedente e verifica che la soluzione ottenuta soddisfi entrambe le uguaglianze.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, eseguendo prima le operazioni per eliminare le parentesi:

$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$

$x - 4(y + 2) = -10$

Risolvi il seguente sistema eliminando prima i denominatori:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$

$5$ anni fa, l'età di una madre era il triplo di quella del figlio. Tra $10$ anni, l'età della madre sarà il doppio di quella del figlio. Imposta un sistema di equazioni lineari per calcolare le età attuali di entrambi.

Il perimetro di un terreno rettangolare misura $120$ metri. Se la lunghezza del terreno misura $10$ metri in più della larghezza, quali sono le dimensioni del terreno?

Un commerciante mescola olio d'oliva da $4$ €/litro con olio di girasole da $2$ €/litro per ottenere $60$ litri di una miscela che venderà a $3,50$ €/litro. Imposta un sistema di equazioni per scoprire quanti litri di ciascun tipo di olio ha utilizzato.

In un salvadanaio ci sono $40$ monete, alcune da $0,20$ € e altre da $0,50$ €. Se in totale ci sono $12,50$ €, quante monete di ciascun tipo contiene il salvadanaio?

Rappresenta graficamente il seguente sistema di equazioni lineari e indica la sua soluzione a partire dal grafico:

$x + y = 5$

$2x - y = 4$

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un'officina di riparazione veicoli ci sono tra auto e moto un totale di $35$ veicoli. Se contiamo le ruote di tutti (senza considerare quelle di scorta), ci sono in totale $110$ ruote. Quante auto e quante moto ci sono nell'officina?

In un auditorium di Bologna sono stati venduti tutti i 150 biglietti disponibili per uno spettacolo di beneficenza. C'erano due tipi di posti: tariffa intera a $18\text{ €}$ e tariffa ridotta per studenti a $10\text{ €}$. L'incasso finale alla biglietteria è stato di $2220\text{ €}$.

1. a) Prima di impostare qualsiasi equazione, fai una stima ragionata: sono stati venduti più biglietti interi o ridotti? Per giustificarlo, calcola cosa sarebbe successo all'incasso se tutti i 150 biglietti fossero stati da $10\text{ €}$ o tutti da $18\text{ €}$.
2. b) Imposta un sistema di due equazioni lineari in due incognite che rappresenti la situazione e risolvilo con il metodo che ritieni più conveniente.
3. c) Verifica se il numero di biglietti trovato per ciascun tipo coincide con la tua deduzione qualitativa precedente e spiega perché la soluzione è coerente nel contesto reale.

Considera il seguente sistema con coefficienti incogniti:

$\begin{cases} 2x + ky = 6 \\ 4x - 6y = c \end{cases}$

1. a) Determina quali valori numerici devono assumere i parametri $k$ e $c$ affinché il sistema sia indeterminato (infinite soluzioni). Spiega quale relazione geometrica hanno le due rette in questo caso.
2. b) Mantenendo il valore di $k$ ottenuto nel punto precedente, indica quale condizione deve soddisfare $c$ affinché il sistema risulti impossibile. Quale posizione reciproca hanno le rette sul piano cartesiano?
3. c) Costruisci una seconda equazione lineare diversa che, insieme a $2x - 3y = 6$, formi un nuovo sistema determinato la cui unica soluzione sia la coppia $(x, y) = (3, 0)$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, semplificando prima le espressioni con frazioni e parentesi:

$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$

$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$

Determina il valore del parametro $k$ affinché il seguente sistema di equazioni sia impossibile (cioè le rette che lo rappresentano siano parallele):

$kx + 3y = 5$

$4x - 2y = 7$

In un negozio di elettronica, un computer portatile e un tablet costano insieme $1500$ €. Durante la settimana di saldi, applicano uno sconto del $15\,\%$ al portatile e del $10\,\%$ al tablet, per cui il prezzo complessivo diventa $1305$ €. Imposta un sistema di equazioni per scoprire il prezzo originale di ciascun articolo.

Determina il valore del parametro $m$ affinché il seguente sistema abbia infinite soluzioni (sia un sistema indeterminato):

$3x - my = 12$

$-6x + 8y = -24$

Due ciclisti partono contemporaneamente da due città, A e B, distanti $78$ km, e si dirigono l'uno verso l'altro in linea retta. Impiegano esattamente $3$ ore per incontrarsi. Se la velocità del primo ciclista è maggiore di $4$ km/h rispetto a quella del secondo, a che velocità viaggia ciascuno?

In un laboratorio si hanno due soluzioni di uno stesso acido, una con concentrazione $10\,\%$ e l'altra $25\,\%$. Si vogliono ottenere $45$ litri di una nuova soluzione con concentrazione $16\,\%$. Quanti litri di ciascuna soluzione originale bisogna mescolare?

Osserva la seguente rappresentazione grafica di un sistema formato da due rette, $r_1$ e $r_2$, le cui equazioni sono della forma $ax+by=c$ e $a'x+b'y=c'$. A partire dal grafico, classifica il sistema in base al numero di soluzioni e spiega quale relazione algebrica deve esistere tra i coefficienti delle due equazioni perché si verifichi questa situazione.

Una persona investe un totale di $25000$ € in due diversi fondi di investimento. Il primo fondo offre un interesse annuo del $4\,\%$, mentre il secondo offre il $6\,\%$. Se dopo un anno i guadagni totali ottenuti dai due fondi ammontano a $1320$ €, quanto denaro ha investito in ciascuno?

Un servizio comunale di prestito di biciclette elettriche a Napoli offre un piano di abbonamento che comprende una quota fissa mensile di manutenzione ($x$) e un costo fisso per ogni tragitto di più di 30 minuti ($y$).

Nel mese di aprile, Paolo ha effettuato 16 tragitti fatturabili e la sua ricevuta totale è stata di $23,20\text{ €}$. Carmen, invece, ha effettuato 28 tragitti fatturabili con lo stesso piano e ha pagato $34,00\text{ €}$.

1. a) Descrivi la situazione con un sistema di equazioni lineari e calcola il valore della quota fissa mensile ($x$) e il prezzo di ciascun tragitto ($y$).
2. b) Un nuovo utente dispone di un budget massimo mensile di $20\text{ €}$. Qual è il numero massimo di tragitti di più di 30 minuti che può permettersi al mese con questo piano?
3. c) Ricava l'espressione del costo medio per tragitto in funzione del numero totale di tragitti $n$ effettuati nel mese. Ragiona a partire da quanti tragitti mensili il costo medio per tragitto risulta inferiore a $1,30\text{ €}$ e interpreta cosa accade al peso della quota fissa man mano che aumenta l'uso del servizio.

Si considera il seguente sistema di equazioni lineari dipendente dai parametri $a$ e $b$:

$\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 3x - y = b \end{cases}$

1. a) Senza risolverlo con i metodi algebrici tradizionali, classifica il tipo di sistema (determinato, indeterminato o impossibile) al variare di $a$ e $b$, utilizzando i rapporti tra i coefficienti e i termini noti.
2. b) Fissando $a = -6$ e $b = -2$, dimostra algebricamente che il sistema ammette infinite soluzioni, esprimi la soluzione generale in funzione di una delle incognite e fornisci tre soluzioni numeriche particolari distinte.
3. c) Dal punto di vista geometrico, descrivi la posizione reciproca delle due rette in ciascuno dei casi analizzati nel punto a) e giustifica in modo rigoroso perché è impossibile che un sistema di due equazioni lineari in due incognite abbia esattamente due soluzioni distinte.