Ejercicios: Las leyes del movimiento planetario

Johannes Kepler dedujo tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

1. a) Enuncie la primera ley de Kepler (ley de las órbitas).
2. b) Dibuje en su cuaderno una órbita elíptica y señale en ella los dos focos de la elipse, la posición del Sol, el perihelio (punto más cercano al Sol) y el afelio (punto más alejado).
3. c) Indique qué es el semieje mayor $a$ de la órbita y escriba su expresión en función de las distancias del perihelio, $r_p$, y del afelio, $r_a$.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

1. a) Enuncie la segunda ley de Kepler (ley de las áreas).
2. b) Un planeta recorre su órbita elíptica pasando por el perihelio y por el afelio. Aplique la ley de las áreas para razonar en cuál de esos dos puntos se mueve más rápido.
3. c) La velocidad areolar (área barrida por el radio vector por unidad de tiempo) es constante porque el momento angular del planeta se conserva. Explique cualitativamente por qué un radio vector más corto en el perihelio implica una velocidad mayor.

1. a) Enuncie la tercera ley de Kepler (ley de los periodos) y escriba su expresión matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando el significado de $T$ y de $a$.
2. b) La constante vale $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central. Razone si $C$ es la misma para todos los planetas del sistema solar y si lo sería también para las lunas de Júpiter.

La Tierra pasa por el perihelio a una distancia del Sol $r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$ y por el afelio a $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita con ambas distancias (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$ (unidad astronómica: distancia media Tierra–Sol), expresa el resultado en unidades astronómicas y comenta lo que observas.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el periodo $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0.387\ \text{UA}$.

1. a) Calcule el periodo orbital de Mercurio, en años.
2. b) Exprese el resultado en días terrestres ($1$ año $= 365.25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despeje el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calcule su valor, en $\text{UA}$.

Un alumno afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ es una constante universal, su valor es el mismo para la Tierra alrededor del Sol que para la Luna alrededor de la Tierra».

1. a) Razone por qué la afirmación es falsa, teniendo en cuenta que $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, siendo $M$ la masa del cuerpo central.
2. b) Indique un conjunto de cuerpos para el que sí coincidiría la constante con la de las lunas de Júpiter.

Dibuje en su cuaderno una órbita elíptica alargada con el Sol situado en uno de sus focos.

1. a) Marque dos intervalos de tiempo iguales, uno centrado en el perihelio y otro en el afelio, y sombree las áreas barridas por el radio vector en ambos tramos.
2. b) De acuerdo con la ley de las áreas, ¿qué relación existe entre las dos áreas sombreadas?
3. c) Razone, a partir del dibujo, en qué tramo el planeta recorre un arco más largo en el mismo tiempo y qué implica eso sobre su velocidad.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Marte orbita el Sol con un semieje mayor $a = 1.524\ \text{UA}$. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcule la duración del año marciano, en años terrestres.
2. b) Exprese el resultado en días ($1$ año $= 365.25$ días).

Venus completa su órbita alrededor del Sol en $T = 0.615$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcule el semieje mayor de la órbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Expréselo en kilómetros, usando notación científica.

Un equipo de astrónomos descubre un objeto cuyo periodo orbital es $T = 27$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcule el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compárelo con la órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): ¿orbita el objeto más cerca o más lejos del Sol que Neptuno?

Kepler comprobó su tercera ley con los datos de varios planetas. La Tierra tiene $a = 1\ \text{UA}$ y $T = 1$ año; Júpiter tiene $a = 5.20\ \text{UA}$ y $T = 11.86$ años.

1. a) Calcule el cociente $\frac{T^2}{a^3}$ para la Tierra, en $\text{años}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcule el mismo cociente para Júpiter y compruebe que coincide con el anterior (salvo redondeos).
3. c) Explique por qué ese cociente solo es idéntico para cuerpos que orbitan el mismo cuerpo central.

Por la conservación del momento angular, en el perihelio y en el afelio se cumple $r_p\times v_p = r_a\times v_a$. La Tierra pasa por el perihelio ($r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$) con una velocidad de $30.3\ \text{km/s}$, y el afelio está a $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita y las velocidades en ambos puntos (sin escala):

1. a) Despeja la velocidad en el afelio, $v_a$, de la expresión anterior.
2. b) Calcula su valor, en $\text{km/s}$.
3. c) El perihelio ocurre a primeros de enero y el afelio a primeros de julio. Indica en cuál de esos meses la Tierra se desplaza más rápido por su órbita y relaciónalo con la segunda ley de Kepler.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un periodo orbital de $T = 4.60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcule el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Exprese su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demuestre, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\times a$ entonces $T' = \sqrt{8}\times T \approx 2.83\times T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calcule su periodo, en años.
3. c) Razone, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.

Para una órbita circular de radio $r$, la tercera ley de Kepler puede deducirse de la ley de la gravitación universal. El esquema muestra un planeta en órbita circular con la fuerza que actúa sobre él:

1. a) Iguale la fuerza gravitatoria, $F = \frac{G\times M\times m}{r^2}$, con la fuerza centrípeta del movimiento circular, $F_c = \frac{m\times v^2}{r}$, y obtenga la velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\times M}{r}}$.
2. b) Sustituya $v = \frac{2\times\pi\times r}{T}$ en el resultado anterior y deduzca que $T^2 = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}\times r^3$.
3. c) Identifique en la expresión obtenida la constante de la tercera ley de Kepler y explique de qué magnitudes depende.

La tercera ley de Kepler permite «pesar» el Sol. Datos: distancia media Tierra–Sol $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, periodo orbital terrestre $T = 365.25$ días y $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$. La figura representa la órbita terrestre con los datos conocidos:

1. a) Exprese el periodo orbital en segundos.
2. b) Despeje la masa del Sol de la expresión $T^2 = \frac{4\times\pi^2\times a^3}{G\times M_S}$.
3. c) Calcule $M_S$ y compare el resultado con el valor aceptado, $1.99\times10^{30}\ \text{kg}$.

El cometa Halley tiene un periodo de $T = 76$ años y pasa por el perihelio a $r_p = 0.586\ \text{UA}$ del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. La figura muestra su órbita alargada (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Teniendo en cuenta que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcula la distancia del afelio, $r_a$.
3. c) Aplicando la conservación del momento angular, $r_p\times v_p = r_a\times v_a$, calcula el cociente $\frac{v_p}{v_a}$ y explica por qué el Halley solo es observable desde la Tierra durante unos meses de cada $76$ años.

La sonda Juno ha estudiado el sistema de Júpiter. Su luna Ío orbita el planeta con un semieje mayor $a = 4.22\times10^{8}\ \text{m}$ y un periodo $T = 1.77$ días. Dato: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Exprese el periodo de Ío en segundos.
2. b) Despeje la masa de Júpiter de la tercera ley de Kepler, $T^2 = \frac{4\times\pi^2\times a^3}{G\times M_J}$.
3. c) Calcule $M_J$ y compárela con el valor aceptado, $1.90\times10^{27}\ \text{kg}$.

La constante de la tercera ley de Kepler es $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, con $M$ la masa del cuerpo central. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa del Sol $M_S = 1.99\times10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y semieje mayor de la órbita de la Luna $a = 3.84\times10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calcule, en unidades del Sistema Internacional, la constante $C$ para el sistema solar y para el sistema Tierra–Luna.
2. b) Razone a qué se debe la enorme diferencia entre ambos valores.
3. c) Utilice la constante del sistema Tierra–Luna para predecir el periodo orbital de la Luna y exprésalo en días.

Para viajar de la Tierra a Marte con el menor consumo de combustible se utiliza una órbita de transferencia de Hohmann: una elipse con el perihelio en la órbita terrestre ($1\ \text{UA}$) y el afelio en la órbita marciana ($1.524\ \text{UA}$). Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. El esquema muestra la órbita de transferencia:

1. a) Calcula el semieje mayor de la elipse de transferencia.
2. b) Calcula el periodo completo de esa elipse, en años.
3. c) El viaje de ida dura medio periodo. Calcula su duración en días ($1$ año $= 365.25$ días) y razona por qué las misiones a Marte solo pueden lanzarse en determinadas ventanas que se repiten cada $26$ meses.

Se descubre un exoplaneta que orbita una estrella de masa $M_E = 4\times M_S$ (cuatro veces la masa del Sol) con un semieje mayor $a = 1\ \text{UA}$, igual que la Tierra.

1. a) Partiendo de $T^2 = \frac{4\times\pi^2\times a^3}{G\times M}$, demuestre que $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\times\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calcule el periodo del exoplaneta, en años terrestres.
3. c) Explique por qué en este caso no se puede aplicar directamente la relación simplificada $T^2 = a^3$ válida para el sistema solar.