Ejercicios: Intensidad del campo de un sistema de masas: cálculo vectorial

El valor de la gravedad en la superficie terrestre se puede obtener a partir de la ley de la gravitación universal, como se muestra en la figura.

1. a) Partiendo de la ley de la gravitación universal y de la definición de campo gravitatorio (fuerza por unidad de masa), deduzca la expresión del módulo del campo gravitatorio $g$ que crea un planeta esférico de masa $M$ y radio $R$ en su superficie.
2. b) Calcule su valor para la Tierra. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compare el resultado con el valor habitual $g = 9.8\ \text{m/s}^2$.

Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.

1. a) Calcule el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6.42\times10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3.39\times10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explique a qué se debe fijándose en la masa.

El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. La gráfica muestra esa dependencia:

1. a) Si a una distancia $r$ del centro de un planeta el campo vale $g$, ¿cuánto vale a una distancia $2\times r$? Razone la respuesta a partir de $g = G\times\frac{M}{r^2}$.
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, expresada en radios terrestres $R_T$, el campo vale la cuarta parte del valor en la superficie?
3. c) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia?

En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcule el módulo del campo a $0.50\ \text{m}$ de su centro, tratando la esfera como una masa puntual ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Exprese el resultado en notación científica y compare su orden de magnitud con el del campo gravitatorio terrestre ($9.8\ \text{m/s}^2$): ¿qué conclusión saca sobre la dificultad de la medida?

Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2.0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado fuera del segmento, a $1.0\ \text{m}$ de una masa y a $3.0\ \text{m}$ de la otra. La disposición se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo que crea cada masa en $P$ e indica su sentido ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Como ambos campos tienen la misma dirección y sentido, calcula el campo total en $P$.

Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra.

1. a) Calcule el campo gravitatorio en la superficie de la Luna. Datos: masa de la Luna $M_L = 7.35\times10^{22}\ \text{kg}$, radio lunar $R_L = 1.74\times10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcule el cociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9.8\ \text{m/s}^2$ y compruebe que vale aproximadamente $6$.

Los satélites geoestacionarios orbitan a una distancia $r = 4.22\times10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule el campo gravitatorio terrestre a esa distancia ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) ¿Cuántas veces menor es que el campo en la superficie ($g_0 = 9.8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) El campo en un punto no depende de la masa que se coloque en él: explique qué significa esto a partir de la definición $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas.

1. a) Calcule el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de la Tierra ($M_S = 1.99\times10^{30}\ \text{kg}$, distancia media $d = 1.5\times10^{11}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compare el resultado con el campo en la superficie terrestre ($9.8\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?
3. c) Si el Sol tira de nosotros con ese campo, ¿por qué no nos arranca de la superficie terrestre? (Pista: la Tierra y todo lo que hay sobre ella caen juntos hacia el Sol.)

Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6.3\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcule el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra ($M_J = 1.90\times10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule la fuerza con la que Júpiter atrae a una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\times g$) y compárela con su peso en la Tierra ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista del resultado, comente críticamente la afirmación astrológica de que «la posición de Júpiter influye en las personas».