Exercices: Opérations sur les nombres complexes sous forme exponentielle

Étant donné les nombres complexes $z_1 = 4_{30^\circ}$ et $z_2 = 3_{60^\circ}$, calculer leur produit $z_1 \cdot z_2$ en exprimant le résultat sous forme polaire.

Calculer le quotient $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ et exprimer le résultat sous forme polaire.

À l'aide de la formule de Moivre, calculer la puissance $(2_{40^\circ})^3$ et exprimer le résultat sous forme polaire.

Déterminer l'inverse du nombre complexe $z = 5_{120^\circ}$ en exprimant le résultat final sous forme polaire (module et argument).

Un bateau navigue dans la direction et sur la distance indiquées par le vecteur associé au nombre complexe $z = 10_{30^\circ}$. Pour des raisons météorologiques, le capitaine décide d'effectuer un virage de $90^\circ$ dans le sens direct en conservant la même distance. Par quel nombre complexe sous forme polaire faut-il multiplier $z$ pour obtenir sa nouvelle trajectoire, et quelle est la position finale ?

Calculer les deux racines carrées du nombre complexe $16_{120^\circ}$ et exprimer les résultats sous forme polaire.

Effectuer l'opération suivante et exprimer le résultat sous forme polaire :

Étant donné le nombre complexe $z = 3_{50^\circ}$, exprimer son conjugué $\bar{z}$ et son opposé $-z$ sous forme polaire.

Camille résout un exercice sur les puissances de nombres complexes sous forme polaire et écrit dans son cahier le développement suivant : $(2_{30^\circ})^5 = (2 \cdot 5)_{30^\circ \cdot 5} = 10_{150^\circ}$.

1. a) Repérer et expliquer de façon argumentée l'erreur conceptuelle commise par Camille dans le calcul du module. Justifier géométriquement pourquoi, dans la formule de Moivre, le module est élevé à la puissance et non multiplié par l'exposant.
2. b) Corriger le calcul en écrivant le résultat correct sous forme polaire.
3. c) Écrire le résultat correct sous forme algébrique et indiquer dans quel quadrant du plan complexe se situe son point image.

Étant donné les nombres complexes $z_1 = 4_{45^\circ}$ et $z_2 = 2_{120^\circ}$ :

1. a) Avant de calculer, faire une estimation argumentée : dans quel quadrant du plan complexe se trouvera le produit $z_1 \cdot z_2$ ? Sa distance à l'origine sera-t-elle supérieure ou inférieure à celle de $z_1$ ? Raisonner de façon analogue pour le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$.
2. b) Vérifier ces estimations en calculant exactement le produit $z_1 \cdot z_2$ et le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle, en ramenant les arguments dans l'intervalle $[0^\circ, 360^\circ)$.
3. c) À partir du résultat du quotient, calculer son inverse $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ sous forme exponentielle et vérifier si son module est $0,5$ et si son argument coïncide avec celui que l'on obtiendrait en calculant directement $\dfrac{z_2}{z_1}$.

Résoudre l'équation $z^4 + 81 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes. Exprimer les solutions sous forme exponentielle et les représenter graphiquement dans le plan complexe (axe réel horizontal et axe imaginaire vertical).

Dans un circuit en courant alternatif, l'impédance totale $Z_T$ de deux composants montés en parallèle se calcule par la formule $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Si les impédances des composants sont $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ et $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, déterminer l'impédance totale $Z_T$ sous forme exponentielle. Indice : passer à la forme algébrique pour effectuer la somme.

Résoudre l'équation $z^3 = -8i$. Écrire d'abord le nombre $-8i$ sous forme exponentielle avant de calculer les racines, puis exprimer les résultats finaux sous forme exponentielle et sous forme algébrique.

Calculer la valeur de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Pour cela, écrire d'abord la base sous forme exponentielle, appliquer la formule de Moivre et donner le résultat final sous forme algébrique.

Déterminer le plus petit entier positif $n$ pour que le résultat de $(\sqrt{3} + i)^n$ soit un nombre réel négatif.

Un drone d'exploration sous-marine part de l'origine et se déplace en ligne droite jusqu'au point image du nombre complexe $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en kilomètres). Ensuite, le centre de contrôle lui envoie une instruction équivalant à multiplier sa position actuelle par le complexe $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calculer les coordonnées polaires de sa position finale et expliquer quelle transformation géométrique il a subie par rapport à son vecteur position initial.

Déterminer l'aire du triangle dont les sommets sont les points images des racines cubiques du nombre complexe $z = 64_{90^\circ}$.

Effectuer l'opération suivante sur les nombres complexes en exprimant le résultat final sous forme exponentielle :

Pour calculer la puissance $(-\sqrt{3} + i)^6$, deux élèves de première proposent des méthodes différentes :

• Mathis propose de la développer directement à l'aide du binôme de Newton : $\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-\sqrt{3})^{6-k} i^k$.

• Léa propose d'écrire la base sous forme exponentielle, d'appliquer la formule de Moivre et d'exprimer le résultat final sous forme algébrique.

1. a) Comparer de façon argumentée les deux méthodes en analysant le nombre de termes à calculer et le risque d'erreurs de calcul (signes, puissances de $i$, coefficients binomiaux).
2. b) Justifier quelle est la méthode la plus efficace et l'appliquer pas à pas pour obtenir le résultat final exact sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
3. c) Si l'exposant était $2$ au lieu de $6$, la méthode de Léa resterait-elle nettement supérieure ? Justifier la réponse en comparant l'effort algébrique dans ce cas.

Dans un parc éolien situé dans la Beauce, une éolienne a trois pales de $60\text{ m}$ de longueur, disposées symétriquement autour du moyeu central avec un décalage angulaire de $120^\circ$ entre elles. On place l'origine du repère au centre du rotor et l'angle $0^\circ$ sur l'horizontale à droite.

À un instant initial, l'extrémité de la pale 1 se trouve à la position $z_1 = 60\,e^{i\frac{2\pi}{9}}$ (en mètres), c'est-à-dire de module $60$ et d'argument $40^\circ$.

1. a) Modéliser la position des extrémités des pales 2 et 3 ($z_2$ et $z_3$) sous forme exponentielle à cet instant, en expliquant quelle opération sur les nombres complexes sous forme exponentielle permet de passer d'une pale à la suivante.
2. b) Une rafale de vent constante fait tourner le rotor de $85^\circ$ dans le sens direct. Modéliser cette rotation par la multiplication par un nombre complexe de module 1 et calculer la nouvelle position sous forme exponentielle de chacune des trois pales.
3. c) Après la rotation, déterminer de façon argumentée laquelle des trois pales se trouve à la plus grande hauteur par rapport au sol (plus grande coordonnée verticale) et calculer cette hauteur par rapport à l'axe du rotor à l'aide de la forme trigonométrique.

Un radar de trafic aérien détecte trois avions dont les positions forment un triangle équilatéral centré sur la tour de contrôle (située à l'origine du repère). Si l'un des avions se trouve à la position décrite par le nombre complexe $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (en kilomètres), déterminer la position des deux autres avions sous forme exponentielle et calculer la distance en ligne droite qui sépare deux avions quelconques.

Utiliser la formule de Moivre pour développer la puissance $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. À partir du résultat, en égalant les parties réelles et imaginaires, démontrer les identités trigonométriques de l'angle triple :

• $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

• $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

Résoudre l'équation $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Exprimer les quatre solutions de $z$ sous forme algébrique.

Dans la conception du logiciel d'un bras robotisé, la position finale de l'effecteur se calcule en appliquant une rotation et une homothétie à sa position initiale $z_0 = 5_{20^\circ}$. Cette transformation équivaut à multiplier $z_0$ par la racine cubique du nombre complexe $W = 27_{150^\circ}$ dont l'argument est dans le premier quadrant. Déterminer la position finale de l'effecteur sous forme exponentielle et l'angle total de rotation appliqué par rapport à la position initiale.

Déterminer deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle sachant qu'ils vérifient simultanément les conditions suivantes :

• Leur quotient $\frac{z_1}{z_2}$ est égal à $2_{150^\circ}$

• Leur produit $z_1 \cdot z_2$ est égal à $18_{90^\circ}$

Calculer la somme des six racines sixièmes de l'unité ($z^6 = 1$). Justifier la réponse de deux façons différentes : algébriquement (en utilisant la somme d'une suite géométrique ou les propriétés des racines) et géométriquement (en interprétant les points images comme des vecteurs).

Un système de chiffrement génère des clés à partir des coordonnées des points images des solutions de l'équation $z^5 + 32 = 0$. Calculer toutes les solutions sous forme exponentielle et déterminer le périmètre du polygone régulier qu'elles forment.

Déterminer tous les nombres complexes $z$ exprimés sous forme exponentielle qui vérifient l'équation $z^3 = (\bar{z})^2$, où $\bar{z}$ est le conjugué de $z$.

Les solutions d'une équation binôme de la forme $z^n = w$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, $w \in \mathbb{C}$) déterminent dans le plan complexe les sommets d'un polygone régulier centré à l'origine du repère.

On connaît les trois conditions suivantes sur cet ensemble de solutions :

1. L'une des solutions est le nombre complexe $z_1 = \sqrt{3} + i$.

2. Une autre solution se situe exactement sur le demi-axe imaginaire positif (son argument est $90^\circ$).

3. Le polygone régulier a le plus petit nombre de côtés possible ($n$) vérifiant simultanément les deux conditions précédentes.

1. a) Écrire $z_1$ sous forme exponentielle et en déduire algébriquement la plus petite valeur entière de $n$ compatible avec le fait qu'une des solutions ait pour argument $90^\circ$.
2. b) Déterminer la valeur exacte du nombre complexe $w$ sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
3. c) Écrire sous forme exponentielle toutes les solutions de l'équation $z^n = w$, en calculant le pas angulaire entre sommets consécutifs et en vérifiant que $z_1$ et la solution située sur le demi-axe imaginaire font partie de la liste.

On considère le nombre complexe $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.

1. a) Avant d'opérer analytiquement, faire une estimation argumentée :

• Comparer les modules du numérateur et du dénominateur. À partir de cette comparaison, déduire si les points images des puissances successives $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ forment une spirale qui s'éloigne de l'origine, une spirale qui converge vers l'origine ou s'ils restent sur un cercle fixe.

• Analyser les arguments du numérateur et du dénominateur pour estimer s'il est possible qu'il existe une puissance $w^n$ (avec $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) dont le résultat soit un nombre réel strictement positif. Pensez-vous que le plus petit $n$ ayant cette propriété soit une petite valeur ou un multiple remarquable ?

1. b) Vérifier ces estimations :

• Écrire le numérateur et le dénominateur sous forme exponentielle et obtenir l'expression exacte de $w$ sous forme exponentielle.

• Appliquer la formule de Moivre pour déterminer exactement le plus petit entier positif $n$ tel que $w^n$ soit un nombre réel positif, en posant et en résolvant la condition sur l'argument.

1. c) Pour cette valeur minimale de $n$, calculer la valeur exacte de $w^n$ et de son inverse $(w^n)^{-1}$ sous forme exponentielle et sous forme algébrique, et évaluer si le module obtenu confirme la conjecture initiale sur l'éloignement par rapport à l'origine.

Défi du thème. Concevoir un rapport technique sur la réponse d'une installation électrique raccordée au réseau à partir de données réelles :

1. Consulter sur le site de RTE (Réseau de transport d'électricité) la consommation du système en temps réel (en GW) et prendre les deux premiers chiffres entiers comme valeur $k$ (par exemple, si l'affichage indique $27{,}4$ GW, $k = 27$).

2. Modéliser la réponse du circuit par le polynôme de puissance $P(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + 50x$. Déterminer la dérivée $P'(x)$, calculer la plus grande des fréquences critiques positives en résolvant $P'(x) = 0$ et arrondir à deux décimales sa valeur, que l'on notera $\omega$.

3. Définir l'impédance du circuit sous forme algébrique par $Z = 4 + \omega i$ (en $\Omega$) et un courant de consommation $I = 3 - 2i$ (en A). Opérer sous forme algébrique pour déterminer la tension complexe $V = Z \cdot I$.

4. Écrire $Z$ et $I$ sous forme exponentielle ($r_\alpha$). Effectuer le produit sous forme exponentielle pour recalculer $V$, vérifier que les deux résultats coïncident et représenter dans GeoGebra les trois points images vectoriels en analysant le déphasage entre le courant et la tension.

Rendre un bref rapport d'une page avec les calculs manuscrits et la capture d'écran de GeoGebra.

Seront évalués :

• L'extraction rigoureuse de la donnée de RTE et la résolution algébrique correcte de la dérivée $P'(x)$.

• La maîtrise et l'équivalence des opérations sur les nombres complexes, tant sous forme algébrique qu'exponentielle.

• La construction graphique dans GeoGebra et l'interprétation physique cohérente du déphasage.