Exercices: TVI strictement monotone et dichotomie

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0;1]$. Montrer que $f$ est strictement croissante et que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0;1]$.

Soit $f(x) = x^2 - 2$ sur $[1;2]$. Calculer $f(1{,}4)$ et $f(1{,}5)$ puis donner un encadrement de la solution de $f(x)=0$ d'amplitude $0{,}1$.

Soit $f$ continue et strictement décroissante sur $[0;4]$ avec $f(0) = 5$ et $f(4) = -3$. Combien l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle de solutions sur $[0;4]$ ? Justifier.

Soit $f(x) = e^x + x - 3$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Étudier le sens de variation de $f$.

1. b) Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $\alpha \in [0;2]$.

1. c) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$ par dichotomie.

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 3$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Dresser le tableau de variations de $f$.

1. b) Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et donner un encadrement de $\alpha$ à l'unité.

Soit $f(x) = \ln x + x^2 - 4$ sur $]0;+\infty[$.

1. a) Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.

1. b) Montrer que $\alpha \in [1{,}5\,;\,2]$.

1. c) Déterminer le signe de $f$ sur $]0;+\infty[$.

Soit $f(x) = x e^{x} - 2$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Étudier les variations de $f$ et ses limites en $-\infty$ et $+\infty$.

1. b) Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $\alpha \in [0;1]$.

1. c) Écrire en Python une fonction dichotomie(a, b, eps) qui renvoie un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure à $\varepsilon$ ; déterminer en combien d'étapes l'amplitude passe sous $10^{-3}$ à partir de $[0;1]$.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $f_n(x) = x^n + x - 1$ sur $[0;1]$.

1. a) Montrer que $f_n(x) = 0$ admet une unique solution $x_n \in [0;1]$.

1. b) Montrer que $f_{n+1}(x_n) < 0$ et en déduire que la suite $(x_n)$ est croissante.

1. c) Justifier que $(x_n)$ converge.

Soit $f$ une fonction continue sur $[0;1]$ à valeurs dans $[0;1]$.

1. a) En considérant $g(x) = f(x) - x$, montrer qu'il existe $c \in [0;1]$ tel que $f(c) = c$.

1. b) Montrer que, si de plus $f$ est strictement décroissante, ce réel $c$ est unique.

1. c) Application : $f(x) = e^{-x}$ sur $[0;1]$. Montrer que $c \in [0{,}5;0{,}6]$.